特征值特征向量

特征值特征向量1.了解特征值特征向量的定義與性質(zhì)

2.理解特征值特征向量的幾何意義

3.通過實(shí)例，加深理解特征值特征向量的概念特征值特征向量的概念1特征值特征向量的幾何意義2舉例說明特征值特征向量3特征值特征向量的定義設(shè)A是ｎ階方陣，如果數(shù)和ｎ維非零向量ｘ使Ａｘ＝ｘ成立，則稱數(shù)為方陣Ａ的特征值，非零向量ｘ稱為Ａ相應(yīng)于特征值的特征向量（或稱為Ａ的屬于特征值的特征向量）。特征值和特征向量的性質(zhì)Ａ和ＡＴ有相同的特征值；若是Ａ的特征值，那么ｋ是Ａｋ的特征值；若矩陣的特征值可以不等于零，當(dāng)矩陣Ａ有特征值零時(shí)，Ａ不可逆。方陣Ａ的ｎ個(gè)特征值滿足：Ａ的全體特征值的和等于Ａ的主對(duì)角線上元素之和，而Ａ的全體特征值的積等于Ａ的行列式值。即：Ａ的全體特征值之和稱為矩陣Ａ的跡，記作。特征值和特征向量的幾何意義-1圖形“變換”與矩陣“乘法”是等價(jià)的，矩陣乘法對(duì)應(yīng)了一個(gè)變換，AX=Y相當(dāng)于把任意一個(gè)向量X變成了另一個(gè)方向和長(zhǎng)度都不相同的新向量Y。從特征值特征向量的定義可以清楚看到，矩陣A對(duì)向量x變換后的結(jié)果就是把向量x放大了倍。所以，如果矩陣對(duì)某個(gè)向量或某些向量只發(fā)生放大變換，那么這些向量就是這個(gè)矩陣的特征向量，放大的比例是矩陣的特征值。特征值為負(fù)時(shí)，向量旋轉(zhuǎn)了180°，也可看作向量方向不變，放大比為負(fù)。矩陣屬于某個(gè)特征值的特征向量有無窮多個(gè)，其中一個(gè)特征向量表明經(jīng)過A變換后的全部向量在一條直線上，所以特征向量又稱線性不變向量。變換后的向量伸長(zhǎng)或縮短，或反向伸長(zhǎng)縮短，特征值為零時(shí)，變成了零向量。特征值和特征向量的幾何意義-2三階單位矩陣的行向量可表示三維直角坐標(biāo)系中x軸、y軸、z軸上的單位基向量。如果一個(gè)空間坐標(biāo)系用一個(gè)矩陣表示，那么這個(gè)坐標(biāo)系就可由這個(gè)矩陣的所有不共面特征向量表示。特征向量就像空間張開的各角度坐標(biāo)軸，它們的特征值代表從各角度伸出的長(zhǎng)短，越長(zhǎng)的軸特征越顯性，可作主要方向，短軸就是次要方向，屬于隱性特征了。實(shí)例-問題驗(yàn)證向量是矩陣分別屬于特征值的特征向量。實(shí)例解答解：根據(jù)特征值特征向量的定義，是矩陣A分別屬于特征值的特征向量。給定方陣A，求A的特征值和特征向量

稱為方陣A的特征方程。解特征方程求出的全部根，就是A的特征值，然后解齊次線性方程組的非零解就是A的特征向量。特別提醒特征方程與有相同的解（相同的特征根）,在實(shí)際計(jì)算特征值和特征向量時(shí)，常采用