2021版高考數學導與練一輪復習（浙江版）知識梳理第四章第三節(jié)二次函數與不等式

第三節(jié)二次函數與不等式復習目標學法指導1.二次函數、一元二次不等式、一元二次方程三者之間的關系.2.一元二次不等式的一般解法.3.含絕對值的一元二次不等式、含參數的一元二次不等式的解法.1.一般討論二次函數主要是將其通過一元二次方程和一元二次不等式來討論,而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數相聯系,通過二次函數圖象揭示解(集)的幾何特征.即2.解一元二次不等式,一般先化二次項系數為正,然后解得其對應的一元二次方程的兩個根,再借用圖象寫出不等式的解集.一、二次函數、一元二次不等式、一元二次方程三者之間的關系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實根x1,x2(x1<x2)有兩相等實根x1=x2沒有實根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠-}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}三個“二次”間關系二次函數、一元二次不等式、一元二次方程可以相互轉化.即令二次函數y=ax2+bx+c的y=0,則原式變?yōu)橐辉畏匠蘟x2+bx+c=0,令一元二次不等式ax2+bx+c>0的不等號變?yōu)榈忍?則原式轉變?yōu)橐辉畏匠蘟x2+bx+c=0.二、一元二次不等式ax2+bx+c≥0(<0)的解法解一元二次不等式首先應將二次項系數化為正值,然后根據不等式對應的二次方程的根的情況得出解集.關于ax2+bx+c≥0,x∈R恒成立可等價為或1.解法理解(1)表達式中最高次項前含有字母參數,注意是否需要討論.(2)解一元二次不等式的一般步驟:①一解:解出方程ax2+bx+c=0的實根;②二畫:畫出函數y=ax2+bx+c的圖象;③三讀:讀出不等式的解集(結合原不等式和圖象).2.相關聯知識(1)對于含參數的不等式,必須進行討論,在討論時常用邏輯劃分的思想進行分類,然后對劃分的每一類分別進行求解,再綜合解出答案.(2)含絕對值不等式的常見解法主要有以下幾種:①|f(x)|>c與|f(x)|<c(c>0)型;②|f(x)|>g(x)(f(x)<g(x))型;③|f(x)|±|g(x)|>c型;④a<|f(x)|<b型.1.若不等式x2+2x+a≥-y2-2y對任意實數x,y都成立,則實數a的取值范圍是(C)(A)[0,+∞) (B)[1,+∞) (C)[2,+∞) (D)[3,+∞)解析:由已知得a≥-(x+1)2-(y+1)2+2,而-(x+1)2-(y+1)2+2的最大值為2,所以a≥2,故選C.2.不等式x2-|x|-2<0的解集是(A)(A){x|-2<x<2} (B){x|x<-2或x>2}(C){x|-1<x<1} (D){x|x<-1或x>1}解析:原不等式?|x|2-|x|-2<0?(|x|-2)(|x|+1)<0?|x|-2<0?-2<x<2.3.若關于x的不等式x2-4x-2-a>0在區(qū)間(1,4)內有解,則實數a的取值范圍是(A)(A)(-∞,-2) (B)(-2,+∞)(C)(-6,+∞) (D)(-∞,-6)解析:不等式x2-4x-2-a>0在區(qū)間(1,4)內有解等價于a<(x2-4x-2)max,令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.故選A.4.(2018·浙江溫州高三模擬)設函數f(x)=x2+x+a(a>0)滿足f(m)<0,則(C)(A)f(m+1)≥0 (B)f(m+1)≤0(C)f(m+1)>0 (D)f(m+1)<0解析:f(0)=f(-1)=a>0,f(m)<0,所以-1<m<0,0<m+1<1,f(x)在(-QUOTE12,+∞)上單調遞增,所以f(m+1)>f(0)>0.故選C.5.已知關于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立,則k的取值范圍是(A)(A)0≤k≤1 (B)0<k≤1(C)k<0或k>1 (D)k≤0或k≥1解析:當k=0時,不等式為8≥0恒成立,符合題意;當k>0時,若不等式kx2-6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立,則Δ=36k2-4k(k+8)≤0,解得0<k≤1;當k<0時,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能對任意x∈R恒成立.綜上,k的取值范圍是0≤k≤1.故選A.考點一一元二次不等式與一元二次方程之間的關系[例1]已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(-QUOTE12,3),求不等式cx2+bx+a<0的解集.解:法一因為不等式ax2+bx+c>0的解集是(-QUOTE12,3),所以a<0,且-QUOTE12和3是方程ax2+bx+c=0的兩個根.由?得cx2+bx+a=c(x2+QUOTEbcx+QUOTEac)=c(x2+QUOTE53x-QUOTE23)=c(x+2)(x-QUOTE13),所以不等式cx2+bx+a<0的解集為(-2,QUOTE13).法二因為不等式ax2+bx+c>0的解集是(-QUOTE12,3),得a<0且-QUOTE12和3是方程ax2+bx+c=0的兩個根.在方程cx2+bx+a=0中,因為a≠0,得x≠0.設y=QUOTE1x,方程cx2+bx+a=0可化為ay2+by+c=0.由-QUOTE12和3是方程ax2+bx+c=0的兩個根,得-2和QUOTE13是方程cx2+bx+a=0的兩個根.又方程的兩根異號及a<0,得c>0.所以,不等式cx2+bx+a<0的解集為(-2,QUOTE13).二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象(拋物線)與x軸的兩交點的橫坐標x1,x2(x1<x2),即為一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根,同時,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是{x|x<x1或x>x2};對于ax2+bx+c<0(a>0),解集是{x|x1<x<x2}.若對于任意的x∈R,都有ax2+ax+1>0恒成立,則實數a的取值范圍是(B)(A)(0,4) (B)[0,4)(C)(0,+∞) (D)(-∞,4)解析:若對任意的x∈R,都有ax2+ax+1>0恒成立,則必有或a=0,所以0≤a<4.故選B.考點二|f(x)|>c與|f(x)|<c(c>0)型含絕對值一元二次不等式

[例2]解不等式|x2-2x-1|<1.解:原不等式可化為-1<x2-2x-1<1,解不等式x2-2x-1>-1得,x<0或x>2;解不等式x2-2x-1<1得,1-QUOTE3<x<1+QUOTE3,所以原不等式解集為{x|1-<x<0或2<x<1+QUOTE3}.對|f(x)|>c與|f(x)|<c(c>0)型含絕對值不等式問題,有兩種方法.法1:將f(x)看作整體,轉化為|t|<c或|t|>c型,利用|t|<c和|t|>c同解變形原理轉化為不含絕對值的不等式求解;法2:利用絕對值的意義,對絕對值內部通過分類討論去掉絕對值,轉化為不含絕對值的不等式求解.設max{a,b}=已知x,y∈R,m+n=6,則F=max{|x2-4y+m|,|y2-2x+n|}的最小值為.

解析:因為max{a,b}=QUOTEa,a≥b,bF=max{|x2-4y+m|,|y2-2x+n|},故F≥|x2-4y+m|,F≥|y2-2x+n|所以2F≥|x2-4y+m|+|y2-2x+n|≥|x2-4y+m+y2-2x+n|=|(x-1)2+(y-2)2+1|≥1,所以F≥QUOTE12,故F=max{|x2-4y+m|,|y2-2x+n|}的最小值為QUOTE12.答案:QUOTE12考點三易錯辨析[例3]已知f(x)=(x+1)·|x-1|,若關于x的方程f(x)=x+m有三個不同的實數解,求實數m的取值范圍.解:函數解析式f(x)=(x+1)·|x-1|=(1)x≥1時,由x2-1=x+m,得x2-x-1-m=0.由兩根之和為1,得此方程大于1的解至多一個.設x=1+t,原方程可化為t2+t-1-m=0.原方程有一個大于1的解,即此方程有一個正解.由-1-m<0,得m>-1時,方程f(x)=x+m有一個大于1的解;(2)x<1時,由1-x2=x+m,得x2+x-1+m=0.設x=1+t,原方程可化為t2+3t+1+m=0.原方程有兩個小于1的解,即此方程有兩個負解.由得-1<m<QUOTE54時,方程f(x)=x+m有兩個小于1的解;綜合(1),(2),當-1<m<QUOTE54時,關于x的方程f(x)=x+m有三個不同的實數解.易錯點有兩處:(1)采用數形結合易發(fā)現,它的圖象是由兩段拋物線弧組成,因此方程f(x)=x+m的三個不同的實數解表現為直線y=x+m與其中一段拋物線弧有兩個交點,與另一段拋物線弧僅有一個交點,邊界值容易混淆出錯.(2)觀察它們的圖象易知,應對x分類討論,容易被忽略.即當x≥1時,方程有一解;當x<1時,方程有兩解.已知函數f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1,若對任意的實數x0,f(x0)與g(x0)中至少有一個為正數,則實數t的取值范圍是(A)(A)(-∞,-2)∪(0,2] (B)(-2,0)∪