【高中數學】超幾何分布（2）課件 2022-2023學年高二下學期數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.4二項分布與超幾何分布第七章隨機變量及其分布 7.4.2超幾何分布（2）思考：二項分布、超幾何分布有什么區(qū)別和聯(lián)系？超幾何分布二項分布試驗類型

抽樣

抽樣試驗種數有

種物品有

種結果總體個數

個

個隨機變量取值的概率利用

計算利用

計算隨機變量X的分布列均值與方差E(X)=

,D(X)=

.E(X)=

,D(X)=

.聯(lián)系不放回放回兩兩有限無限古典概型獨立重復試驗

npnp(1-p)np

(1)對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結果是獨立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為問題情境

一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解：對于不放回摸球，各次試驗的結果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為n重伯努利試驗隨機變量服從二項分布隨機變量服從超幾何分布問題情境一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解：(2)利用統(tǒng)計軟件計算出兩個分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.樣本中黃球的比例f20=是一個隨機變量,根據表7.4-2算得|f20-0.4|≤0.16≤X≤10有放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.不放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.結論：故在相同誤差限制下,采用不放回摸球估計的結果更可靠些.問題情境一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解：(2)利用統(tǒng)計軟件計算出兩個分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.XP

兩種摸球方式下,隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布.雖然這兩種分布有相等的均值(都是8),但從兩種分布的概率分布圖(圖7.4-4)看,超幾何分布更集中在均值附近.問題情境一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數.(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解：(2)利用統(tǒng)計軟件計算出兩個分布列的概率值(精確到0.00001)，如下表所示.XP

歸納規(guī)律：二項分布、超幾何分布有什么區(qū)別和聯(lián)系？超幾何分布二項分布試驗類型

抽樣

抽樣試驗種數有

種物品有

種結果總體個數

個

個隨機變量取值的概率利用

計算利用

計算隨機變量X的分布列均值與方差E(X)=

,D(X)=

.E(X)=

,D(X)=

.聯(lián)系不放回放回兩兩有限無限古典概型獨立重復試驗

npnp(1-p)np

(1)對于同一模型，兩個分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，隨機變量的取值更集中于均值附件(2)對于不放回摸球，當N充分大，且n遠遠小于N時，各次抽樣結果彼此影響很小（看成相互獨立），此時超幾何分布近似二項分布；包裝質量(單位:克)[490,495)[495,500)[500,505)[505,510)[510,515]產品件數34751例題1：某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況,對該流水線上的產品進行簡單隨機抽樣,獲得數據如表:已知包裝質量在[495,510)內的產品為一等品,其余為二等品.(1)估計從該流水線上的產品中任取1件產品為一等品的概率;(2)從上述抽取的樣本產品中任取2件,設X為其中一等品的產品數量,求X的分布列;(3)從該流水線上的產品中任取2件產品,設Y為其中一等品的產品數量,求Y的分布列,試比較E(X)與E(Y)的大小.全品練習冊P42/17

解：包裝質量(單位:克)[490,495)[495,500)[500,505)[505,510)[510,515]產品件數34751X012PY012P

(3)分析：該問題是“從該流水線上的產品中任取2件產品”，此時N表示該流水線上的產品數。我們知道：二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產品中次品數的分布規(guī)律,并且二者的均值相同,對于不放回抽樣,

當n遠遠小于N時,各次抽樣結果彼此影響很小，超幾何分布可以用二項分布近似.通性通法用“二項分布”

和“超幾何分布”

描述“隨機抽取的n件產品中次品數的分布”

問題，如何作出合適的選擇？問題1：“從抽取的樣本產品中任取n件,設其中次品的產品數量為X,求X的分布列;采用“超幾何分布”模型問題2：“從生產的產品中任取n件,設其中次品的產品數量為X,求X的分布列;采用“二項分布”模型等級數據范圍男生人數女生人數優(yōu)秀[90,100]42良好[80,90)54合格[60,80)811不合格60以下33總計-2020拓展練習：某學校為了解高一年級學生的體質健康狀況,對高一年級學生的體質進行了測試,現從男、女生中各隨機抽取20人作為樣本,將他們的測試數據整理如下表,若數據不小于60,則體質健康為合格.(1)估計該校高一年級學生體質健康合格的概率;(2)從樣本體質健康等級為優(yōu)秀的學生中隨機抽取3人進行再測試,設抽到的女生人數為X,求X的分布列和數學期望;(3)從該校高一年級全體男生中隨機抽取2人,全體女生中隨機抽取1人,估計這3人中恰有2人體質健康等級是優(yōu)秀的概率.全品練習冊P41/15X012P解:(1)樣本中體質