復變函數(shù)映射

復變函數(shù)映射第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復變函數(shù)的定義2.映射的概念3.反函數(shù)或逆映射§3復變函數(shù)第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似定義

第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例1例2第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合2.映射的概念——復變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的對應關系來表達兩對變量u，v與x，y

之間的對應關系，以便在研究和理解復變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解—關于實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉變換(映射)見圖2例4解第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月3.反函數(shù)或逆映射例設z=w2則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例已知映射w=z3，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象。例第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月1.函數(shù)的極限2.運算性質3.函數(shù)的連續(xù)性§4復變函數(shù)的極限與連續(xù)性第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月1.函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:當變點z一旦進入z0的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)

意義中的方式是任意的.與一元實變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是復數(shù).2.運算性質復變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關系：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

以上定理用極限定義證!第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例1例2例3第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月3.函數(shù)的連續(xù)性定義定理3第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozz第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為連續(xù)函數(shù);連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。有界性：第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章解析函數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件第三節(jié)初等函數(shù)第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月1.復變函數(shù)的導數(shù)定義2.解析函數(shù)的概念§2.1解析函數(shù)的概念第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月一.復變函數(shù)的導數(shù)(1)導數(shù)定義定義設函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點z0處可導。稱此極限值為f(z)在z0的導數(shù)，記作如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導。第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)求導公式與法則①常數(shù)的導數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對于復平面上任意一點z0，有----實函數(shù)中求導法則的推廣第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月③設函數(shù)f(z),g(z)均可導，則[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月④復合函數(shù)的導數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。思考題第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例3問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導？例2解解第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導。證明第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)復變函數(shù)在一點處可導，要比實函數(shù)在一點處可導要求高得多，也復雜得多，這是因為Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故。(2)在高等數(shù)學中要舉出一個處處連續(xù)，但處處不可導的例題是很困難的,但在復變函數(shù)中，卻輕而易舉。第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)可導與連續(xù)若w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處連續(xù).?第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內(nèi)處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點。

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導。(2)函數(shù)f(z)在z0點可導，未必在z0解析。第32頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例如(1)w=z2在整個復平面處處可導，故是整個復平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個復平面上的解析函數(shù)；

(3)w=zRez在整個復平面上處處不解析(見例4)。定理1設w=