數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)(二)

第五章傅里葉變換

內(nèi)容：傅里葉級數(shù)、傅立葉積分和傅里葉變換及其基本性質(zhì)，6函數(shù)

要求：了解的傅立葉級數(shù)、傅立葉積分和傅里葉變換基本概念及其應(yīng)用，重點掌握定義在有限區(qū)間上

函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開和8函數(shù)

§5-1傅里葉級數(shù)

一、周期函數(shù)的傅里葉展開(簡介)

1.三角函數(shù)(正弦和余弦函數(shù))族的正交性

7ix2TIXnm.TIX.2TDC.nm

1,cos—9cos---,…，cos----...；sin—，sin---,…，sin---,...

IIII

fo(nwk)

[?/kwcn7ix.

cos---cos----ax=<(幾=女w0)

LlII

2/(〃=%=0)

ri.km.nm.0(nwk)

sin---sm----ax=<

LII(n=k)

cik7ix.n7JX.八

cos---sin----dr=()

LII

2、周期函數(shù)的展開為傅里葉級數(shù)

/(x)以2/為周期,

/(x+2/)=/(x)(5.1.1)

取上述三角函數(shù)族作為基本函數(shù)族展開為級數(shù)

/(X)=%+劉4kjix,.km

cos—+bksin-j-(5.1.2)

k=\\

稱為傅里葉級數(shù)

兩個問題:

(1)傅里葉級數(shù)中的系數(shù);

bkJ(x)sin早iZr

n7TXH7TX

驗證性證明：(5.1.2)兩邊同乘cos7或cos、一再從./到/積分,

lak("=攵00)

21ao(〃=k=0)

?\jrz.nTix,9f/.九加/k7ix,.km

sin~~j~J\xPx=Jsm—j-r0dx+〉J^sm—I4cos----Fbj.sin---ix

=嘰

(2)級數(shù)的收斂性。

收斂定理(狄里希利條件)：設(shè)函數(shù)是/(X)以2/為周期的周期函數(shù)，如果它滿足:

若函數(shù)/(x),xe(-oo,oo)滿足：

(1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(非無窮間斷點)；

(2)在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點;

則/(x)的傅里葉級數(shù)收斂，且

當(dāng)x是/(x)的連續(xù)點，級數(shù)收斂于/(x)；

當(dāng)x是/(x)的間斷點，級數(shù)收斂于付g[/(x+0)+/(%-0)]。

3、傅里葉級數(shù)的物理意義

%—n/r/1f0)“

隨時間變化的周期信號展開為不同頻率的簡諧振動的疊加。

例1(自學(xué))交流電壓E(t)=EoSind,經(jīng)過半波整流，負(fù)壓被削減，在一個周期內(nèi)

0-7TICD<X<(]

E(t)=《

EosincotQ<X<TC/CO

試研究半波整流電壓的傅里葉變換級數(shù)

00

E(/)=a。+Z(WcoskM+bksinkcot]

&=i

Ip0”70Ec

?o=Z--rf°dt+[Eosincotdt]=」

27tlsUsJ071

1n16)

4=[)E^^nCDtCQSkCDtdt

71/CO

[sinQ+k)cot+sin(l-k)cot]dt

要區(qū)分k=l和2H1兩種情況,

sin2cotdt=0

[sin(l+k)cot+sin(l-k)a)t]dt

cos(l+k)cotsin(l-k)cot

1+攵l-k

1__(_1嚴(yán)

4------------

1+kl-k\-k

(Z=2〃+l)

2E

------0—(k=2〃)

[l-(2?)2k

]cn!(D

bk=----Eosincotsinkcotdt

兀/①Jo

[cosQ-Z)m-cos(l+k)a)t\dt

a(1-cos2cot)dt=^石0

n!(D

bk=)[cos(l-/c)(vt-cos(l+/c)M]df=0(kwl)

E(f)=：&+j￡°sin.+2穌方篝寫

227i占1一(2〃)

二、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開（簡介）

1.奇函數(shù)的傅里葉展開

若周期函數(shù)/（尤）是奇函數(shù)

旬=)[J(x)^=O

ak=；J：/(x)cosdx-0

bk=，：/(x)sin掌公

f(x)=N%sin半

k=\I

這叫作傅里葉正弦級數(shù)。

例2（自學(xué)）設(shè)函數(shù)是/（X）以2/為周期的周期函數(shù)，它在［1,”上的表達(dá)式為

/M=<J1—/Wx<0

0<x</

將/(x)展開為傅里葉級數(shù)

解：/(X)是奇函數(shù)

.k7ix

f(x)可瓦sin

k=\

4

72p.k7ix,2ci.km,—,%=1,3,5,…

sin

bk=—J。/\xJsm—j—dx=7J。~~j~dx—<K71

0,%=2,4,6,…

Qk(—oov%<8；xw0,±/,±2/,±3/,…)

-----sin

2k-l

上=0

X=0,±/,±2/,±3/「-時，級數(shù)收斂于

2

例3鋸齒波/(x)在"，/］上的表達(dá)

式為

/(X)=X

將/(X)展開為傅里葉級數(shù)

解：f(%=之dsin舞

k=lI

2r/.kmc,

bk=-j^xsin---dx

.k7ix,1k/ix

1坪sin---u|

21kmk7ix.kjjx甲(-1產(chǎn)

cos1-sin---

也兀YI-II0K71

.km

sin---

"hik

2.偶函數(shù)的傅里葉展開

若周期函數(shù)/(x)是偶函數(shù)

b

k=；fj(x)sin華公=0

“。=1/(X炫

(X)8S牛公

\k/DC

f(x)=a0+2^akcos—

*=ii

這叫作傅里葉余弦級數(shù)。

例4三角波/(x)在[-/,/]上的表達(dá)式為

/(x)=W

將一(X)展開為傅里葉級數(shù)

kmc

解：/(x)=ao+Z4cos—^―

k=\

1i1

-|cxdx=-l

,/J。2

2"°s.km.21km.kmkm

-----ax------------sin+cos

7JoI(Z%)~0

f—4/

攵=1,3,5,…

21[(-")2'

伏乃尸

0,Z=2,4,6,…

4)=9合占cosf

，7Tk=()(，/C+1)I

三、定義在有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(重點)

函數(shù)/(x)只在某個有限區(qū)間，如區(qū)間(0,/)有定義，在區(qū)間以外無定義。

周期性延拓擴大函數(shù)的定義區(qū)間，使其成為某種周期函數(shù)g(x),在區(qū)間(0,/)上，

g(x)=/(x),對g(x)作傅里葉級數(shù)展開，這個級數(shù)在區(qū)間(0,/)上代表/(x)o延拓的方

法可以有無數(shù)種?？筛鶕?jù)對函數(shù)/(幻在邊界(區(qū)間(0,。的端點)上的行為提出限制。

奇延拓，當(dāng)邊界上要求/(0)=/(/)=0,取g(x)為奇的周期函數(shù)，展開為傅里葉正弦級

數(shù)。g(x)=_g(-x),/(0)=[g(+0)+g(-0)]/2=0,“)=[g(/+0)+g(/-0)]/2=0

偶延拓，當(dāng)邊界上要求r(o)=/'(/)=0,取g(x)為偶的周期函數(shù)，展開為傅里葉余弦

級數(shù)。

g(x)=g(-x)，g，(0)=g，(/)=0

/'(0)=[g'(+。)+g'(-0)]/2=(),/(/)=[g'(/+0)+g'(/-())]/2=0

例5在區(qū)間(0,/)定義的函數(shù)是/(x)=x,試根據(jù)邊界條件要求：

(1)/(0)=/(/)=0；

(2)r(o)=r(z)=o；

(3)r(o)=/(/)=o；

(4)f(O)=f'Q)=O

把它展開為傅里葉級數(shù)。

解：(1)/(0)=/(/)=0,作周期性奇延拓,J

g(x)在［-/,/］上的表達(dá)式為/

-21-Ii,,，2/X

g(x)=x

與例3相同的鋸齒波相同

〃?=一2一；一sm7

兀MkI

(2)/(0)=/'(/)=0,作周期性偶延拓,

g(x)在［-/,/］上的表達(dá)式為

g(x)=H

與例4相同的三角波相同

小4-"淡/os(2Z+1)玄

2兀&=o(2攵+1)

(3)r(0)=/(Z)=0(難點)

/(0)=0要求以冗=0為中心作偶延拓，

/(/)=0要求以x=/為中心作奇延拓,

以4/為周期，在整個數(shù)軸上延拓為偶函數(shù),

g(x)=g(—X)，同時又滿足g(21-x)=-g(x)

x,0<x</,

x—2/,/<x<2/,

在本例中g(shù)(x)=<

一x,-Z<x<0,

—X--21,—2/<x<—I.

g(x)=ao+”"Cos干

n=l4

2rr/..n7ix,「2/nm,.2",、mix,卜/、nm,.

a,.=w[Jog(x)cos^"x+J,g(x)cos-^-t/x]=-[J()(g(x)cos-^-t/x+|-g⑵-x)c°s可知

2r//、nm.ro/、ii膜2l-t)、

=—r[](/(x)coS--dx+^g⑺cos--dt]

0n=2k,

-'It'/、(2左+1)雙1攵=0,1,2…

—J。g(x)cos-------ax,n-2k+l,

%=0

g(x)=\&cosf—

k=02/

2f/(2Z+1)加

4=7Jog(x)8S—Yl~~小

對于本例

2f/(24+1)4T,

見二—xcos--------ax

kIJ。21

4「-(2左+1)玄/p/.(2女+1)TZX__

=--------Ixsm----------sin--------ax\

(22+1)萬21°Jo2/

(-1)*4/,8/,〃1、”

(2A+1)乃(2k+1)2/2

(-1)*4/8/

(2Z+1)乃(2%+1產(chǎn)病

(—1)*4/8/、(2左+1)欣

.f(x)=為[------COS0<x<l

(2左+1)萬(2%+1)242」21

(4)/(())=/，(/)=()(難點)

/(0)=0要求以x=()為中心作奇延拓，

/'(/)=0要求以x=/為中心作奇延拓，

以4/為周期，在整個數(shù)軸上延拓為奇函數(shù),

g(x)=-g(-x),同時又滿足g(2/-x)=g(x)

/、61.(2攵+1)疫

可以證明，g(%)=Z4sm---滿足要求，其中

k=02/

,2F\.(2Z+1)公

bsin

k=yj0<?W一f-公

對于本例

bk=2]\sin絲

kIJ。21

-4r(2攵+1)Gf/(2攵+1)加，

[xcos+cos--------dx]

(2左+1))--------21Jo2/

o乙i

——巴rsin伏+!)萬(-1)*8/

(2%+1)2吊23+1)2/

"、.弋(T)"8/.(2k+V)m

？(2攵+百sin--------0<x</

2/

注意：在本例中(2)的結(jié)果也滿足(4)的要求，但這只是對函數(shù)/(%)=》的巧合，換

成其它函數(shù)，如/(x)=l—X,則就不行了。,X)

四、復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)(簡介)

復(fù)指數(shù)函數(shù)族

/.knx.nnx0（幾。k）

e1-[e1~fdx=<

21（n=k）

00.處

〃x）=￡c/I

A=~oo

1.j旦

1

Ck=—￡/（%）?[e^dx

5-3S函數(shù)

一、5函數(shù)的定義

問題：怎樣用數(shù)學(xué)函數(shù)表示質(zhì)點的質(zhì)量密度、點電荷的電荷密度、瞬時力的沖量密度？

例如，均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為m均勻分布在長為/的線段上，則其密度可表示為

mx。,（可＞//2）

0（x）

m=l,

桿的質(zhì)量

^Pl{x}dx=^\lldx=\

/—0時，細(xì)桿變?yōu)閤=0處的質(zhì)點，其密度q(x)f*x)

0,("0)

3(X)=<

oo,(x=0)

j8{x}dx=1

0,("/)

質(zhì)點在x=/處，8{x-x0）

00,(x=x0)

二、b函數(shù)的主要性質(zhì)

（1）3（x）是偶函數(shù)

3(-x)=5(x)

5'(-x)=-5r(x)

（2）階躍函數(shù)與

<o6

5_<

用.

=

■6

19>

<

1,(x>0)

H(x)=|8(t)dt—<

0,(x>0)

3（x）二也3

dx

（3）5（x）函數(shù)的挑選性

r/（xB（x）dx=/（o）

J-cc

[,/（xBCx=fM

（4）用*x）函數(shù)表示連續(xù)分布的物理量

7到？+dr短時間段上的瞬時作用力記為

時間區(qū)間加上的持續(xù)力

b

/(O=J/(rW-r)Jr

a

（5）5（x）函數(shù)的定標(biāo)性

5（々1一工0）二二用%—2

證

La""。"卜x0)dt,3>。｝

jf(x)6(ax-x)dx=<

'—000

-C-f(t/a)6(t一x(,眼("<°)

??—co〃

=f^f(t/a^(t-x0)dt

J-"網(wǎng)

=占/(//。)=「^fM^x-xJa)dx

同j時

x-9、

而一％）=3

aJ

匚S心\dt

/、3>0}

x-dx-<

a>力（”0）

c時心卜

=|a|/(x0)=￡ja|/(x?(x-Xo)c/x

3x-Xo

、a

三、b函數(shù)是一種廣義函數(shù)

b(x)=lim

/fOII

k-xx>加X

b(x)=lim7-17-2

-071￡十X

數(shù)學(xué)物理方程

數(shù)學(xué)物理方程——從物理問題中導(dǎo)出的數(shù)學(xué)偏微分方程，有時也包括積分方程、微分積分

方程。

本課程介紹物理學(xué)中常見的三類偏微分方程及有關(guān)定解問題和這些問題幾種常用解法。這

三類偏微分方程是：

波動方程

輸運方程

穩(wěn)定的場方程

第七章數(shù)學(xué)物理定解問題

教學(xué)目的：掌握根據(jù)物理規(guī)律和物理現(xiàn)象導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程，寫出定解條件的方法。

教學(xué)內(nèi)容：1.導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程，包括1）波動方程（均勻弦橫向振動和均質(zhì)桿縱向振動）；2）輸運方程（擴

散、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象）；3）穩(wěn)定場分布方程。（2課時）

2.定解條件，1）初始條件；2）邊界條件（第一、二、三類）。（1.5課時）

3.達(dá)朗貝爾公式（簡介）。（0.5課時）

重點：導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程，第一、二類邊界條件。

難點：邊界條件，方程中各偏導(dǎo)數(shù)的物理涵義。

定解問題：1）數(shù)學(xué)物理方程——物理規(guī)律用偏微分方程表示出來——泛定方程

2）邊界條件——區(qū)域邊界所處的物理狀況

3）初始條件——初始時刻的物理狀態(tài)

邊界條件+初始條件一一定解條件

§7-1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出

一、波動方程

1.勻弦的微小橫振動

弦的靜態(tài)特點：質(zhì)量分布均勻，線密度為p,自重可不計，完全柔軟，平衡時沿X軸繃緊。

弦的運動特點：受外界擾動后，弦上質(zhì)點在與

X軸垂直的方向產(chǎn)生微小位移；相鄰小元段弦之間

有彈性力作用，彈性拉力的方向始終沿弦的切線

方向，由于元段弦之間相鄰的彈性力作用，任一

小段弦有橫向運動時必然帶動相鄰元段弦運動。

平衡位置在X處的質(zhì)元在t時刻的位移記為"（X,。。

用牛頓定律討論區(qū)間［x,x+dx］上小元段弦的運動（先假設(shè)除元段弦之間的張力外,不受其它

外力作用）

加

=A也

ZE一

-彳+

Z

F=TCOS%—Tcos%

Zxi2}

Fv/=7^sin-7|sina]

考慮微小振動，%、?很小

cGZ2S^CQZ]於1,*.*,ax=0,T}=T2=T9

.dudu

sm的xtga?=—sinax

0%x+dxdx

11

gIDU\T〃U

(/XiX)^=T^~^c)=T^dX

d2ud-u

O2u2

Wa~^dx=0

其中，a1=T]p,如果弦在振動過程中還受到外加橫向力作用，設(shè)單位長度弦上所受的

橫向外力為F(x,t),則

{pdx)^-^--T(———)+F(x,t)dx-T^-ydx+F(x,t)dx

z

drdxx+dxdxxdx

d2U232M

常5惑dx-/(x,t)

其中f(x,t)=F(x,t)/p

2.均勻桿的縱振動

桿的質(zhì)量分布均勻，密度為p,并假設(shè)桿上各段的橫截面積S相同，桿的長度方向于x方

向一致，桿上任一質(zhì)點可沿桿長方向移動(縱向位移)，設(shè)t時刻平衡位置在x處的質(zhì)點的位移

為u(x,t)?

由于桿上的質(zhì)點相互連接在一起，當(dāng)桿上任一小段有縱向位移時它會帶動相鄰質(zhì)點移動，

并使鄰近小段桿壓縮或伸長，同時，這鄰段桿自己也被鄰段桿壓縮或伸長，這樣，任一小段

的縱向位移必然會傳播到整根桿，這就是波動。

把細(xì)桿分為許多極小的小段，拿區(qū)間(x,x+dx)上的小段B為代表加以研究。在小段桿的

每個端面上受到的壓力(或拉力)記為T,應(yīng)力為P(單位橫截面積上受到的力)。假設(shè)不受

其它外力作用。在振動過程中，小段B的兩端受的力和位移分別為

dx

在力學(xué)中，應(yīng)力尸遵循胡克定律，在測量金屬細(xì)絲的楊氏模量實驗中，把胡克定律簡單

地表述為尸=(=E與，/是金屬絲的長度，△/是伸長量，在現(xiàn)在研究的問題中，lTdx,

△Ifdu,因此，胡克定律應(yīng)表示為

p(Sdx)u?=S/dx=E^Sdx

dxdx

即

%=Euxx

其中。2=￡/夕。這是一維細(xì)桿的波動方程，推廣到三維情況

utl—aS~u=0

如果除內(nèi)力外，桿還受外力作用，稱為受迫縱振動。設(shè)桿的單位長度上每單位橫截面積上

(也就是單位體積)所受的縱向外力為F(x,r)

p{Sdx)utl=T(x+dx,t)-T(x,t)+FSdx=E^^~Sdx+FSdx

2

ult-au^=f(x,t)

這里，f(x,t)=F(x,t)/p

相應(yīng)的三維情況

??-?2V2M=/(x,y,z,r)

二、輸運方程

在這里，我們研究熱傳導(dǎo)問題和物質(zhì)的擴散問題，兩者歸結(jié)為輸運問題。當(dāng)空間溫度不均

勻時，就會發(fā)生熱傳導(dǎo)；物質(zhì)的濃度分布不均勻時，就會發(fā)生擴散運動。實質(zhì)上兩者都是擴散

問題，只不過前者是能量的擴散，后者是物質(zhì)(質(zhì)量或分子數(shù))擴散，兩者遵循相似的物理規(guī)

律。熱傳導(dǎo)（或物質(zhì)的擴散）就是熱量（或物質(zhì)）的流動，流動的強度分別用熱流強度和擴散

流強度表示，兩者都記為4,表示單位時間里垂直流過單位橫截面積的熱量（或物質(zhì)的量）。

用M（x,y,z,f）表示空間的溫度（或物質(zhì)的濃度）分布。

1.熱傳導(dǎo)方程

在熱傳導(dǎo)問題中，熱量的流動遵循傅里葉熱傳導(dǎo)定律:

q=—Z:Vw

上叫作熱傳導(dǎo)系數(shù)，V”是溫度梯度，“一”表示熱量從高溫向低溫流動。

考慮小體積AV,單位時間內(nèi)凈流入AV的熱量為

==V-qdV,

S是包圍小體積AY的閉曲面。假設(shè)小體積AV內(nèi)沒有熱源或熱匯（吸收熱

量,轉(zhuǎn)化為其他形式的能量或用于物質(zhì)的狀態(tài)變化，不改變溫度），熱量AQ流入小體積AV內(nèi),

必然導(dǎo)致溫度的變化，單位時間內(nèi)溫度的變化為正，當(dāng)上為常數(shù)，物質(zhì)分布均勻（密度p為

常數(shù)）時，根據(jù)能量守恒定律，熱平衡方程為

dQ=c—dm=cp—dV

dtdt

[cp—dV=-fV-qdV

JAV由JAV

cp-=-V-q-kV2u

dt

~~a2V2u^O（a2=-）

dtcp

如果在物體內(nèi)部存在熱源，熱源強度（單位時間內(nèi)在單位體積中產(chǎn)生的熱量）為

F（x,y,z,。，單位時間內(nèi)AV內(nèi)凈增加的熱量為

-￡V-^JV+￡FdV=￡（-V-^+F）JV

cp；=7Q+F=k^u+F

^--a2V2u^f（x,y,z,t）

dt

cp

如果熱量僅沿X方向傳導(dǎo)，如熱傳導(dǎo)發(fā)生在橫截面積為S、側(cè)面絕熱、沿X軸方向放置的均質(zhì)

細(xì)桿中，一維熱傳導(dǎo)方程為

uf-cru^=0

有熱源時2

^,~auxx=

2.擴散方程

在擴散問題中，物質(zhì)的流動所遵循的規(guī)律為：

q=-DVu

弓為擴散流強度，D叫作熱擴散系數(shù)，V〃是濃度梯度，“一”表示物質(zhì)從高濃度向低濃度方

向流動。同樣考慮小體積AV,單位時間內(nèi)凈流入△丫內(nèi)的物質(zhì)的量為

.而=-,VqdV,

假設(shè)小體積AV內(nèi)沒有源或匯(其他物質(zhì)轉(zhuǎn)化為這種物質(zhì)稱之為源，這種物質(zhì)轉(zhuǎn)化為其他物質(zhì)

稱之為匯)，質(zhì)量AM流入小體積AV內(nèi)，必然導(dǎo)致這種物質(zhì)的濃度度發(fā)生變化，單位時間內(nèi)

濃度的變化為線，根據(jù)質(zhì)量守恒定律:

dt

dM=—dV

dt

[—JV=-fVqdV

JAVJAV

辿=7=(假設(shè)D為常數(shù))

dt

—_?2V2W=O32=0)

dt

如果在物體內(nèi)部存在源，源的強度(單位時間內(nèi)在單位體積中產(chǎn)生物質(zhì)的量)為

F(x,y,z,t)，單位時間內(nèi)AV內(nèi)凈增加的量為

-￡vV-^JV+￡FdV=￡(-V-^+F)JV

2x-z2

-Q-u--a-V-w=F1(-/x,y,z,t)\

dt

如果僅在x方向有擴散，則一維擴散方程為

2

ut—auxx=0

有源時2

ut-?MXV=F(x,t)

三、穩(wěn)定的場方程

1.穩(wěn)定的溫度(濃度)分布場

穩(wěn)定一不隨時間變化，即%=0

穩(wěn)定的溫度場

A?=f(x,y,z)

泊松方程

無熱源時Aw=0

?拉普拉斯方程

2.靜電場

E--V。

VE=—p(x,y,z)

X?(x,y,z)是電荷密度，j是真空中的介電常數(shù)(電容率)

W(p=

f(x,y,z)=---p(x,y,z),p(x,y,z)=0時

vV=o

§7—2定解條件

數(shù)學(xué)物理方程是同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律，反映的是該類現(xiàn)象的普遍性的一面，但是就物理

現(xiàn)象而言，各個具體問題還有其特特殊性的一面，也就是說僅僅只有數(shù)學(xué)物理方程，還不能確

定各個具體問題中的物理量。其實，在質(zhì)點力學(xué)中我們對這個問題已經(jīng)有了深刻的理解，質(zhì)點

d2rd2r

運動遵循牛頓定律，F(xiàn)=m-r-，但是僅有戶還不能確定位移尸和速度D要確定

dt2=利壽

某時刻這兩個具體的物理需要知道早一些時刻或初始時刻的狀態(tài)，即它的“歷史”。在高等數(shù)

學(xué)中，要求解常微分方程確定的解，必須給定初始條件。數(shù)學(xué)物理方程是偏微分方程，物理量

的值與空間變量和時間變量有關(guān)，要確定這些物理量，就要研究對象所處的特定“環(huán)境”“和

歷史”，即邊界條件和初始條件.

一、初始條件

對于隨著時間而發(fā)展變化的問題，必須慮到研究對象的特定“歷史”，就是說，追溯到早先某個

所謂“初始”時刻的狀態(tài)，即初始條件。

對于輸運過程(擴散、熱傳導(dǎo))，初始狀態(tài)指的是所研究的物理量的初始分布(初始濃度分布、

初始溫度分布)，因此，初始條件是t=0時，u的值，即

u(x,y,z,t)\t=Q=(p(x,y,z)

其中°(x,y,z)是巳知函數(shù)。

但對于振動過程(弦、桿、膜的振動，較高頻率交變電流沿輸線傳播聲振動和聲波，電磁波),

只給出初始“位移”

M(x,y,z,t\t=j0=(p(x,y,z')

還不夠的，還需要給出初始“速度”

%(x,y,z,以句=〃(x,y,z)

從數(shù)學(xué)的角度看，就時間t這個自變數(shù)而言，輸運過程的泛定方程中只出現(xiàn)一階導(dǎo)數(shù)3,

是一階微分方程，所以只需要知道t=0時u的值，即一個初始條件(721)；振動過程的泛定方

程則出現(xiàn)t二階的導(dǎo)數(shù)u“，是二階微分方程，所以需要兩個初始條件.

注意：初條件應(yīng)當(dāng)給出整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別地點的初始狀態(tài)。

例一根長為1而兩端固定弦，用手

把它的中點朝橫向拔開距離h(圖7-8),

然后放手任其振動。

01/2X

所謂初始時刻，就是放手的那個瞬間，初始條件就是放手那個瞬間的弦的位移和速度，初

始速度顯然為零，即

%(X,以=0=0

至于初始位移如寫成“(羽4曰=h

那就錯了，因為這只是弦的中點的初始位移，其他各點的位移并不是從考慮到弦的初始

形狀是由兩段直線銜接而成，初始位移應(yīng)是的分段函數(shù)

_J(2A//)x在［0,//2］上

“X，」=o-//)(/-%)在［//2,/］上

最后，談一談“沒有初始條件的問題”，沒有外源，只是由于初始時刻的不均勻分布引起

的輸運叫作自由輸運，在自由輸運過程中，不均勻的分布逐漸均勻化，隨著分布的逐漸均勻化,

輸運過程也步衰減，因此，一定時間以后，自由輸運就衰減到可認(rèn)為巳消失，沒有外加力，只

是由于初始偏離或初始速度引起的振動叫作自由振動，上節(jié)推導(dǎo)自由振動方程時沒有計及阻尼

作用(該節(jié)習(xí)題3要求計及阻尼作用)，而實際一阻尼是不可避免的，自由振動不可避免逐漸衰

減，因此，一定時間以后自由振動就衰減到可以認(rèn)為巳消失，這樣，在周期性外源引起的輸運

問題或周期性外力作用下的振動問題中，經(jīng)很多周期之后，初始條件引起的自由輸運或性外源

或外力所引起，處理這類問題時、我們完全可以忽略初始條件的影響，這類問題也就叫作沒有

初始條件的影響。

二、邊界條件

邊界條件——邊界上的物理狀況。常見的線性邊界條件分為三類：

第一類邊界條件，直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值，在與時間有關(guān)的問題中一般是

時間的函數(shù)，它對邊界上的物理量在任一時間上的數(shù)值作了規(guī)定。

心,y,z,%界偉％

在長為/的弦的橫向振動或細(xì)桿縱向振動中，就是x=0和》=/端的位移值，

"(X,O|v=o=。(。，M(X,/)1=/=叭4

如果弦的兩端固定，則

〃。a=0=。，心,*=。

在熱傳導(dǎo)問題中就是邊界上溫度值。如桿兩端溫度值分別為定值N|、N2,則

“(X，”40=N\，u(x,r)|v=/=N2

第二類邊界條件，規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值，在與時間有關(guān)

的問題中一般也是時間的函數(shù),

邊界（X"，%,z。）

這也就是對邊界上的物理量在任一時間對空間變量偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值作了規(guī)定。在一維有界空間問

題中，

〃r（XJ）L=o=?⑺，⑸（X"）［=/=W3

在第二類邊界條件問題中要注意導(dǎo)數(shù)的物理涵義。在細(xì)桿的縱向振動問題中T=YS包，相對

dx

伸長”與力T聯(lián)系在一起，在輸運問題中互=—女廠”或互=―/）▽〃，分量形式以=一左半,

dxdx

】du,dududu―華_一

=0y3〃fm

~k——,q7——k——,偏導(dǎo)數(shù)與熱流外、qx>/聯(lián)系在一起，"-"節(jié)表不

?dydzdxdydz?

熱流動的方向沿▽〃減小的方向，即熱流從高溫流向低溫。

例：作縱振動的桿若一端（取X=O）固定，另一端（取X=/）自由，則有M（X/）L=O=0,

“r（X,，）L=/=。。

如桿的端點受力罪作用，耳工0,寫邊界條件時要小心注意力的方向和人的符號。判

例如桿的兩端（x=0和X=/）同時端受拉力&作用，兩端都有人|、=0>0（如圖），則

L=o=A'"L/=2。如果改為桿的兩端同時端受壓力F。作用，兩端都有“，心）<0,

結(jié)果應(yīng)是〃，=0=一1、".=7=—［。

在一維熱導(dǎo)問題中，若某端（X=o）絕熱，Mv（x,r）|v=0=Oo

若x=0的一端有熱流外流入，熱流方向與X的正方向相同，“式匹外皿=一半。