【高中數(shù)學(xué)】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教學(xué)闡釋課件 2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

教學(xué)闡釋7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念01教學(xué)內(nèi)容解析03學(xué)生學(xué)情分析04教學(xué)支持條件02教學(xué)目標(biāo)設(shè)置Contents目錄05教學(xué)過程設(shè)計(jì)1教學(xué)內(nèi)容解析2019人教A版必修第二冊(cè)★第七章復(fù)數(shù)

1.章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖對(duì)數(shù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)引入復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)的三角形式及其幾何意義復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義復(fù)數(shù)相等的含義實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系數(shù)系的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程。經(jīng)歷數(shù)系擴(kuò)充的基本過程，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。陳省身先生的話一個(gè)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)了解什么是好的數(shù)學(xué)，什么是不好的或不太好的數(shù)學(xué)。有些數(shù)學(xué)是有開創(chuàng)性的，有發(fā)展前途的，這就是好的數(shù)學(xué)。還有一些數(shù)學(xué)也蠻有意思，卻漸漸地變成一種游戲……比如說，解方程就是好的數(shù)學(xué)。搞數(shù)學(xué)的都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同。x-1=0有實(shí)數(shù)解，而x2+1=0就沒有實(shí)數(shù)解。后來就加進(jìn)復(fù)數(shù)，討論方程的復(fù)數(shù)解。大家知道的代數(shù)基本定理就是n次代數(shù)方程必有復(fù)數(shù)解。這一問題有很長(zhǎng)的歷史，當(dāng)年有名的數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler，1707-1783)就考慮過這個(gè)問題，但一直沒有證出來。后來還是高斯(C.F.Gauss，1777-1855)證出來的，還發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)和拓?fù)溆嘘P(guān)系，有了新的理解。因?yàn)槟５扔?的復(fù)數(shù)表示一個(gè)圓周，在這一圓周上就有很多花樣。如果從解f(z)=0到解f(x，y)=0，那就進(jìn)到研究曲線，當(dāng)然也可能沒有解，一個(gè)實(shí)點(diǎn)也沒有。于是花樣就來了。假使你在f(x，y)=0中把x、y都看成復(fù)數(shù)，則兩個(gè)復(fù)數(shù)相當(dāng)于四維空間，這就很麻煩，出現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)論中的黎曼曲面。你要用黎曼曲面來表示這個(gè)函數(shù)，求解原來的方程f(x，

y)=0，那就要用很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中最要緊的概念是虧格。你把f(x，

y)=0的解看成曲面之后，那么曲面有很多個(gè)圈，球面環(huán)面的不同等等花樣，都和虧格有關(guān)。

此外，你也可以有另外的花樣，比如f(x，y)=0的系數(shù)都假定為整數(shù)，你也可以討論它的整數(shù)解，這就很難了。教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)支持條件教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)設(shè)置課時(shí)內(nèi)容從實(shí)系數(shù)一元二次方程當(dāng)判別式小于0時(shí)沒有實(shí)數(shù)根出發(fā)，回顧從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系、特別是有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過程，得到數(shù)系擴(kuò)充中體現(xiàn)出的“規(guī)則”，進(jìn)而在“規(guī)則”的引導(dǎo)下，考慮為使方程x2+1=0有解，引入新數(shù)i，從而可以像實(shí)數(shù)一樣進(jìn)行加法、乘法運(yùn)算并保持運(yùn)算律的角度，將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集.教學(xué)重點(diǎn)從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程與方法，復(fù)數(shù)的概念學(xué)生學(xué)情分析2教學(xué)目標(biāo)設(shè)置0102教學(xué)目標(biāo)了解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，了解從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，理解復(fù)數(shù)相等的含義。教學(xué)目標(biāo)設(shè)置教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)支持條件教學(xué)過程設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)情分析通過數(shù)系擴(kuò)充“規(guī)則”的歸納，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，通過實(shí)數(shù)系向復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，讓學(xué)生體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).03體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的合理性及人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用，通過介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化和精神。3學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在義務(wù)教育階段已經(jīng)經(jīng)歷了從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過程，對(duì)數(shù)系擴(kuò)充一定的認(rèn)識(shí)，知道新的數(shù)系能夠解決在原有數(shù)系中無法解決的一些解方程問題。學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，也已多次利用類比的方法來研究數(shù)學(xué)問題。學(xué)生在初中階段建立起來的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)理性程度不高，對(duì)擴(kuò)充過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的理解不夠深入，特別是復(fù)數(shù)是一個(gè)“二維數(shù)”盡管有數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，但在平面直角坐標(biāo)系中用有序數(shù)對(duì)表示一個(gè)數(shù)，是經(jīng)驗(yàn)上的一個(gè)飛躍。教學(xué)難點(diǎn)復(fù)數(shù)系擴(kuò)充過程的數(shù)學(xué)基本思想，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式4教學(xué)支持條件教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)過程設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)情分析教學(xué)目標(biāo)設(shè)置教學(xué)支持條件

本著“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的理念設(shè)計(jì)如下策略：01

教學(xué)策略

從情境中獲取對(duì)象，為引發(fā)認(rèn)知沖突設(shè)置對(duì)象，在探究過程中生成對(duì)象，從特殊到一般衍生對(duì)象，構(gòu)成問題串，形成本節(jié)課的教學(xué)材料.

在對(duì)問題串的探究過程中，運(yùn)用類比、抽象、化歸等思想方法，最終生成復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，形成復(fù)數(shù)系、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等等概念并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)過程設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)情分析教學(xué)目標(biāo)設(shè)置教學(xué)支持條件黑板多媒體PPT課件清晰流程展示思維動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)形象直觀板書知識(shí)突出重點(diǎn)

教具025教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一環(huán)節(jié)一：情景引入環(huán)節(jié)二：溫故知新環(huán)節(jié)三：新知探究環(huán)節(jié)四：概念生成環(huán)節(jié)五：新知應(yīng)用環(huán)節(jié)六：歸納小結(jié)教學(xué)過程數(shù)學(xué)問題創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計(jì)意圖先由一個(gè)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解的方程讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，再用時(shí)光機(jī)的形式從四位數(shù)學(xué)家口中講出他們?cè)?jīng)研究虛數(shù)的過程，了解歷史上虛數(shù)真正引入原因，是數(shù)學(xué)家在解三次方程時(shí)用求根公式時(shí)的矛盾沖突。讓學(xué)生體會(huì)到引入虛數(shù)的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第一環(huán)節(jié)——情景引入教學(xué)過程數(shù)學(xué)史教學(xué)過程通過梳理數(shù)的發(fā)展史，抓住知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生了解數(shù)的產(chǎn)生及數(shù)系的不斷擴(kuò)充是基于兩方面的原因：社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐的需要和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。第二環(huán)節(jié)——溫故知新設(shè)計(jì)意圖梳理數(shù)系擴(kuò)充過程和方法的“一般性”，總結(jié)數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，為后續(xù)實(shí)數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充提供方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，攻克本節(jié)課的難點(diǎn)。教學(xué)過程通過啟發(fā)式提問，讓學(xué)生自己說出可以引入虛數(shù)的概念，再由教師介紹與虛數(shù)單位i有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化對(duì)i的認(rèn)識(shí)。再通過課堂活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生歸納復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。第三環(huán)節(jié)——新知探究設(shè)計(jì)意圖教學(xué)過程由特殊到一般，抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)集，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過程中理性思維的作用，以及數(shù)學(xué)形式化、符號(hào)化的過程，提升學(xué)生邏輯推理、抽象概括素養(yǎng)。第四環(huán)節(jié)——概念生成設(shè)計(jì)意圖教學(xué)過程第四環(huán)節(jié)——概念生成設(shè)計(jì)意圖通過問題串的方式，對(duì)復(fù)數(shù)集的概念進(jìn)行深化，對(duì)復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念以及相互之間的關(guān)系Venn圖表示，更直觀地學(xué)生的腦海中形成概念。教學(xué)過程第四環(huán)節(jié)——概念生成設(shè)計(jì)意圖引入新的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，為了保證對(duì)象的確定性，就要明確兩個(gè)元素相等的含義，讓學(xué)生具有這種意識(shí)。由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，可以把復(fù)數(shù)看成一個(gè)有序數(shù)對(duì)，從而為復(fù)數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ)。教學(xué)過程第五環(huán)節(jié)——新知應(yīng)用設(shè)計(jì)意圖例1主要讓學(xué)生熟悉復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，鞏固復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)過程第五環(huán)節(jié)——新知應(yīng)用設(shè)計(jì)意圖例2以及跟蹤練習(xí)1繼續(xù)鞏固復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)過程第五環(huán)節(jié)——新知應(yīng)用設(shè)計(jì)意圖例3以及跟蹤練習(xí)2、3主要是強(qiáng)化復(fù)數(shù)相等的含義，讓學(xué)生在解決問題的過程中內(nèi)化復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，起到及時(shí)反饋、學(xué)以致用的功效。教學(xué)過程第六環(huán)節(jié)——課堂小結(jié)設(shè)計(jì)意圖通過對(duì)數(shù)系擴(kuò)充規(guī)則、擴(kuò)充過程以及復(fù)數(shù)相關(guān)概念等知識(shí)和方法的總結(jié)，使學(xué)生對(duì)本