三重積分的幾種計(jì)算方法演示文稿

三重積分的幾種計(jì)算方法演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)xyz0z=z2(x,y)z=z1(x,

y)D(1)化成一個(gè)定積分和一個(gè)二重積分設(shè)D為在xy平面上投影區(qū)域.y=y1(x)bay=y2(x)目前二頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)zxyx+y+z=10例1.計(jì)算其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xy目前三頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例2.計(jì)算其中是由拋物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx目前四頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)y=y1(x,z)z0y=y2(x,z)Dxzyx目前五頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)x=x2(y,z)z0x=x1(y,z)Dyzyx目前六頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例3.將化為三次定積分，其中是由z=x2+y2和z=1所圍的閉區(qū)域.解：先對(duì)z積分，將向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

目前七頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)xyz01Dxyz=1z=x2+y2

目前八頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)解2：先對(duì)y積分，將向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=11≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz11目前九頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)(2)化為一個(gè)二重積分和一個(gè)定積分:(x,y)D(z),z1≤z≤z20xzyz2zz2D(z)目前十頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例4.計(jì)算其中是由z=x2+y2和z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]目前十一頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例5.計(jì)算解：

D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤

1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.D(x)z=1xy

xy01x1x目前十二頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)2.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分M

(r,,z)x=rcosy=rsinz=z(0≤r<+,0≤≤2,<z<+)rzM?0xzyyx目前十三頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)柱面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面分別為r=常數(shù)=常數(shù)z=常數(shù)xyzo目前十四頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)=r故dxdydz=rdrddz目前十五頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例1.計(jì)算其中由與z=1所圍閉區(qū)域.解：D:x2+y2≤1z=1z=rz=0xyz0Dz=rz=1目前十六頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)xyz0z=rz=11D目前十七頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例2.計(jì)算={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz01目前十八頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例3.再解例1其中是

由與z=1所圍閉區(qū)域.解：用=截得D()而0≤≤2故原積分=xyz目前十九頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)xzyD()z1r0z=r1目前二十頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例4.再解例2其中={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：用=截得D()而0≤≤2故原積分=xyz0目前二十一頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)xyz0011rz目前二十二頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)3.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分M

(r,,)x=OPcosz=rcos(0≤r<+,0≤≤,0≤≤2)y=OPsin?M0zxyrPxyz=rsincos=rsinsin目前二十三頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)球面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面：r=常數(shù)=常數(shù)=常數(shù)dxdydz=r2sin

drddzxy目前二十四頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例5.計(jì)算其中={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：x2+y2+z2=1r=1而0≤≤2故用=截得D()原積分xyz0目前二十五頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)xyz0z011r=1目前二十六頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于十一點(diǎn)例