協整分析與誤差修正模型

優(yōu)選協整分析與誤差修正模型目前一頁\總數四十三頁\編于十二點一、長期均衡關系與協整目前二頁\總數四十三頁\編于十二點問題的提出經典回歸模型（classicalregressionmodel）是建立在穩(wěn)定數據變量基礎上的，對于非穩(wěn)定變量，不能使用經典回歸模型，否則會出現虛假回歸等諸多問題。由于許多經濟變量是非穩(wěn)定的，這就給經典的回歸分析方法帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關系，即它們之間是協整的（cointegration)，則是可以使用經典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國居民人均消費水平與人均GDP變量的例子中：因果關系回歸模型要比ARMA模型有更好的預測功能，

其原因在于，從經濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水平，而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關系，即它們之間是協整的（cointegration）。目前三頁\總數四十三頁\編于十二點

經濟理論指出，某些經濟變量間確實存在著長期均衡關系，這種均衡關系意味著經濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調整以使其重新回到均衡狀態(tài)。假設X與Y間的長期“均衡關系”由式描述

1、長期均衡式中:t是隨機擾動項。

該均衡關系意味著:給定X的一個值，Y相應的均衡值也隨之確定為0+1X。

目前四頁\總數四十三頁\編于十二點在t-1期末，存在下述三種情形之一：

（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt；（2）Y小于它的均衡值：Yt-1<0+1Xt；（3）Y大于它的均衡值：Yt-1>

0+1Xt；在時期t，假設X有一個變化量Xt，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關系，則Y的相應變化量由式給出:式中，vt=t-t-1。

目前五頁\總數四十三頁\編于十二點實際情況往往并非如此

如果t-1期末，發(fā)生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化Yt大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，則Y的變化往往會小于第一種情形下的Yt。

可見，如果Yt=0+1Xt+t正確地提示了X與Y間的長期穩(wěn)定的“均衡關系”，則意味著Y對其均衡點的偏離從本質上說是“臨時性”的。因此，一個重要的假設就是:隨機擾動項t必須是平穩(wěn)序列。顯然，如果t有隨機性趨勢（上升或下降），則會導致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。目前六頁\總數四十三頁\編于十二點式Yt=0+1Xt+t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibriumerror），它是變量X與Y的一個線性組合：

(*)因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X與Y間的長期均衡關系正確的話，（*）式表述的非均衡誤差應是一平穩(wěn)時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。

從這里已看到，非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。

例如：假設Yt=0+1Xt+t式中的X與Y是I(1)序列，如果該式所表述的它們間的長期均衡關系成立的話，則意味著由非均衡誤差（*）式給出的線性組合是I(0)序列。這時我們稱變量X與Y是協整的（cointegrated）。目前七頁\總數四十三頁\編于十二點如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d階單整，存在向量=(1,2,…,k)，使得

Zt=XT~I(d-b)

其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，則認為序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)階協整，記為Xt~CI(d,b)，為協整向量（cointegratedvector）。⒉協整

在中國居民人均消費與人均GDP的例中，該兩序列都是2階單整序列，而且可以證明它們有一個線性組合構成的新序列為0階單整序列，于是認為該兩序列是(2,2)階協整。

由此可見:如果兩個變量都是單整變量，只有當它們的單整階數相同時，才可能協整；如果它們的單整階數不相同，就不可能協整。目前八頁\總數四十三頁\編于十二點

三個以上的變量，如果具有不同的單整階數，有可能經過線性組合構成低階單整變量。例如，如果存在：并且那么認為：

目前九頁\總數四十三頁\編于十二點（d,d）階協整是一類非常重要的協整關系，它的經濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關系。

例如：前面提到的中國CPC和GDPPC，它們各自都是2階單整，并且將會看到，它們是(2,2)階協整，說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關系，從計量經濟學模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數模型

從協整的定義可以看出:變量選擇是合理的，隨機誤差項一定是“白噪聲”（即均值為0，方差不變的穩(wěn)定隨機序列），模型參數有合理的經濟解釋。這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的，但卻可以用經典的回歸分析方法建立回歸模型的原因。目前十頁\總數四十三頁\編于十二點

從這里，我們已經初步認識到：檢驗變量之間的協整關系，在建立計量經濟學模型中是非常重要的。而且，從變量之間是否具有協整關系出發(fā)選擇模型的變量，其數據基礎是牢固的，其統(tǒng)計性質是優(yōu)良的。目前十一頁\總數四十三頁\編于十二點二、協整檢驗目前十二頁\總數四十三頁\編于十二點

1、兩變量的Engle-Granger檢驗為了檢驗兩變量Yt,Xt是否為協整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。

第一步，用OLS方法估計方程Yt=0+1Xt+t并計算非均衡誤差，得到：

稱為協整回歸(cointegrating)或靜態(tài)回歸(staticregression)。

目前十三頁\總數四十三頁\編于十二點

的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗。

由于協整回歸中已含有截距項，則檢驗模型中無需再用截距項。如使用模型1進行檢驗時，拒絕零假設H0：=0，意味著誤差項et是平穩(wěn)序列，從而說明X與Y間是協整的。

需要注意是，這里的DF或ADF檢驗是針對協整回歸計算出的誤差項

而非真正的非均衡誤差t進行的。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量是向下偏倚的，這樣將導致拒絕零假設的機會比實際情形大。

于是對et平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值應該比正常的DF與ADF臨界值還要小。目前十四頁\總數四十三頁\編于十二點MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協整檢驗的臨界值，表是雙變量情形下不同樣本容量的臨界值。

表6.1.1

雙變量協整ADF檢驗臨界值

顯

著

性

水

平

樣本容量

0.01

0.05

0.10

25

-4.37

-3.59

-3.22

50

-4.12

-3.46

-3.13

100

-4.01

-3.39

-3.09

∝

-3.90

-3.33

-3.05

目前十五頁\總數四十三頁\編于十二點

例6.1.1

檢驗中國居民人均消費水平CPC與人均國內生產總值GDPPC的協整關系。在前文已知CPC與GDPPC都是I(2)序列，而§2.10中已給出了它們的回歸式

R2=0.9981

通過對該式計算的殘差序列作ADF檢驗，得適當檢驗模型

（-4.47）(3.93)(3.05)LM(1)=0.00LM(2)=0.00t=-4.47<-3.75=ADF0.05，拒絕存在單位根的假設，殘差項是穩(wěn)定的，因此中國居民人均消費水平與人均GDP是(2,2)階協整的，說明了該兩變量間存在長期穩(wěn)定的“均衡”關系。

目前十六頁\總數四十三頁\編于十二點2、多變量協整關系的檢驗—擴展的E-G檢驗多變量協整關系的檢驗要比雙變量復雜一些，主要在于協整變量間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合。假設有4個I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關系：(*)其中，非均衡誤差項t應是I(0)序列：

(**)目前十七頁\總數四十三頁\編于十二點然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關系：則非均衡誤差項v1t、v2t一定是穩(wěn)定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的。例如(***)由于vt象（**）式中的t一樣，也是Z、X、Y、W四個變量的線性組合，由此（***）式也成為該四變量的另一穩(wěn)定線性組合。（1,-0,-1,-2,-3）是對應于（**）式的協整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是對應于（***）式的協整向量。

一定是I(0)序列。目前十八頁\總數四十三頁\編于十二點對于多變量的協整檢驗過程，基本與雙變量情形相同，即需檢驗變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩(wěn)定的線性組合。

在檢驗是否存在穩(wěn)定的線性組合時，需通過設置一個變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩(wěn)。

如果不平穩(wěn)，則需更換被解釋變量，進行同樣的OLS估計及相應的殘差項檢驗。

當所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后，仍不能得到平穩(wěn)的殘差項序列，則認為這些變量間不存在（d,d）階協整。

檢驗程序：目前十九頁\總數四十三頁\編于十二點

同樣地，檢驗殘差項是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小，而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數的影響。表6.1.2給出了MacKinnon(1991)通過模擬試驗得到的不同變量協整檢驗的臨界值。表6.1.2

多變量協整檢驗ADF臨界值變量數=3變量數=4變量數=6樣本顯著性水平顯著性水平顯著性水平容量0.010.050.10.010.050.10.010.050.125-4.92-4.1-3.71-5.43-4.56-4.15-6.36-5.41-4.9650-4.59-3.92-3.58-5.02-4.32-3.98-5.78-5.05-4.69100-4.44-3.83-3.51-4.83-4.21-3.89-5.51-4.88-4.56∝-4.30-3.74-3.45-4.65-4.1-3.81-5.24-4.7-4.42目前二十頁\總數四十三頁\編于十二點2、多變量協整關系的檢驗—JJ檢驗Johansen于1988年，以及與Juselius于1990年提出了一種用極大或然法進行檢驗的方法，通常稱為JJ檢驗。

《高等計量經濟學》（清華大學出版社，2000年9月）P279-282.E-views中有JJ檢驗的功能。目前二十一頁\總數四十三頁\編于十二點三、誤差修正模型目前二十二頁\總數四十三頁\編于十二點

前文已經提到，對于非穩(wěn)定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經典的回歸分析模型。

如：建立人均消費水平（Y）與人均可支配收入（X）之間的回歸模型：

1、誤差修正模型式中，vt=t-

t-1差分X,Y成為平穩(wěn)序列建立差分回歸模型

如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢目前二十三頁\總數四十三頁\編于十二點(1)如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關系Yt=0+1Xt+t且誤差項t不存在序列相關，則差分式

Yt=1Xt+t中的t是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關的；

然而，這種做法會引起兩個問題：(2)如果采用差分形式進行估計，則關于變量水平值的重要信息將被忽略，這時模型只表達了X與Y間的短期關系，而沒有揭示它們間的長期關系。因為，從長期均衡的觀點看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。

另外，使用差分變量也往往會得出不能令人滿意回歸方程。目前二十四頁\總數四十三頁\編于十二點例如，使用Yt=1Xt+t回歸時，很少出現截距項顯著為零的情況，即我們常常會得到如下形式的方程：

在X保持不變時，如果模型存在靜態(tài)均衡（staticequilibrium），Y也會保持它的長期均衡值不變。但如果使用（*）式，即使X保持不變，Y也會處于長期上升或下降的過程中(Why?)，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。

這與大多數具有靜態(tài)均衡的經濟理論假說不相符。

可見，簡單差分不一定能解決非平穩(wěn)時間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應運而生。(*)目前二十五頁\總數四十三頁\編于十二點

誤差修正模型（ErrorCorrectionModel，簡記為ECM）是一種具有特定形式的計量經濟學模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。為了便于理解，我們通過一個具體的模型來介紹它的結構。假設兩變量X與Y的長期均衡關系為:Yt=0+1Xt+t由于現實經濟中X與Y很少處在均衡點上，因此實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關系，假設具有如下(1,1)階分布滯后形式該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關。

目前二十六頁\總數四十三頁\編于十二點由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運用OLS法。對上述分布滯后模型適當變形得

或

式中，

（**）如果將（**）中的參數，與Yt=0+1Xt+t中的相應參數視為相等，則（**）式中括號內的項就是t-1期的非均衡誤差項。

（**）式表明：Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。同時，（**）式也彌補了簡單差分模型Yt=1Xt+t的不足，因為該式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對前期的非均衡程度作出了修正。目前二十七頁\總數四十三頁\編于十二點稱為一階誤差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel)。

（**）式可以寫成：

（**）知，一般情況下||<1，由關系式=1-得0<<1。可以據此分析ecm的修正作用：（***）其中:ecm表示誤差修正項。由分布滯后模型(1)若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解0+1X，ecm為正，則(-ecm)為負，使得Yt減少；(2)若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解0+1X，ecm為負，則(-ecm)為正，使得Yt增大。

（***）體現了長期非均衡誤差對的控制。目前二十八頁\總數四十三頁\編于十二點

其主要原因在于變量對數的差分近似地等于該變量的變化率，而經濟變量的變化率常常是穩(wěn)定序列，因此適合于包含在經典回歸方程中。需要注意的是：在實際分析中，變量常以對數的形式出現。于是:(1)長期均衡模型Yt=0+1Xt+t中的1可視為Y關于X的長期彈性（long-runelasticity）(2)短期非均衡模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中的1可視為Y關于X的短期彈性（short-runelasticity）。目前二十九頁\總數四十三頁\編于十二點

如具有季度數據的變量，可在短期非均衡模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中引入更多的滯后項。更復雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立。

引入二階滯后的模型為

經過適當的衡等變形，可得如下二階誤差修正模型

(*)引入三階滯后項的誤差修正模型與（*）式相仿，只不過模型中多出差分滯后項Yt-2，Xt-2，。

目前三十頁\總數四十三頁\編于十二點

多變量的誤差修正模型也可類似地建立。如三個變量如果存在如下長期均衡關系則其一階非均衡關系可寫成

于是它的一個誤差修正模型為

目前三十一頁\總數四十三頁\編于十二點

（1）Granger表述定理

誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點：如a）一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而避免了虛假回歸問題；b）一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題；c）誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視；d）由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經典的回歸方法進行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選??；等等。因此，一個重要的問題就是：是否變量間的關系都可以通過誤差修正模型來表述？2、誤差修正模型的建立目前三十二頁\總數四十三頁\編于十二點

如果變量X與Y是協整的，則它們間的短期非均衡關系總能由一個誤差修正模型表述：0<<1

（*）式中，t-1是非均衡誤差項或者說成是長期均衡偏差項，是短期調整參數。就此問題，Engle與Granger1987年提出了著名的Grange表述定理（Grangerrepresentaiontheorem）：對于(1,1)階自回歸分布滯后模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t

如果Yt~I(1),Xt~I(1);那么的左邊Yt~I(0)

，右邊的Xt~I(0)，因此，只有Y與X協整，才能保證右邊也是I(0)。目前三十三頁\總數四十三頁\編于十二點首先對變量進行協整分析，以發(fā)現變量之間的協整關系，即長期均衡關系，并以這種關系構成誤差修正項。然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。注意，由于Y=lagged(Y,X)+t-1+t0<<1中沒有明確指出Y與X的滯后項數，因此，可以是多個；同時，由于一階差分項是I(0)變量，因此模型中也允許使用X的非滯后差分項Xt。

Granger表述定理可類似地推廣到多個變量的情形中去。因此，建立誤差修正模型，需要目前三十四頁\總數四十三頁\編于十二點由協整與誤差修正模型的的關系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法：第一步，進行協整回歸（OLS法），檢驗變量間的協整關系，估計協整向量（長期均衡關系參數）；第二步，若協整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應參數。

需要注意的是：在進行變量間的協整檢驗時，如有必要可在協整回歸式中加入趨勢項，這時，對殘差項的穩(wěn)定性檢驗就無須再設趨勢項。

另外，第二步中變量差分滯后項的多少，可以殘差項序列是否存在自相關性來判斷，如果存在自相關，則應加入變量差分的滯后項。（2）Engle-Granger兩步法目前三十五頁\總數四十三頁\編于十二點（3）直接估計法

也可以采用打開誤差修整模型中非均衡誤差項括號的方法直接用OLS法估計模型。

但仍需事先對變量間的協整關系進行檢驗。如對雙變量誤差修正模型可打開非均衡誤差項的括號直接估計下式：這時短期彈性與長期彈性可一并獲得。

需注意的是，用不同方法建立的誤差修正模型結果也往往不一樣。

目前三十六頁\總數四十三頁\編于十二點

經濟理論指出，居民消費支出是其實際收入的函數。以中國國民核算中的居民消費支出經過居民消費價格指數縮減得到中國居民實際消費支出時間序列（C）；以支出法GDP對居民消費價格指數縮減近似地代表國民收入時間序列(GDP)

時間段為1978~2000（表7.3.3）例

中國居民消費的誤差修正模型

表6.1.31978~1998年間中國實際居民消費與實際GDP數據（單位：億元，1990年價）

年份

C

GDP

年份

C

GDP

年份

C

GDP

1978

3810

7809

1985

7579

14521

1992

11325

23509

1979

4262

8658

1986

8025

15714

1993

12428

27340

1980

4581

8998

1987

8616

17031

1994

13288

29815

1981

5023

9454

1988

9286

17889

1995

14693

31907

1982

5423

10380

1989

8788

16976

1996

16189

34406

1983

5900

11265

1990

9113

18320

1997

17072

36684

1984

6633

12933

1991

9977

20581

1998

18230

39008

目前三十七頁\總數四十三頁\編于十二點（1）對數據lnC與lnGDP進行單整檢驗容易驗證lnC與lnGDP是一階單整的，它們適合的檢驗模型如下：

(3.81)（-4.01）（2.66）（2.26）（2.54）LM(1)=0.38LM(2)=0.67LM(3)=2.34LM(4)=2.46目前三十八頁\總數四十三頁\編于十二點首先，建立lnC與lnGDP的回歸模型（2）檢驗lnC與lnGDP的協整性，并建立長期均衡關系

（0.30）(57.48)R2=0.994DW=0.744發(fā)現有殘關項有較強的一階自相關性?？紤]加入適當的滯后項，得lnC與lnGDP的分布滯后模型

(1.63)(6.62）（4.92）（-2.17）R2=0.994DW=1.92LM(1)=0.00LM(2)=2.31自相關性消除，因此可初