高等代數(shù)專題研究-歷屆期末考試重點(diǎn)題

2016年春季高等代數(shù)專題研究-期末考試重點(diǎn)題

第一章重難點(diǎn)解析

i.代數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上就是一種映射.討于非空集合a來(lái)說(shuō)，若廣dxdfa是a上的二元“

代數(shù)運(yùn)算，則對(duì)于a中任意兩個(gè)元素a和6,有唯一確定的H中的元素/(a/)與之對(duì)應(yīng).

/Q6)即為a和方在f所定義的運(yùn)篝下得到的結(jié)果.當(dāng)a和方取定時(shí),/5力)必須是確定的，

唯一的，且屬于.L。

2.笛卡爾積.03與3xH一般不相等,只有當(dāng)A=3時(shí)才相等.它們的元素都是有序數(shù)

對(duì),不能交換位置

3.當(dāng)H,B都是有限集時(shí)，HxS與所包含的元素個(gè)數(shù)是相同的，都等于|a|x|B|

(|J|表示集合a的元素個(gè)數(shù))”

4.數(shù)學(xué)歸綱法由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，遞推起點(diǎn)和歸納假設(shè).在證明問(wèn)題時(shí)，二者缺一不可

第一章典型例題

例1.2.1證明：對(duì)任意〃eZ+，都有，

---H----+…H—-----=1----(1.2.1)

1x22x3M(M+1)M+1

證明：當(dāng)〃=1時(shí)，（L2.1）式右邊=1-J-=L,左邊=-1-=！，故〃=1

1+121x22

時(shí)，（1.2.1）式成立.“

現(xiàn)設(shè)（L2.1）式對(duì)〃成立，考慮〃+1的情形

----------1----------+???H-----------------------------

1x22x3(〃+1)(〃+2)

(1.2.2%

〃+1〃+2

〃+2

所以，（L2.1）式對(duì)〃+1成立

綜上，由數(shù)學(xué)歸納法原理知（1.2.1）式對(duì)一切正整數(shù)〃都成立

說(shuō)明：這是一個(gè)錯(cuò)誤的證明，其錯(cuò)誤在于證明（L2.1）對(duì)〃+1成立時(shí)

并沒(méi)有用到歸納假設(shè).“

正確的過(guò)程如下：由歸納假設(shè)知“

(M+1)(M+2)

事實(shí)上，（1.2.2）式的過(guò)程是正確的，但是是對(duì)（1.2.1）式的一個(gè)直接證

明，不應(yīng)該套上數(shù)學(xué)歸納法這頂帽子.“

第二章重難點(diǎn)解析

1.定理2.4.2是最大公因式的存在表示定理，它的重要性在于它明確地給出了計(jì)算任

意兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式的一般方法,而且把最大公因式表示為這兩個(gè)多項(xiàng)式的組合.與

定理2.4.2相似的是定理2.4.3,它描述的是兩個(gè)多項(xiàng)式互素即最大公因式為非零常數(shù)的情

形.但要注意的是定理2.4.3給出的是充要條件，而定理2.4.2只是充分條件.，

2.一個(gè)多項(xiàng)式是否可約，依賴于系數(shù)所在域.例如，父-2在Q[x]中是不可與多項(xiàng)式，

但在R[x]中則是可約的，因?yàn)?-：!=卜-盧|卜+下|.因此，談及可約或不可約的概

念時(shí)，一定要明確是針對(duì)哪個(gè)系數(shù)域而言的

3.因式分解及唯一性定理證明了一元多項(xiàng)式因式分解的存在唯一性，但并沒(méi)有給出統(tǒng)

一有效的因式分解的方法，需要具體情況具體分析

對(duì)于復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，我們有一

定理2.8.3每個(gè)次數(shù)大于0的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解為一次因

式的乘積.。

由推論2.7.2根與一次因式的關(guān)系可知，我們要求出復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的所有根

對(duì)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，可先把它看作復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，求出它的所有根.由于實(shí)系數(shù)多

項(xiàng)式的共規(guī)虛根成對(duì)出現(xiàn)，將它們時(shí)應(yīng)的一次因式兩兩結(jié)合，即可得~

2.8.7每個(gè)次數(shù)大于0的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解為一次因

式與二次不可約因式的乘積

對(duì)于有理系數(shù)多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，我們先將其分解為一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積，進(jìn)

而轉(zhuǎn)化為考察整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解.定理2.9.4給出了求整系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根

的方法，從而可得整系數(shù)多項(xiàng)式的全部一次有理因式.需要注意的是，如果整系數(shù)多項(xiàng)式的

次數(shù)大于3,那么不能以它沒(méi)有有理根就推出它不可約的結(jié)論.因?yàn)樗鼪](méi)有有理根，只是說(shuō)

明它沒(méi)有一次因式，但是它可能有次數(shù)大于1的因式，從而它可能是可約的.，

艾森斯坦因判別法給出了判定一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否不可約的一個(gè)充分

條件，但不是必要條件，也就是說(shuō)，找不到定理2.9.5中的素?cái)?shù)p,多項(xiàng)式可能是可約的,

也可能是不可約的.例如多項(xiàng)式/+1與X3-3x+2都不存在定理2.9.5中的素?cái)?shù)p，但前

者在有理數(shù)域上不可約，后者卻是可約.在實(shí)際問(wèn)題中，常常不能直接運(yùn)用艾森斯坦因判別

法，而是要經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變換.需要注意的是，所用變換必須是可逆的，這樣，變換后的多項(xiàng)

式的可約性與原多項(xiàng)式的可約性才能保持一致.“

對(duì)于次數(shù)較高的有重因子的多項(xiàng)式f(x)，可以用代替〃X),因?yàn)?/p>

公)

與f(x)有相同的不可約因式，又不含重因式，次數(shù)低于,(X)，使得因式分

解變得簡(jiǎn)單，甚至變不可能為可能

4.如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式Ik>11,則p⑶是導(dǎo)數(shù)_f(x)的k-1

重因式，特別地，多項(xiàng)式f(x)的單因式不是它的導(dǎo)致尸(x)的因式.因此，/(X)的重因式

與的不可約因式完全一致.要考察f(x)的重因式，只需計(jì)算

即可.“

第二章典型例題

例也p聞適合什么條件時(shí)，有./+加x-l|x'+px+q“

解法1待定系數(shù)法“

如果小+儂:一1b3+/+4，則可設(shè)“

x3+px+q=(f+/nx-l)(x+a)?j

將上式右端展開(kāi)，再比較同次項(xiàng)的系數(shù)，得“

Q+加=0

<用QT=p”

_Q=g

解得q=%p=_/T,即當(dāng)q二加,p=一加2_］時(shí)，x1+mx-l\x3+px+q.^>

解法2帶余除法“

應(yīng)用帶余除法，.超直式及余式,令余式為零.從而得到所求條件.“

x2+772X-1x3+px+qx-m

X。加一工|

一加/+(p+l)x+q

-mx2-w2x+w

（p+l+〃尸）x+夕一班|

余式為(p+1+加?)工+夕一加=0.于是得一

p+1+m'=0

<P

q-m=Q

因此知，當(dāng)夕二見(jiàn)「二一加？T時(shí)，x2+Tnx-Ux'+px+q.e

第二章典型例題

例設(shè)/(x)=x'+31-x2-4x-3,g(x)=3.x3+10x2+2x-3,求(7(x),g(x)),并

求"(x),v(x)使得,，

(f(x),g(x))=?(x)/(x)+v(x)g(x).^

解：用轆轉(zhuǎn)相除法“

1Az<522510>

f(x)--X---g(x)+—x---x--p

(39產(chǎn)I993)

期+一+9)卜#-小-5+必+27)“

522510f510>,

--X--X-—=--x-一(9x+27),,

993I8181r7

因此，(/(x),g(x))=x+3..

而9x+27=g(x)-

：告+9卜(x)C)]“

=g(x)一

仔一-9)f(x)+1一1*丫一9)($一1)]目(%)“

(27-9)f(x)+[-3x'+￡x]g(x),

=1—5X-

因此(f(x),g(x))=(孑-1"e)+卜*2+g'g(x)"

第二章典型例題

例如果(7(x),g(x))=L且/'(x)|g(x)貼),則/㈤闡“

證明：由f(x),g(x)互素，可知存在”(x),v(x)使得“

—x)+—g(x)=L?

等式兩邊乘以Mx),得，

M(X)/(X)A(X)+v(x)g(x)A(x)=4(x).“

因?yàn)閒(x)|g(x)Mx)，所以/(X)整除等式左端，從而/(X)帆x).“

注：本例給出了運(yùn)用定理2.4.3來(lái)證明問(wèn)題的常見(jiàn)方法，非常簡(jiǎn)潔明了?！?/p>

第二章典型例題

例把/(x)=x4+x3+x2+x+l在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上因式分解.“

解：因?yàn)?工-1)/(%)=卜一。(./+/+%2+工+1〉

=x5-lv

而金一1的單位根為項(xiàng)=cos^^+zsin^^-.A:=0,1,213,4.

5

在復(fù)數(shù)域上，X-1=(X-X0)(X-X!)(X-X2)(X-X3)(X-X4)^

=(x-l)(x-xj)(x-x:)(x-x3)(x-x4)^

所以

/(x)=(x-.x^)(x-x2)(x-x3)(x-x4).*?

2k兀.2k九

又因?yàn)閄v=cos-----zsin----,，

55

——2左乃—

xk+xk=2cos—^—,xkxk—1,~

5j

所以在實(shí)數(shù)域上，x-l=(x-l)[(x-x1)(x-x4)][(x-x2)(x-x3)]<

(x-1)jx2-2cos/x+lj,x2-2cos^^x+l)

/(x)=fX2-2COSx+1J[x2-2cos?x+1

第二章典型例題

T、14

例在有理數(shù)域上分解一-2x'+5x—-

33

/c2v141

解;——2x+5工——二一(d-6x~+15x-14)/

333

如果丁一6產(chǎn)+15工-14可約，則它一定存在一次因式，即它一定有有理根，否則它不可

約.根據(jù)定理2.9.4,我們可以確定1-6f+15工-14的所有有理根只可能是

仕1,±2,±7,±14}.逐一代入驗(yàn)證可得，只有2是x3-6.d+15x-14的有理根，因此“

d-6f+15x_14=(x—2Xx，-4x+7”

從而---2x~+5x——=—(/—6x~+15K—14)=—(x—2)(x?—4x+7)~

注意：對(duì)于更高次的有理系數(shù)多項(xiàng)式，可約并不意味著一定有一次因式，也就不一定有有

理根，因此若它無(wú)有理根.不能得出它不可約.，

第二章典型例題

例判別多項(xiàng)式“

/（X）=X’-d+3x*-lx+10"

在有理數(shù)域上是否可約.。

解：令x=y+l,則.

<p（y）=+1）=V4+3y3+6y2+6^

取0=3,則由艾森斯坦因判別法知，0。）在有理數(shù)域上不可約，從而知/（x）=e（x-i）在有

理數(shù)域上不可約."

第三章重難點(diǎn)解析

1.線性空間是抽象的概念,是普通平面或立體幾何向量空間的一般化結(jié)果.我們可以借助

幾何向量空間來(lái)理解線性空間的運(yùn)算和性質(zhì)，但不能將它們等同.例如線性空間的元素盡管也

稱為“向量”，但它并不僅僅可以代表通常意義下的向量，還可能是矩陣、函數(shù)甚至映射.線性

空間中有兩種運(yùn)算，加法和標(biāo)量乘法.此處的“加法”和“標(biāo)量乘法”也并不一定是通常意義

下的加法和標(biāo)量乘法，相應(yīng)地，“零向量”和“負(fù)向量”也可能并非我們所想像的那樣，要根據(jù)

定義來(lái)確定.P

2.一般來(lái)說(shuō)，提到線性空間，需指明是哪個(gè)域上的，因?yàn)橥粋€(gè)集合，定義在不同域上,

可能得到不同的線性空間.例如按通常的加法和乘法,復(fù)數(shù)域C可以看作復(fù)數(shù)域C上的線性空

間，也可以看作實(shí)數(shù)域R上的線性空間，這是兩個(gè)不同的線性空間，前者是1維的，后者是2

維的.但是，實(shí)數(shù)域R不可看作復(fù)數(shù)域C上的線性空間，因?yàn)閷?duì)于標(biāo)量乘法不封閉，無(wú)法定義

標(biāo)量乘法運(yùn)售.p

3.八維線性空間「?中一個(gè)向量組生，的「二a是『的一組基有以下等價(jià)條件：，

(1)F中每一個(gè)向量都可以由以妙心「：4線性表示，而且表示方式是唯一的；，

(2)廠中每一個(gè)向量都可以由6：a：「ia.線性表示，而且%:火：…,a.線性無(wú)關(guān)；，

(3)產(chǎn)中每一個(gè)向量都可以由白匕a線性表示，而且〃=，?；。

(4)4,a：「；a.線性無(wú)關(guān)，而且＞=

4.維數(shù)公式刻畫(huà)了子空間的交與和的維數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)用非常廣泛

dim匕+dimh=dim/+母)+dim/A「；*

在證明過(guò)程中，需注意基的選取，一定要從子空間開(kāi)始，也就是說(shuō)要先選取匕「區(qū)的一組基，

將其分別擴(kuò)充為“和1；的一組基，進(jìn)而得到耳+『；的一組基.這個(gè)過(guò)程不能反過(guò)來(lái)，即不能

先找出到％+/；的一組基，再?gòu)闹蟹謩e確定弓和/；的一組基，這是做不到的.要注意，基只

是線性空間的一組生成元，雖然I；和/；都是耳+「；的子空間，但并不意味著「；+%的任一組

基中一定包含-和%的一組基.類似地，如果1；的一組基中每個(gè)向量都不屬于后,并不能由

此斷定/；0匕=｛。｝“

5.兩個(gè)線性子空間的和是直和有三個(gè)等價(jià)條件P

(1)和I；+4中的每個(gè)向量a都能唯一地表示成，

a=a1+a2；alel\,a:eV2s，

(2)wn、=｛0｝；“

(3)dim"；+T；j=dimT；+dim4"

第三章典型例題

例已知名,的《3是3維線性空間的一組基，向量組用,乩，內(nèi)滿足“

4++。2+。3,￡1+△=。2+生，△2+。3=%+%?

(1)證明：自,A，內(nèi)是一組基；”

(2)求由基4，乩,4到基藥,外,。3的過(guò)渡矩陣；，

(3)求向量。=q+2%-%在基緣氏內(nèi)下的坐標(biāo)?/

001001

10O1o

0H0,所以A，02,A

11111

---_-

22272

^2

是一組基.~

001

(2)解：由(綜氏內(nèi))=(%%%)100可得.

1￡2_

<222;

「010、

(%,%%)=(A?A?A)-1