熱量傳遞過(guò)程選論P(yáng)PT資料

熱量(rèliàng)傳遞過(guò)程選論第一頁(yè)，共40頁(yè)。（優(yōu)選）第六講熱量傳遞(chuándì)過(guò)程選論第二頁(yè)，共40頁(yè)。Sturm-Liouville本征值問(wèn)題(wèntí)

的級(jí)數(shù)解方法（1）Sturm-Liouville定理：(1)對(duì)于下列(xiàliè)形式的常微分方程如果系數(shù)函數(shù)k(x)、q(x)和p(x)恒為正值，且k(x)、k’(x)、q(x)和p(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則必然(bìrán)存在無(wú)窮多個(gè)特征值(a.1)第三頁(yè)，共40頁(yè)。Sturm-Liouville本征值問(wèn)題(wèntí)

的級(jí)數(shù)解方法（2）當(dāng)?shù)扔谌魏我粋€(gè)特征值n時(shí)，式(a.1)必然具有一個(gè)非平凡解fn(x)滿(mǎn)足相應(yīng)的邊界條件。該fn(x)被稱(chēng)為(chēnɡwéi)對(duì)應(yīng)于n的特征函數(shù)。(2)不同(bùtónɡ)的特征函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上加權(quán)正交：(a.2)第四頁(yè)，共40頁(yè)。Sturm-Liouville本征值問(wèn)題(wèntí)

的級(jí)數(shù)解方法（3）(3)任何滿(mǎn)足式(a.1)中邊界條件并在閉區(qū)間[a,b]上具有分段連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)的函數(shù)都可以展開(kāi)為特征函數(shù)的絕對(duì)一致收斂級(jí)數(shù)：(a.3)展開(kāi)式中的系數(shù)(xìshù)可由下式計(jì)算：(a.4)第五頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-1具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（1）問(wèn)題描述：一股牛頓流體(liútǐ)流經(jīng)一根長(zhǎng)的圓直管內(nèi)。從遠(yuǎn)離管進(jìn)口的某個(gè)位置起，一個(gè)電加熱線(xiàn)圈設(shè)置在管壁外并通過(guò)恒定電流加熱。要求解析求解流體(liútǐ)溫度沿管長(zhǎng)和半徑方向的分布。第六頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定(héngdìng)壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（2）1.物理模型:常物性;充分(chōngfèn)發(fā)展的穩(wěn)態(tài)層流;穩(wěn)態(tài)傳熱;恒定壁面熱通量;軸向熱傳導(dǎo)可忽略;周向均勻;粘性耗散可忽略;不存在內(nèi)熱源。第七頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)(ɡuǎnnèi)層流傳熱問(wèn)題（3）2.數(shù)學(xué)模型:1) 選用柱坐標(biāo)系，令z-軸與管道中心線(xiàn)重疊且設(shè)加熱起始點(diǎn)為z=0。2)列出以下(yǐxià)簡(jiǎn)化:(1)根據(jù)(gēnjù)物理模型(1)和(2)兩點(diǎn)第八頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（4）(2)根據(jù)(gēnjù)物理模型第(3)點(diǎn)(3)根據(jù)(gēnjù)物理模型第(5)點(diǎn)(4)根據(jù)物理模型第(6)點(diǎn)(5)根據(jù)物理模型第(7)點(diǎn)(6)根據(jù)物理模型第(8)點(diǎn)(7)根據(jù)物理模型第(1)點(diǎn)第九頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（5）3) 化簡(jiǎn)柱坐標(biāo)系下的能量(néngliàng)方程[式(B.9-2)]舍棄(shěqì)等于零的項(xiàng)，該式簡(jiǎn)化為第十頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱(chuánrè)問(wèn)題（6）把簡(jiǎn)化(1)代入上式，再結(jié)合物理模型(4)，我們(wǒmen)得到了此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：(10.8-12)第十一頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流(cénɡliú)傳熱問(wèn)題（7）3.求解數(shù)學(xué)模型把數(shù)學(xué)模型無(wú)因次化取R作為特征長(zhǎng)度是很自然的選擇(xuǎnzé)。于是有

以及(yǐjí)第十二頁(yè)，共40頁(yè)。2)長(zhǎng)距離(大值)下的漸近解2-1具有恒定(héngdìng)壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（12）2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)(ɡuǎnnèi)層流傳熱問(wèn)題（3）1)左側(cè)的算子僅與自變量有關(guān)而右側(cè)(yòucè)的算子僅與自變量有關(guān)。我們得到(dédào)常微分方程第二十二頁(yè)，共40頁(yè)。3) 化簡(jiǎn)柱坐標(biāo)系下的能量(néngliàng)方程[式(B.用除以上式的等號(hào)兩側(cè)，得(7)根據(jù)物理模型第(1)點(diǎn)(2)半無(wú)窮空間近似(jìnsì)Sturm-Liouville定理：（優(yōu)選）第六講熱量傳遞(chuándì)過(guò)程選論2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱(chuánrè)問(wèn)題（22）8-19)，得到(dédào)2(20C)，z/R=440。2-2具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解(2)§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流(cénɡliú)傳熱問(wèn)題（8）邊界條件可以(kěyǐ)重新整理寫(xiě)為令邊界條件和變?yōu)檫吔鐥l件可被齊次化，只需令第十三頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（9）就有上式中的無(wú)因次準(zhǔn)數(shù)可被合并到*中以使控制(kòngzhì)方程更為簡(jiǎn)單?？刂?kòngzhì)方程變?yōu)榈谑捻?yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流(cénɡliú)傳熱問(wèn)題（10）(10.8-19)式(10.8-12)簡(jiǎn)化(jiǎnhuà)為第十五頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱(chuánrè)問(wèn)題（11）式(10.8-19)在=1處具有非齊次邊界條件，因而不能將變量分離法直接應(yīng)用于它。由于忽略了軸向熱傳導(dǎo)，可以合理地推測(cè)在遠(yuǎn)離加熱起始點(diǎn)的下游區(qū)域的溫度場(chǎng)具有充分發(fā)展的分布剖形：在恒定管壁熱通量的作用下，流體的溫度正比于軸向距離z線(xiàn)性升高(shēnɡɡāo)，但沿半徑方向的無(wú)因次溫度分布曲線(xiàn)的形狀保持不變。2)

長(zhǎng)距離時(shí)的漸近解第十六頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定(héngdìng)壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（12）這個(gè)推測(cè)可以(kěyǐ)用數(shù)學(xué)方式表示為(10.8-23)將式(10.8-23)代入式(10.8-19)，得到(dédào)(10.8-26)第十七頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)(ɡuǎnnèi)層流傳熱問(wèn)題（13）對(duì)式(10.8-26)積分兩次，就得到(dédào)該方程的通解為(10.8-27)根據(jù)(gēnjù)邊界條件，C1=0。根據(jù)(gēnjù)邊界條件B.C.2，C0=4。于是這個(gè)解并不滿(mǎn)足邊界條件B.C.1，因此不能夠根據(jù)B.C.1確定積分常數(shù)C2。第十八頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定(héngdìng)壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（14）為了確定(quèdìng)C2，我們對(duì)z=0到z=z管段內(nèi)的流體做熱量衡算：(10.8-31)即可得

于是(yúshì)第十九頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定(héngdìng)壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（15）3)完全(wánquán)解(12.2-4)上述(shàngshù)長(zhǎng)距離漸近解滿(mǎn)足方程(10.8-19)和=1處的邊界條件B.C.2，因此可以用它來(lái)使方程(10.8-19)的邊界條件B.C.2齊次化。令將式(12.2-4)代入式(10.8-19)，我們得到d的數(shù)學(xué)模型如下：第二十頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流(cénɡliú)傳熱問(wèn)題（16）(b.1)可以看見(jiàn)，式(b.1)左側(cè)的算子僅與自變量有關(guān)而右側(cè)(yòucè)的算子僅與自變量有關(guān)。因此我們可以運(yùn)用變量分離法求解此方程。第二十一頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（17）(12.2-8)令可以看見(jiàn)，式(b.2)的等號(hào)左側(cè)是的函數(shù)而右側(cè)是的函數(shù)。由于是和彼此獨(dú)立的自變量，所以式(b.2)成立(chénglì)的唯一途徑是等號(hào)兩側(cè)都等于同一個(gè)常數(shù)（稱(chēng)為變量分離常數(shù)）。將其代入式(b.1)，我們(wǒmen)有用除以上式的等號(hào)兩側(cè)，得(b.2)第二十二頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定(héngdìng)壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（18）(12.2-9*)即式(12.2-9*)的通解(tōngjiě)是此式可以分離成兩個(gè)(liǎnɡɡè)常微分方程：(12.2-10*)因?yàn)楫?dāng)→時(shí)的值應(yīng)該有限，所以必然有C

0，記為C=-c2。第二十三頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱(chuánrè)問(wèn)題（19）于是(yúshì)令=2和=c2/4，式(12.2-10)可改寫(xiě)(gǎixiě)為(12.2-10)對(duì)比式(a.1)，此方程是一個(gè)Sturm-Liouville問(wèn)題。(b.4)(b.3)第二十四頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-1具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題（20）遵照Sturm-Liouville定理，此方程必然存在無(wú)窮多個(gè)本征值k和本征函數(shù)k，而此方程的任何解都可以展開(kāi)(zhǎnkāi)為這些特征函數(shù)的級(jí)數(shù)。于是方程(fāngchéng)(b.1)的解可以表示為第二十五頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)(ɡuǎnnèi)層流傳熱問(wèn)題（21）展開(kāi)式中的系數(shù)Bk可以(kěyǐ)根據(jù)式(b.1)的邊界條件B.C.1確定：而特征值k和特征函數(shù)k本身則需通過(guò)在相應(yīng)的邊界條件下求解式(b.4)獲得。R.Siegel曾經(jīng)求解此問(wèn)題(wèntí)并獲得k等于1到7的結(jié)果。第二十六頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱(chuánrè)問(wèn)題（22）4.結(jié)果(jiēguǒ)分析1)完整(wánzhěng)解Siegel的結(jié)果如下表kck2k(1)Bk125.67960.4925170.403483283.8618-0.395508-0.1751113174.1670.3458720.1055944296.536-0.3140470.07328045450.9470.2912520.05503576637.387-0.2738080.0434837855.8500.2598520.035597第二十七頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)(ɡuǎnnèi)層流傳熱問(wèn)題（23）由表可見(jiàn)，隨著(suízhe)k值增加，ck2迅速增大，從而只要不是非常小，exp(-ck2)將快速收斂。例如，在=0.05處，此結(jié)果表明當(dāng)0.05時(shí)，取d=d1的誤差(wùchā)小于2%。第二十八頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)(ɡuǎnnèi)層流傳熱問(wèn)題（24）2)長(zhǎng)距離(大值)下的漸近解在=0.1處，此結(jié)果表明當(dāng)0.1時(shí)，取=的誤差(wùchā)小于2%。第二十九頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱(chuánrè)問(wèn)題（25）取接近層流(cénɡliú)上限的條件，Re=2000：對(duì)于(duìyú)空氣， Pr=0.7， z/R=140；對(duì)于(duìyú)水， Pr=2.2(20C)，z/R=440。無(wú)因次距離

0.1，所對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離是多少呢？第三十頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-2具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解(1)對(duì)于非常小的值(距加熱起始點(diǎn)非常短的距離)，完整解中的高次項(xiàng)就不能被省略。高次項(xiàng)使解的公式復(fù)雜而不便于應(yīng)用。由于(yóuyú)這個(gè)原因，人們又發(fā)展了適用于進(jìn)口區(qū)的漸近解，其原理是基于在小值下熱量從壁面向流體中傳遞的距離(熱滲透深度)很小。第三十一頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-2具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解(2)1)物理模型(móxíng)所采用的簡(jiǎn)化(1)幾何結(jié)構(gòu)的線(xiàn)性化使用平壁面替代圓柱壁面。(2)半無(wú)窮空間近似(jìnsì)流體的外邊界被延拓到距壁面無(wú)限遠(yuǎn)處。(3)速度分布剖形的線(xiàn)性化在壁面處將速度分布函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，略去高次項(xiàng)，僅保留線(xiàn)性部分。第三十二頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)(ɡuǎnnèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解(3)2)化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型(1)選用直角坐標(biāo)系，令y代表距壁面距離。(2)線(xiàn)性化的速度(sùdù)分布表達(dá)式為(3)能量方程(fāngchéng)簡(jiǎn)化為(12.2-13)第三十三頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-2具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解(4)將此式等號(hào)兩側(cè)(liǎnɡcè)同時(shí)對(duì)y求導(dǎo)，得整理(zhěnglǐ)為(12.2-14)根據(jù)傅立葉定律我們有第三十四頁(yè)，共40頁(yè)。§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)(ɡuǎnnèi)層流傳熱問(wèn)題

進(jìn)口區(qū)的漸近解(5)我們(wǒmen)有為使數(shù)學(xué)模型無(wú)因次化，令(12.2-15)邊界條件為(12.2-16)第三十五頁(yè)，共40頁(yè)?！?2.2-2具有(jùyǒu)恒定壁面熱通量的