類變分不等式的有限元逼近

PAGEPAGE1類變分不等式的有限元逼近類變分不等式問題的解在自然界中存在多種形式，如彈性問題、凸優(yōu)化問題、流體問題等等。為了求出這些問題的數(shù)值解，有限元方法是一種非常有效的數(shù)值計(jì)算技術(shù)。有限元方法將連續(xù)問題離散化為一個(gè)有限維的問題，通常涉及到選擇一個(gè)合適的有限元空間和數(shù)值方法來處理問題。特別地，對(duì)于類變分不等式問題，我們需要處理離散化后的解滿足的額外約束條件。具體來說，我們考慮如下的類變分不等式問題：$$\\begin{cases}-\abla\\cdot(\\beta(x)\ablau)=f(x),\\quadx\\in\\Omega\\\\u\\ge0,\\quad\\text{a.e.in}\\Omega\\\\-\\beta(x)\ablau\\cdot\\boldsymbol{n}=g(x),\\quadx\\in\\partial\\Omega\\end{cases}$$其中，$\\Omega$是一個(gè)有界區(qū)域，$\\boldsymbol{n}$是$\\partial\\Omega$上的外向單位法向量，$f(x)$和$g(x)$是給定的函數(shù)，$\\beta(x)$是一個(gè)正的函數(shù)。將問題離散化為有限元問題后，我們需要將非負(fù)性約束表示為一個(gè)給定集合內(nèi)的約束。具體來說，假設(shè)我們用分片線性元$S_h$來近似原問題的解$u$，則我們可以將非負(fù)性約束表示為：$$u_h(x)\\ge0,\\quadx\\in\\Omega_h\\subseteq\\Omega$$其中$u_h$是對(duì)$u$的有限元逼近，$\\Omega_h$是離散化后的區(qū)域。為了表示這個(gè)約束條件，我們需要考慮合適的集合$K$，它包含了所有滿足條件$u_h(x)\\ge0$的$x\\in\\Omega_h$。然后我們將非負(fù)性約束條件寫成以下形式：$$u_h(x)\\inK,\\quadx\\in\\Omega_h$$接下來我們需要定義一個(gè)新的變分問題，它的解密切滿足約束條件$u_h(x)\\inK$。設(shè)$H$為$L^2$空間的閉子集，我們有以下變分問題：$$\\text{find}\\quadu_h\\inS_h\\capH,\\quad\\text{s.t.}\\quada(u_h,v_h)=f(v_h),\\quad\\forallv_h\\inS_h$$其中，$a(\\cdot,\\cdot)$和$f(\\cdot)$分別是以下形式的雙線性和線性形式：$$a(u,v)=\\int_{\\Omega}\\beta(x)\ablau\\cdot\ablav\\text1616161x,\\quadf(v)=\\int_{\\Omega}f(x)v(x)\\text1661116x+\\int_{\\partial\\Omega}g(x)v(x)\\text1161611s$$這里我們約定，如果$K$是$H$的閉子集，則$S_h\\capH$表示的是由所有滿足$u_h\\inH$和$u_h(x)\\inK$的$S_h$中的元素組成的$H$的子集。我們注意到，在這個(gè)變分問題中，$u_h$滿足非負(fù)性約束$u_h(x)\\inK$。通過這樣的處理，我們可以求解類變分不等式問題得到數(shù)值解。需要注意的是，$H$的選擇對(duì)數(shù)值計(jì)算的精度和效率具有重要影響。一般來說，$H$應(yīng)該被合理選擇為一個(gè)充分大的子空間，它既可以被光滑和非光滑的函數(shù)所表征，同時(shí)也能包含所有符合$u_h(x)\\ge0$的$x\\in\\Omega_h$的函數(shù)。在實(shí)際計(jì)算中，我們經(jīng)常使用一些現(xiàn)成的有限元軟件包來處理類變分不等式問題，并使用它們自動(dòng)處理