樣本均值的抽樣分布

抽樣分布根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)，必須知道樣本統(tǒng)計(jì)量分布。定義6.2某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，從理論上說就是在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由每一個(gè)樣本算出的該統(tǒng)計(jì)量數(shù)值的相對(duì)數(shù)頻數(shù)分布或概率分布。由于現(xiàn)實(shí)中我們不可能將所有的樣本都抽出來，因此，統(tǒng)計(jì)的抽樣分布實(shí)際由于現(xiàn)實(shí)中我們不可能將所有的樣本都抽出來，因此，統(tǒng)計(jì)的抽樣分布實(shí)際上是一種理論分布。（一）樣本均值的抽樣分布從單位數(shù)為N從單位數(shù)為N的總體中抽取樣本容量為n的隨機(jī)樣本在重復(fù)抽樣的條件下共有Nn個(gè)可能的樣本，在不重復(fù)抽樣條件下，共有Cn共有Nn個(gè)可能的樣本，在不重復(fù)抽樣條件下，共有Cn=NN!個(gè)可能樣本。n!(N-n)!對(duì)于每一個(gè)樣本，我們都可以計(jì)算出樣本的均值無（或S2或p），因此，樣本均值是一個(gè)隨機(jī)變量。所有的樣本均值形成的分布就是樣本均值的抽樣分布。［例6.4］設(shè)一個(gè)總體含有4個(gè)個(gè)體（元素），即N=4,取值分別為:總體分布為均勻分布如圖6.1所示。0.20.10總體分布為均勻分布如圖6.1所示。0.20.10y0.30.25圖6.110總體均值：h=X= =2.54'（X一X）2總體方差：。2= =1.25n若重復(fù)抽樣，n=2貝供有42=16個(gè)可能樣本。具體列示如表5.1.1。表6.1可能的樣本及其均值A(chǔ)BCDEF1樣本序?qū)楸驹貥颖揪禈颖拘驅(qū)颖驹貥颖揪?11.1191232L2L5103t22.543L32113t3354L42.5123t43.5652.12.5134t12.5762.22144t23872,32.515牝33.5982.43164t44 |每個(gè)樣本被抽中的概率相同，均值為-16樣本均值的抽樣分布如表5.1.2和圖5.1.2所示。樣本均值無抽樣分布的形狀與原有總體的分布有關(guān)，如果原有總體是正態(tài)分布，樣本均值也服從正態(tài)分布。如果總體分布是非正態(tài)分布，當(dāng)x為大樣本（n>30）時(shí)，樣本均值的分布趨于服從正態(tài)分布；當(dāng)x為小樣本時(shí)，其分布不是正態(tài)分布。下面再讓我們來看看樣本均值無抽樣分布的特征：數(shù)學(xué)期望和方差。設(shè)總體共有N個(gè)元素，其均值為日，方差為。2，從中抽取容量為n的樣本。TOC\o"1-5"\h\zE（無）=x=X=日 （6.1）b2=號(hào)（重復(fù)抽樣） （6.2）b2=2!（里^）（不重復(fù)抽樣） （6.3）xnN—1對(duì)于無限總體，樣本均值的方差，不重復(fù)抽樣也可按重復(fù)抽樣來處理；對(duì)于有限總體，當(dāng)N很大，而n/N又很小，修正系數(shù)N—n會(huì)趨于1，不重復(fù)抽樣也N—1可按重復(fù)抽樣來處理。樣本均值X抽樣分布的特征一數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算公式，可以通過[例6.4]加以驗(yàn)證。1.0+1.5+???+3.5+4.040樣本均值的均值X= = =2.5=日16 16

101.25b216￡（x-u101.25b216樣本均值的方差b2= 巳U）xn圖6.2樣本均值的抽樣分布圖6.2樣本均值的抽樣分布表6.2 樣本均值的抽樣分布ABc[x~f21.01蕓1.520.12^043CklBT552-54CL25000W.DaO1口7573-520-1250y4.01O.OS2E9告計(jì)1.0000即成數(shù)。1即成數(shù)。1N1—兀=—0-N1n1—p=—on（6.4）（6.5）（二）抽樣比例的抽樣分布比例即結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)總體比例兀=曳N樣本比例〃=氏n當(dāng)n很大時(shí)，樣本比例p的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。對(duì)于樣本比例p，若np>5和n（1—p）>5，就可以認(rèn)為樣本容量足夠大了。E（P）=兀。；=絲三2（重復(fù)抽樣）6=吐義（^^）（不重復(fù)抽樣） （6?6）pn N-1與樣本均值分布的方差一樣，樣本比