2023年中學(xué)數(shù)學(xué)競賽講義數(shù)列

中學(xué)數(shù)學(xué)競賽講義——數(shù)列一、基礎(chǔ)知識定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。定理1若Sn表達(dá){an}的前n項(xiàng)和，則S1=a1,當(dāng)n>1時(shí)，an=Sn-Sn-1.定義2等差數(shù)列，假如對任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d,則a=b-d,c=b+d.定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n,m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；5）對任意正整數(shù)p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，都有，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sn=；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；3）假如a,b,c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a,c的等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。定義4極限，給定數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)A，若對任意的>0，存在M，對任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，則稱A為n→+∞時(shí)數(shù)列{an}的極限，記作定義5無窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列{an}的公比q滿足|q|<1，則稱之為無窮遞增等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn的極限（即其所有項(xiàng)的和）為（由極限的定義可得）。定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)n≥n0成立。競賽常用定理定理4第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對一切n≤k的自然數(shù)n都成立時(shí)（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數(shù)n≥n0成立。定理5對于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特性方程x2=ax+b的兩個(gè)根為α,β:(1)若αβ，則xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始條件x1,x2的值擬定；(2)若α=β，則xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值擬定。二、方法與例題1．不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是對的的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。例1試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不規(guī)定證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…?！窘狻?）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2已知數(shù)列{an}滿足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1，求通項(xiàng)an.【解】由于a1=,又a1+a2=22·a2,所以a2=，a3=,猜想(n≥1).證明；1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=，猜想對的。2）假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)猜想成立。當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1,，所以=k(k+2)ak+1,即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以例3設(shè)0<a<1，數(shù)列{an}滿足an=1+a,an-1=a+，求證：對任意n∈N+,有an>1.【證明】證明更強(qiáng)的結(jié)論：1<an≤1+a.1)當(dāng)n=1時(shí)，1<a1=1+a，①式成立；2)假設(shè)n=k時(shí)，①式成立，即1<an≤1+a，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。2．迭代法。數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。例4數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求證：存在常數(shù)c，使得·an+【證明】·an+1+(pan+1+an+2)+=an+2·(-qan)+=+an(pqn+1+qan)]=q().若=0，則對任意n,+=0，取c=0即可.若0，則{+}是首項(xiàng)為，公式為q的等比數(shù)列。所以+=·qn.取·即可.綜上，結(jié)論成立。例5已知a1=0,an+1=5an+，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.【證明】由于a1=0,a2=1，所以由題設(shè)知當(dāng)n≥1時(shí)an+1>an.又由an+1=5an+移項(xiàng)、平方得①當(dāng)n≥2時(shí)，把①式中的n換成n-1得，即②由于an-1<an+1，所以①式和②式說明an-1,an+1是方程x2-10anx+-1=0的兩個(gè)不等根。由韋達(dá)定理得an+1+an-1=10an(n≥2).再由a1=0,a2=1及③式可知，當(dāng)n∈N+時(shí)，an都是整數(shù)。3．?dāng)?shù)列求和法。數(shù)列求和法重要有倒寫相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。例6已知an=(n=1,2,…)，求S99=a1+a2+…+a99.【解】由于an+a100-n=+=，所以S99=例7求和：+…+【解】一般地，，所以Sn=例8已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：Sn<2?！咀C明】由遞推公式可知，數(shù)列{an}前幾項(xiàng)為1，1，2，3，5，8，13。由于，①所以。②由①-②得，所以。又由于Sn-2<Sn且>0,所以Sn,所以，所以Sn<2，得證。4．特性方程法。例9已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.【解】由特性方程x2=4x-4得x1=x2=2.故設(shè)an=(α+βn)·2n-1，其中，所以α=3，β=0，所以an=3·2n-1.例10已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.【解】由特性方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,所以an=α·3n+β·(-1)n，其中，解得α=，β，所以·3]。5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。例11正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)?！窘狻坑傻?1，即令bn=+1，則{bn}是首項(xiàng)為+1=2，公比為2的等比數(shù)列，所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，所以an=·…··a0=注：C1·C2·…·Cn.例12已知數(shù)列{xn}滿足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通項(xiàng)。【解】考慮函數(shù)f(x)=的不動點(diǎn)，由=x得x=由于x1=2,xn+1=,可知{xn}的每項(xiàng)均為正數(shù)。又+2≥，所以xn+1≥(n≥1)。又Xn+1-==,①Xn+1+==,②由①÷②得。③又>0，由③可知對任意n∈N+，>0且,所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列。所以·，所以，解得·。注：本例解法是借助于不動點(diǎn)，具有普遍意義。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．?dāng)?shù)列{xn}滿足x1=2,xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，xn=_________.2.數(shù)列{xn}滿足x1=，xn+1=,則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.3.數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.4.等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0,Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時(shí)，5.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.6.數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn，則S100=_________.7.數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若，并且x1+x2+…+xn=8，則x1=_________.9.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若，則=_________.10.若n!=n(n-1)…2·1,則=_________.11．若{an}是無窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48,log2a2·log2a3+log2a2·log2a5+log2a2·log2a6+log2a5·12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。四、高考水平訓(xùn)練題1．已知函數(shù)f(x)=，若數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=f(an)(n∈N+)，則a2023=_____________.2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an=3.若an=n2+,且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=,前n項(xiàng)和為Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，則an=_____________.5.已知，則a的取值范圍是______________.6．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n∈N+)，存在_________個(gè)a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個(gè)a1值，使{an}成等比數(shù)列。7．已知(n∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.8．有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為____________.9.設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對于所有自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=____________.10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).11．已知數(shù)列{an}中，an0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是（n≥2）①恒成立。12．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=(n≥2),當(dāng)a1=p,b1=q(p>0,q>0)且p+q=1時(shí)，（1）求證：an>0,bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=；（3）求數(shù)列13．是否存在常數(shù)a,b,c，使題設(shè)等式1·22+2·32+…+n·(n+1)2=(an2+bn+c)對于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_________個(gè)。2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1,xn=，則通項(xiàng)xn=__________.3.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an>0，且，則通項(xiàng)an=__________.4.已知數(shù)列a0,a1,a2,…,an,…滿足關(guān)系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，則=__________.5.等比數(shù)列a+log23,a+log43,a+log83的公比為=__________.6.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有__________項(xiàng).7.數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=6,且=2，則________.8.數(shù)列{an}稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0,{an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有__________項(xiàng).9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1,an+1=。問：對于如何的h，存在大于0的整數(shù)n，使得an=1？10．設(shè){ak}k≥1為一非負(fù)整數(shù)列，且對任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得a1=1,a2>1,an+1(an+1-1)=六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1,2,….2．設(shè)a1,a2,…,an表達(dá)整數(shù)1，2，…，n的任一排列