演示文稿斐波那契數(shù)列與黃金分割

演示文稿斐波那契數(shù)列與黃金分割目前一頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點（優(yōu)選）斐波那契數(shù)列與黃金分割目前二頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

古今中外許多著名的數(shù)學(xué)家都曾以其親身感受對這個問題有過深刻的論述，認為數(shù)學(xué)不僅與美學(xué)密切相關(guān)，而且數(shù)學(xué)中充滿著美的因素，到處閃現(xiàn)著美的光輝。

英國著名數(shù)理邏輯學(xué)家羅素指出：“數(shù)學(xué)，如果正常地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正如雕塑的美,是一種冷而嚴肅的美?！?/p>

我國著名數(shù)學(xué)家徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)園地處處開放著美麗花朵，它是一片燦爛奪目的花果園，這片花果園正是按照美的追求開拓出來的?！蹦壳叭揬總數(shù)五十五頁\編于十六點十秒鐘加數(shù)請用十秒，計算出左邊一列數(shù)的和。

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+ 89 ??時間到！答案是231。目前四頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點十秒鐘加數(shù)再來一次！

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+ 2584 ????時間到！答案是6710。目前五頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點一、斐波那契數(shù)列1、斐波那契的生平

斐波那契（Fibonacci1170~1250）13世紀意大利最杰出的數(shù)學(xué)家。斐波那契的父親為比薩的商人，他認為數(shù)學(xué)是有用的，因此送斐波那契向阿拉伯教師們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并掌握了印度數(shù)碼之一新的記數(shù)體系，后來游歷埃及、敘利亞、希臘、西西里、法國等地，掌握了不同國家和地區(qū)商業(yè)的算術(shù)體系。1200年左右回到出生地——比薩，潛心研究數(shù)學(xué)，于1202年寫成名著《算盤全集》。該書廣為流傳，為印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼在歐洲流傳起了重要的作用。目前六頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

除了扮演傳播印度數(shù)學(xué)——阿拉伯?dāng)?shù)字的角色，斐波那契在數(shù)學(xué)中的貢獻也是非常大的。除了《算盤全集》外，另有《幾何實用》（1220），《平方數(shù)書》（1225），是專門討論二次丟番圖方程式的。書中最有創(chuàng)造性的工作應(yīng)是同余數(shù)，該書使斐波那契成為在數(shù)論史中，貢獻介于丟番圖和費爾馬之間。然而，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家之所以會知道他的名字，并非因為他在數(shù)學(xué)上的成就，而是得知于斐波那契數(shù)列。這是在1228年修訂《算盤全集》時增加的膾炙人口的“兔子問題”（簡稱為斐氏數(shù)列）。目前七頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點斐波那契(意，約1170-1250)兔子問題如果每對兔子（一雄一雌）每月能生殖一對小兔子（也是一雄一雌，下同），每對兔子第一個月沒有生育能力，但從第二個月以后便能每月生一對小兔子。假定這些兔子都不發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么從一對剛出生的兔子開始，一年之后會有多少對兔子呢？2、兔子數(shù)列目前八頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點解答

1月

1對目前九頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點解答

1月 1對

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對目前十頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對目前十一頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點解答

1月 1對

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4月 3對目前十二頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點解答

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5月 5對目前十三頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點解答

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6月 8對目前十四頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點解答

1月 1對

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6月 8對

7月 13對目前十五頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點解答可以將結(jié)果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問題的答案是144對。目前十六頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點斐波那契數(shù)列用數(shù)學(xué)歸納法，可推得斐波那契數(shù)列的通項公式：目前十七頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點斐波納契數(shù)列的性質(zhì)8213511321345589144???各項分別為前項的多少倍？前一項后一項的觀察123581321345589144112358132134558911.51.61.61531.61761.6179

21.6661.6251.61901.6181<<<<<>>>>1.6180???

1+5

2

=1.6180???黃金比，黃金數(shù)目前十八頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點下面，我們考慮Fibonacci數(shù)列中相鄰兩項比的極限.設(shè)，則，.可用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的子列.由于，均不等于0，故可將上面第一式同乘以減去第二式同乘以，得到.因此，由可解得，，從而目前十九頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點斐波那契數(shù)列的美妙性質(zhì)☆

隨著項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……☆

從第二項起，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1?！?/p>

前n個斐氏數(shù)加起來再加1，就等于第n+2個斐氏數(shù)?！?/p>

相鄰兩個數(shù)的平方和也是一個斐波那契數(shù)，且腳標(biāo)恰為前兩者腳標(biāo)之和。11 2358132134 5589144…目前二十頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點“十秒鐘加數(shù)”的秘密數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù)

10個斐波那契數(shù)之和，必定等于第

7個數(shù)的11倍！

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+ 89 ??所以右式的答案是：

2111=231目前二十一頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點“十秒鐘加數(shù)”的秘密又例如：右式的答案是：

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+ 2584 ????

61011=6710目前二十二頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點斐波那契協(xié)會和《斐波那契季刊》

斐波那契1202年在《算盤書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒有進一步探討此序列，并且在19世紀初以前，也沒有人認真研究過它。沒想到過了幾百年之后，十九世紀末和二十世紀，這一問題派生出廣泛的應(yīng)用，從而突然活躍起來，成為熱門的研究課題。目前二十三頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

有人比喻說，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會，還出版了《斐波那契季刊》。

目前二十四頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域常常奇妙而出乎意料地聯(lián)系在一起．斐波那契數(shù)列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應(yīng)用，它就不會有強大的生命．發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實在許多問題中出現(xiàn)．3、斐波那契數(shù)列趣話目前二十五頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點A、自然界中花朵的花瓣中存在斐氏數(shù)列特征

生物學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，花瓣數(shù)是極有特征的。多數(shù)情況下，花瓣的數(shù)目都是3，5，8，13，21，34，55，89，144……

例如：百合花有3瓣花瓣，至良屬的植物有5瓣花瓣，許多翠雀屬植物有8瓣花瓣，萬壽菊的花瓣有13瓣，紫鶯屬的植物有21瓣花瓣……目前二十六頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)．目前二十七頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排列的，有順時針轉(zhuǎn)和逆時針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數(shù)．目前二十八頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

有一位學(xué)者細心地數(shù)過一朵花的花瓣，發(fā)現(xiàn)這朵花的花瓣剛好是157瓣。且他又發(fā)現(xiàn)其中有13瓣與其他144瓣有顯著的不同，是特別長并卷曲向內(nèi)，這表明這朵花的花瓣數(shù)目是由F7=13和F12=144合成的。這一模式幾個世紀以來一直被廣泛研究，但真正意義上的解釋直到1993年才給出。目前科學(xué)家們對這一模式還在研究之中。目前二十九頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點B、斐氏數(shù)列與游戲

一位魔術(shù)師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺、寬5英尺的長方形地毯?！边@位匠師對魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因為8英尺的正方形地毯面積是64平方英尺，如何能夠拼出65平方英尺的地毯？兩者之間面積相差達一平方英尺呢！可是魔術(shù)師做到了。他讓匠師用下圖的辦法達到了他的目的！目前三十頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

真是不可思議！那神奇的1平方英尺究竟從哪里跑出來的呢？這就是費氏數(shù)列的奧妙所在。目前三十一頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點C、雄蜂家系與斐氏數(shù)列

眾所周知，一般動物都有父親和母親，但雄蜂是例外，它只有母親沒有父親，養(yǎng)過蜜蜂的人都知道，蜂后產(chǎn)的卵，若能受精則孵化成雌蜂；如果不受精，則孵化成雄蜂，也即雄蜂是有母無父。雌蜂是有父有母的。因此，我們?nèi)糇匪菀恢恍鄯涞淖嫦龋瑒t可以發(fā)現(xiàn)其第n代的祖先數(shù)目剛好就是斐氏數(shù)列的第n項Fn.目前三十二頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點D、斐氏數(shù)列應(yīng)用于生活（上臺階）有N級臺階，每次可能上一級或二級。共有多少種上法？目前三十三頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點依此類推，有數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，34，……用1元，2元鈔若干張能支付1，2，3，4，……元的支付方式，剛好成斐氏數(shù)列。只有一個臺階時，只有一種走法，F(xiàn)1=1；兩個臺階，走法有2種，一階一階或者一步上兩個臺階，所以F2=2；三個臺階時，走法有一步一階，2階再一階，1階再2階，因此F3=3；四個臺階時，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1），（2，2），共5種走法。故F4=5；目前三十四頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

著名天文學(xué)家開普勒說：幾何學(xué)里有兩個寶庫，一個是畢達哥拉斯定理，一個是黃金分割。前者可以比作金礦，后者可以比作珍貴的鉆石礦。二、黃金分割目前三十五頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

德國天文學(xué)家開普勒曾說：“幾何學(xué)有兩大寶藏，其一為畢氏定理，其二為將一線段分成外內(nèi)比。前者如黃金，后者如珍珠?！盇straightlineissaidtohavebeencutinextremeandmeanradiowhen,asthewholelineistothegreatersegment,soisthegreatertotheless.

分一線段為二線段，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比。數(shù)學(xué)之美目前三十六頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點兩千年前，希臘數(shù)學(xué)家考慮如下問題：設(shè)線段AB

，在AB

上找一點C

，使得令于是有可化為一元二次方程該方程的根為ABC目前三十七頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點大自然中數(shù)學(xué)美---黃金分割黃金比

ＡＰＢＡＢ：ＡＰ＝ＡＰ：ＰＢ如果滿足這個條件?把點Ｐ叫做線段ＡＢ的黃金分割點ＡＢＡＰ?＝ＡＰＰＢ＝

黃金比目前三十八頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點黃金比的値

ＡＰＢＡＢ：ＡＰ＝ＡＰ：ＰＢ如果設(shè)定ＡＰ＝１，ＡＢ＝φ１φ

φー１

φ

：１＝１：(φ－１)由此得

φ２－φ－１＝０φ＝

1+5

2

=1.6180???φ２＝φ＋１＝

φ－１φ

１

目前三十九頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點黃金矩形

a:b=1:1.618…

ba目前四十頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點于是其倒數(shù)即C

點約在AB

長度的0.618

的位置上．

希臘數(shù)學(xué)家把這個幾何問題里的點C

叫作黃金分割點，這個比值

稱為黃金分割數(shù)．ABC目前四十一頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點黃金矩形

a:b=1:1.618…

ba目前四十二頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點2、黃金三角形底與腰（或腰與底）之比為0.618的三角形，稱為黃金三角形．ABC目前四十三頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點黃金梯形：在等腰梯形中,當(dāng)上底邊長與下底邊長之比為黃金比且上底邊長正好與兩條腰長相等（此時下底邊長正好與兩條對角線長相等）時，這個梯形就稱為黃金梯形。其上底角等于108度，下底角等于72度目前四十四頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點

黃金分割是公元前六世紀古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn)，后來古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱為黃金分割．

0.618，以嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值．

黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的因素之一。認為它表現(xiàn)了恰到好處的“和諧”．目前四十五頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點神奇的“黃金分割比”自古至今也出現(xiàn)在許多偉大畫家的著名作品中，如米開朗基羅的《圣家庭》（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物構(gòu)圖布置中包含著一個“黃金五角星”。目前四十六頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點拉斐爾的《刑罰》(Crucifixion)人物布局以“黃金三角形”和“黃金五角星”展開。目前四十七頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點健美的人體（如古希臘雕塑《米羅的維納斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世紀以來，世界各國的選美標(biāo)準大部分都依據(jù)《米羅的維納斯》身材各部分的尺寸。她的體形符合希臘人關(guān)于美的理想與規(guī)范，身長比例接近所追求的人體美標(biāo)準，即身與頭之比為8∶1。由于8為3加5之和，這就可以分割成1∶3∶5，這就是“黃金分割律”，這個比例成為后代藝術(shù)家創(chuàng)造人體美的準則。）亦有多組比例符合黃金分割比。如人的臍部到頭頂?shù)木嚯x與臍部高度之比、頭頂?shù)脚e手指端的距離與臍部到頭頂距離之比、膝蓋到肚臍同膝蓋到腳底之比，都符合黃金分割。0.3820.618目前四十八頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點葉子中的黃金分割圖中主葉脈與葉柄和主葉脈的長度之和比約為0.618．目前四十九頁\總數(shù)五十五頁\編于十六點在動物界，形體優(yōu)美的動物形體，如馬，騾、獅、虎、豹