數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

關(guān)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第1頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月前幾章我們學(xué)習(xí)了概率論的基本知識(shí)，從本章開始將學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)、理論和方法．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)是以對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象觀測(cè)所取得的資料（數(shù)據(jù)）為出發(fā)點(diǎn)，以概率論為基礎(chǔ)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門學(xué)科．概率論中，往往是在已知隨機(jī)變量分布的條件下，去研究它的性質(zhì)、特點(diǎn)和規(guī)律性，比如求隨機(jī)變量取某些特定值的概率、求隨機(jī)變量的數(shù)字特征、研究多個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系等．第2頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們所研究的隨機(jī)變量的分布往往是未知的，通過對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行多次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)和觀測(cè)，獲取數(shù)據(jù)，利用實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)研究隨機(jī)變量的分布，對(duì)其分布函數(shù)、數(shù)字特征等進(jìn)行估計(jì)和推斷．本章作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布等有關(guān)概念，以及有關(guān)正態(tài)總體的重要的抽樣分布定理．第3頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。它研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問題作出正確的推斷和預(yù)測(cè)，為采取正確的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析。4第4頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)【質(zhì)量控制問題】

某食鹽廠用包裝機(jī)包裝的食鹽，每袋重量500g，通常在包裝機(jī)正常的情況下，袋裝食鹽的重量X服從正態(tài)分布，均值為500g，標(biāo)準(zhǔn)差為25g．為進(jìn)行生產(chǎn)質(zhì)量控制，他們每天從當(dāng)天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽出30袋進(jìn)行嚴(yán)格稱重，以檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常．某日，該廠隨機(jī)抽取30袋鹽的重量分別為：

從這些數(shù)據(jù)看，包裝機(jī)的工作正常嗎？475500485454504439492501463461464494512451434511513490521514449467499484508478479499529480第5頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1總體和樣本6.1.1總體與個(gè)體

總體或母體指我們研究對(duì)象的全體構(gòu)成的集合，個(gè)體指總體中包含的每個(gè)成員．例如，在研究某高校學(xué)生生活消費(fèi)狀況時(shí)，該校全體學(xué)生就是一個(gè)總體，其中每一個(gè)學(xué)生是一個(gè)個(gè)體；在人口普查中，總體是某地區(qū)的全體人口，個(gè)體就是該地區(qū)的每一個(gè)人．第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第6頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.1總體與個(gè)體我們研究總體時(shí)，所關(guān)心的往往是總體某方面的特性，這些特性又常?？梢杂靡粋€(gè)或多個(gè)數(shù)量指標(biāo)來反映．例如，在研究某高校學(xué)生生活消費(fèi)狀況時(shí)，關(guān)心的可能是學(xué)生們每月的生活消費(fèi)額，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時(shí)，關(guān)心的可能是這些燈泡的壽命和光亮度等．這時(shí)總體指一個(gè)或多個(gè)數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)對(duì)我們來說是不了解或者說是未知的，我們可以用一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量來表示它們．第7頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

因此，總體可以是一維隨機(jī)變量，也可以是多維隨機(jī)變量．例如，在研究某高校學(xué)生生活消費(fèi)狀況時(shí)，可以用X表示月生活消費(fèi)額，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時(shí)，可以分別用X，Y表示燈泡的壽命和光亮度，那么，對(duì)上面兩個(gè)問題的研究就轉(zhuǎn)化為對(duì)總體X和總體(X，Y)的研究了．

6.1.1總體與個(gè)體第8頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.2樣本與抽樣實(shí)際應(yīng)用中，為了研究總體的特性，總是從總體中抽出部分個(gè)體進(jìn)行觀察和試驗(yàn)，根據(jù)觀察或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)．我們把從總體中抽出的部分個(gè)體稱為樣本，把樣本中包含個(gè)體的數(shù)量稱為樣本容量，把對(duì)樣本的觀察或試驗(yàn)的過程稱為抽樣，把觀察或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)稱為樣本觀測(cè)值（觀測(cè)數(shù)據(jù)），簡(jiǎn)稱樣本值．第9頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，在質(zhì)量檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽出n件產(chǎn)品，測(cè)得的數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn，就稱它們是樣本觀測(cè)值．在抽樣前，不知道樣本觀測(cè)值究竟取何值，應(yīng)該把它們看作為隨機(jī)變量，記作X1，X2，...，Xn，稱其為容量為n的樣本.

（在不會(huì)混淆的情況下，有時(shí)我們也將觀測(cè)數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn稱為樣本，如“質(zhì)量控制問題”中的30個(gè)數(shù)據(jù)，也可以說成是一個(gè)容量為30的樣本）．6.1.2樣本與抽樣第10頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

在應(yīng)用中，我們從總體中抽出的個(gè)體必須具有代表性，樣本中個(gè)體之間要具有相互獨(dú)立性，為保證這兩點(diǎn)，一般采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．

定義6.1一種抽樣方法若滿足下面兩點(diǎn)，稱其為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：(1)總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的；(2)樣本中的個(gè)體相互獨(dú)立．由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．如果沒有特殊說明,以后所說樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．6.1.2樣本與抽樣第11頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)X1，X2，...，Xn是從總體X中抽出的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由定義可知，X1，X2，...，Xn有下面兩個(gè)特性：(1)代表性：X1，X2，...，Xn均與X同分布，即若X

F(x)，則對(duì)每一個(gè)Xi都有Xi

F(xi)，i=1，2，…，n(2)獨(dú)立性：X1，X2，...，Xn相互獨(dú)立.由這兩個(gè)特性可知，若X的分布函數(shù)為F(x)，則X1，X2，...，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn)=F(x1)F(x2)…F(xn)若X具有概率密度為f(x)，則X1，X2，...，Xn的聯(lián)合概率密度為f(x1,x2,…,xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)6.1.2樣本與抽樣往往是未知或不完全知道的，是需要通過樣本來進(jìn)行研究和推斷的．第12頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月若X連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，則X1，X2，…，Xn的聯(lián)合概率密度為則X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為若X離散型隨機(jī)變量，其分布律為第13頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.2.4設(shè)總體X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本，求樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布（稱為樣本分布）。解:X的分布律為所以樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為第14頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.2.5設(shè)總體X～N(μ,б2)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本，求樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合概率密度。第15頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月【習(xí)題1】設(shè)總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，X1，X2，X3，X4為來自X的樣本，求X1，X2，X3，X4的聯(lián)合概率密度和聯(lián)合分布函數(shù)．

解：X的概率密度為其分布函數(shù)為則X1，X2，X3，X4的聯(lián)合概率密度為：6.1.2樣本與抽樣第16頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.2樣本與抽樣由于X的分布函數(shù)為X1，X2，X3，X4的聯(lián)合分布函數(shù)為

第17頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函數(shù),若g中不含任何未知參數(shù),則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計(jì)量.樣本平均值

設(shè)x1,x2,…,xn是相應(yīng)于樣本X1,X2,…,Xn的樣本值,則稱g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的觀察值.樣本方差6.2統(tǒng)計(jì)量第18頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階(原點(diǎn))矩樣本k階中心矩它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息第19頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月它們的觀察值分別為

第20頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月注：樣本矩反應(yīng)了總體相應(yīng)矩的信息。樣本k階(原點(diǎn))矩第21頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)為來自總體X的樣本，為來自總體Y的樣本，稱說明：1.樣本原點(diǎn)矩反映樣本的平均特征，樣本中心矩反映樣本的離散特征，樣本協(xié)方差反映兩個(gè)樣本的相關(guān)程度。2.樣本數(shù)字特征是隨機(jī)變量，但對(duì)一組樣本觀察值，得到的樣本數(shù)字特征觀察值是一個(gè)具體的數(shù)，我們通常把這個(gè)數(shù)也稱為樣本均值、樣本方差、樣本相關(guān)系數(shù)等。第22頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月順序統(tǒng)計(jì)量說明：1.對(duì)兩次抽樣，盡管觀察值由小到大的排列順序可能改變，但對(duì)順序統(tǒng)計(jì)量來說，改變的僅是其取值，其形式不變。2.順序統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，因而是隨機(jī)變量。定義6.6

設(shè)()是樣本()的一組觀察值，將按由小到大的順序排列成。設(shè)，記

k=1，2，…，n.稱()為()的順序統(tǒng)計(jì)量。第23頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論1.是統(tǒng)計(jì)量。第24頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例*設(shè)總體X的期望、方差分別為X1，X2，…，Xn為來自總體X的樣本，其樣本均值和樣本方差分別記為。求第25頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月由于所以第26頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)抽樣分布

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體N(0，1)的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記為分布的概率分布密度為1、

分布第27頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

分布具有以下性質(zhì):第29頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)也類似定義，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)記為,它滿足其中Z～N(0,1)。

對(duì)不同的分布的上分位點(diǎn)的值已制成表格，可以查用。第30頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2、t分布

設(shè)X~N(0,1),Y~,且X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布,記為t~t(n)。t(n)分布的概率密度函數(shù)為第31頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月t(n)分布的概率密度函數(shù)關(guān)于t=0單峰對(duì)稱第32頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n很大時(shí)t(n)分布接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，利用Γ函數(shù)的性質(zhì)可以證明當(dāng)n較小時(shí)，t(n)分布與N(0,1)分布之間有較大差異。t(n)分布的上分位數(shù)記為，即滿足t分布的上分位數(shù)可由附表查得。當(dāng)n>45時(shí)，有第33頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)且U與V相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為(n1，n2)的F分布，記為F～F(n1，n2)3、F分布

F(n1,n2)分布的概率密度函數(shù)為第34頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月若F～F(n1,n2)，則第36頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月若F~F(n1,n2),則F分布的上分位點(diǎn)有如下的性質(zhì)：第37頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月4、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布第38頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1總體和樣本

6.1.3直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如前所述，數(shù)理統(tǒng)計(jì)所研究的實(shí)際問題（總體）的分布一般來說是未知的，需要通過樣本來推斷．但如果對(duì)總體一無所知，那么，做出推斷的可信度一般也極為有限．在很多情況下，我們往往可以通過具體的應(yīng)用背景或以往的經(jīng)驗(yàn)，再通過觀察樣本觀測(cè)值的分布情況，對(duì)總體的分布形式有個(gè)大致了解．觀察樣本觀測(cè)值的分布規(guī)律，了解總體X的概率密度和分布函數(shù)，常用直方圖和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).第43頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月1.直方圖直方圖是對(duì)一組數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn的分布情況的圖形描述．將數(shù)據(jù)的取值范圍分成若干區(qū)間（一般是等間隔的），在等間隔的情況，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度稱為組距．考察這些數(shù)據(jù)落入每一個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)和頻率，在每一個(gè)區(qū)間上畫一個(gè)矩形，它的寬度是組距，高度可以是頻數(shù)、頻率或頻率/組距，所得直方圖分別稱為頻數(shù)直方圖、頻率直方圖和密度直方圖．6.1.3直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖6-1密度直方圖第44頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月如果數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn是來自連續(xù)總體X的樣本觀測(cè)值，其密度直方圖中，每一個(gè)矩形的面積恰好是觀測(cè)數(shù)據(jù)落入對(duì)應(yīng)區(qū)間的頻率，這種密度直方圖可以用來估計(jì)總體的概率密度（用密度直方圖的頂部折線估計(jì)X的概率密度曲線）．組距對(duì)直方圖的形態(tài)有很大的影響，組距太小或太大，直方圖反映概率密度的形態(tài)就不夠準(zhǔn)確．6.1.3直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第45頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.3直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

一個(gè)合適的分組是希望密度直方圖的形態(tài)接近總體的概率密度函數(shù)的形態(tài)．手工計(jì)算常取組數(shù)等于左右，一些統(tǒng)計(jì)軟件會(huì)根據(jù)樣本容量和樣本的取值范圍自動(dòng)確定一個(gè)合適的分組方式，畫出各種漂亮的直方圖．第46頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月【實(shí)驗(yàn)6-1】從某高校一年學(xué)生的“高等數(shù)學(xué)”課程考試成績(jī)中，隨機(jī)抽取60名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢涸嚴(yán)肊xcel的“數(shù)據(jù)分析”功能作學(xué)生成績(jī)的密度直方圖，并通過直方圖了解學(xué)生成績(jī)的分布情況．6.1.3直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)第47頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

實(shí)驗(yàn)步驟：(1)確定分組個(gè)數(shù)：因?yàn)?，取分組個(gè)數(shù)為8．?dāng)?shù)據(jù)的最小值為51，最大值為95，為分組方便起見，考慮范圍從50到100，分為8個(gè)組，組距取50/8=6.25，分點(diǎn)分別為：50，56.25，62.5，68.75，75，81.25，87.5，93.75，100。整理學(xué)生成績(jī)數(shù)據(jù)，在“組上限”欄中填入各組的上限值，如圖6-2左所示．第48頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖6-2數(shù)據(jù)整理與“直方圖”對(duì)話框第49頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)在Excel主菜單中選擇“工具”“數(shù)據(jù)分析”，打開“數(shù)據(jù)分析”對(duì)話框，在“分析工具”列表中選擇“直方圖”選項(xiàng)，單擊“確定”按鈕．(3)在打開的“直方圖”對(duì)話框中，依次輸入（或用鼠標(biāo)拖動(dòng)選擇）“輸入?yún)^(qū)域”、“接收區(qū)域”和“輸出區(qū)域”，如圖6-2右所示，單擊“確定”按鈕．得到頻率分布的結(jié)果如圖6-3左所示．第50頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖6-3計(jì)算各組頻率與密度第51頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)計(jì)算密度：在單元格區(qū)域J2:J9中依次輸入組域名：50-56.25、56.25-62.5、62.5-68.75、68.75-75、75-81.25、81.25-87.5、87.5-93.75、93.75-100，然后在“密度”列的單元格K2中輸入公式：=I2/60/6.25，并將公式復(fù)制到K3~K9中，如圖6-3右所示．第52頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

(5)畫密度直方圖：選中單元格區(qū)域J1:K9，單擊“圖表向?qū)А卑粹o，打開“圖表向?qū)А睂?duì)話框．在“圖表類型”選擇中，取默認(rèn)的“柱形圖”向?qū)В苯訂螕簟巴瓿伞卑粹o，即可得到密度柱形圖，如圖6-4所示．圖6-4密度柱形圖第53頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

右鍵單擊圖中條形，在快捷菜單中選擇“數(shù)據(jù)系列格式”，打開“數(shù)據(jù)系列格式”對(duì)話框，在其中的“選項(xiàng)”選項(xiàng)卡中，修改“分類間距”為0，如圖6-5（左）所示，單擊“確定”按鈕，即可加寬條形，得到密度直方圖，進(jìn)一步修改圖形，得到密度直方圖，如圖6-5（右）所示．第54頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖6-5密度直方圖從學(xué)生成績(jī)的密度直方圖可以看到，學(xué)生成績(jī)?cè)谄骄指浇容^密集，較低或較高分?jǐn)?shù)學(xué)生比較少，學(xué)生成績(jī)的分布呈近似“鐘形”對(duì)稱，即成績(jī)分布近似正態(tài)分布．第55頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月類似的方法可以畫出學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)直方圖和頻率直方圖，由