數(shù)列難點(diǎn)解析

數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)技巧總結(jié)一一數(shù)列

1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）

，=-*-^----（M€獷）

的特殊函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如（1）已知?+136,

1_<M

則在數(shù)列的最大項(xiàng)為一（答：25）.（2）數(shù)列的通項(xiàng)為■一加r+l,其中0》

均為正數(shù)，則/與的大小關(guān)系為—（答：\<厚“】）；（3）已知數(shù)列中，

，■/+融，且｛4｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)2的取值范圍（答：1>-3）:（4）一給定函

數(shù)尸=/W的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意,eeR,由關(guān)系式'】=/（一）得到的數(shù)列

滿足4-*>,3￡獷），則該函數(shù)的圖象是（）（答：A）

2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：

（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法?-■-AWW*）或，

■+/+???+.

如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以b"=M"WN"為通項(xiàng)公式的數(shù)列QJ為等

差數(shù)列。

（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：,■,*5-中或%?.+伽一中。如⑴等差數(shù)列｛<｝中,

■?3。，O.-50則通項(xiàng)凡.（答：2?+10）.（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列,

從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（答：3）

幺坦+至2

（3）等差數(shù)列的前5?:和：2,?2。如（1）數(shù)列｛4｝

,=q_t+2（K之a(chǎn).=-SL=-—、

中，2,2,前n項(xiàng)和2,則~】=_,匯=_（答:

■=-3,*=io）；（2）已知數(shù)列（“J的前n項(xiàng)和W二12*--,求數(shù)列的前丫

T?S仙€獷）

項(xiàng)和工（答：■V-12a+72（?>6,?eir）

（4）等差中項(xiàng)：若a?46成等差數(shù)列，則A叫做二與2：的等差中項(xiàng)，且-2。

提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前5r和公式中，涉及到5個(gè)元素：片

及耳，其中；1、』稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2

個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…,

a-2d.a-d.a,a^d.a^2d...（公差為X）.偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…,

a-3d,a-dta+d,a+3d...（公差為2^）

3.等差數(shù)列的性質(zhì):

（1）當(dāng)公差/W0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式■?％+伽一是關(guān)于,:的」

5L=-?a+（A--）?

次函數(shù)，且斜率為公差￥；前,:和222是關(guān)于￥的二次

函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

（2）若公差d>°,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列，若公差

d=O,則為常數(shù)列。

（3）當(dāng)*+*=/+*時(shí)，則有4特別地，當(dāng)"*十#=2D時(shí)，則有

<+.=必.

如⑴等差數(shù)列⑷中，^=18.?.+^-1+<^4=3.53=1,則蕓=—（答：27）；

⑵在等差數(shù)列｛嗎中，.<°丹】,且巧】升~1,%是其前丫項(xiàng)和，則A、*瑪…、

都小于0,品”與?…都大于0B、國?當(dāng)…罵?都小于0,4，當(dāng)…都大于0C、

?,居”?號(hào)都小于0,0.天…都大于o口、￥?號(hào)”"'都小于0,多薩號(hào)B…都大于0

（答：B）

（4）若（◎、⑻是等差數(shù)列，則他）、啊+*）仕、:是非零常數(shù)）、

、貳/，…也成等差數(shù)歹ij,而成等比數(shù)歹（］；若*U

是等比數(shù)列，且.〉。，則Qg4是等差數(shù)列。

如等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為25,前2〃項(xiàng)和為100,則它的前3〃和為。（答:

（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)勿時(shí)，牛一/=溫；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),

%一$=/,（這里點(diǎn)，即A）,4：%=Q+D：*。

如（1）在等差數(shù)列中，S“=22,則'=（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)

列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80,偶數(shù)項(xiàng)和為75,求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）

4

（6）若等差數(shù)列k）、（幅的前1和分別為4、4,且生

4一②-g一'I一D.如設(shè)｛,｝與倒是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前品項(xiàng)和

3M4-1父6/t-2

分別為&和%若霏4*-3,那么勾（答：8律-7）

（7）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前”項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞

增等差數(shù)列中，前;：項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：山不等式組

1f?bso）

卜?“20J確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前七項(xiàng)是關(guān)

于,:的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性上述兩

種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？

如（1）等差數(shù)列（「J中，4=25,$=問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大

值。（答:前13項(xiàng)和最大，最大值為169）：（2）若｛,｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)\>口—>*，<*>0,

則使前〃項(xiàng)和果>口成立的最大正整數(shù)n是

J40,（答：4006）

（8）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，

且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)

數(shù)不?定相同，即研究,二4。

4.等比數(shù)列的有關(guān)概念:

（i）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，，其中g(shù)w■?學(xué)口或，外］

伽之力。

如①一個(gè)等比數(shù)列｛鼻｝共有2?+1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100,偶數(shù)項(xiàng)之積為120,則■*】

為—（答：<）；②數(shù)列中，與=4%+1（程=2）且與口，若4，

求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列。

（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：S或，。

如設(shè)等比數(shù)列中，.F=咒■—=128,前E項(xiàng)和耳=126,求丫和公比武.

1

（答：\=6,《2或2）

學(xué)/一.

（3）等比數(shù)列的前,:和：當(dāng)q=［時(shí)，耳=f；當(dāng)彳學(xué)］時(shí)，?i—qi—q

如①等比數(shù)列中，彳=2,$行77,求“？+'+…+，。（答：44）；②-1J的

值為（答：2046）；

特別提醒：等比數(shù)列前5?:項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前子項(xiàng)和時(shí)，首先要

判斷公比才是否為1,再由3的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比彳是否為1時(shí)，

要對(duì)1分q=i和q*I兩種情形討論求解。

（4）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做上與士的等比中項(xiàng)。提醒：不是任

何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)上如已知兩個(gè)正數(shù)

的等差中項(xiàng)為A,等比中項(xiàng)為B,則A與B的大小關(guān)系為______（答：A>B）

提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前,:和公式中，涉及到5個(gè)元素：與、孑、￥、心

及用,其中；1、；稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2

個(gè)，即知3求2：（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為…,

。<siaa>

F.一丁?一■■■8

qq…（公比為？）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為…qq，…,

因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為1一。

如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的

和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求此四個(gè)數(shù)。（答：15,,9,3,1或0,4,8,16）

5.等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)時(shí)，則有，醫(yī)特別地，當(dāng)*?+建=2下時(shí)，則有

如①在等比數(shù)列（■）中，,+.=1駕?=-512,公比q是整數(shù)，則.=_（答:

512）；②各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若..?-9,則

lngl<\4-logJa1+-<-lom,=（答：io）。

（2）若6）是等比數(shù)列，則（*I）、（，“小."”）、L成等比數(shù)列；若

⑷?㈤成等比數(shù)列，則3、仔）成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且公比一1,

則數(shù)列公，…也是等比數(shù)列。當(dāng)C=T,且〈為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列

線,$一號(hào)，…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列。

如①已知目設(shè)數(shù)列｛4｝滿足】q4-=1+10區(qū)工3€川*）,且

4+0+???*￡-100,則％!!+%?+?”+*■?..（答:]0001?）.②在等

比數(shù)列k）中，況為其前n項(xiàng)和，若/二】35」與+S?=MO,則品?的值為

（答：40）

（3）若%則6）為遞增數(shù)列；若則為遞減數(shù)列；若

,>o.o3<i,則&）為遞減數(shù)列；若則k）為遞增數(shù)列；若g<0,

則公）為擺動(dòng)數(shù)列；若。=|,則為常數(shù)列。

品=*q*+2=5?+A

（4）當(dāng)qwi時(shí)，l-qi-q,這里.+,=0,但。學(xué)°力學(xué)°,

這是等比數(shù)列前丫項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)號(hào),判斷數(shù)列依｝是否為等比數(shù)

列。

如若（<）是等比數(shù)列，且穌?綃+‘，則「=（答：一1）

⑸耳"=5+。品=g+4品

如設(shè)等比數(shù)列6）的公比為孑，前5?:項(xiàng)和為《，若、】?學(xué)?學(xué)。成等差數(shù)列，則才的

值為（答：-2）

（6）在等比數(shù)列&）中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù).時(shí)，3科,項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2?一1時(shí),

S.=.+q當(dāng)

（7）如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列伉）是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)

數(shù)列也）僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。

如設(shè)數(shù)列｛，｝的前三項(xiàng)和為（???）,關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：①若

—IMH）,則｛%｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若耳+

則｛，｝是等差數(shù)列；③若卷?1-（一。,則｛■）是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序

號(hào)是（答：②③）

6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

3-5-7—9—???

如已知數(shù)列4*8*16*32,試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：（答：

■=2?+1+攝r）

⑵已知&（即…求工，用作差法:■一I

=件=1

如①已知&｝的前#項(xiàng)和滿足I?8式&包="乜求三（答：12\"之2）；②

數(shù)列-）滿足1號(hào)叫+十吳血+5求一答「=（段'）

]e.3=D

⑶已知,嗎小3.求,，用作商法：[河7

如數(shù)列&｝中，,=1?對(duì)所有的RW2都有<?C?!則巧■*■,，=

61

（答：16）

⑷若.U..=/W求三用累加法：,=&)+(%-/_0+…+(-—?!)

22)

如已知數(shù)歹網(wǎng)、滿足■=【，4+1+G（*2）,則\=

（答：.=，+1-1+1）

餐t=/3）...H.

⑸已知■求心，用累乘法：?■@>2）。

如已知數(shù)列中，■=2,前,:項(xiàng)和斗，若緝=『■,求'（答:%+1)

⑹已知遞推關(guān)系求?,用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，

（1）形如q=%■<+$、,=*?+△'（AJ為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系

數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為-的等比數(shù)列后，再求4o

如①已知?=1.=*1+2,求4（答："2EB尸-1）；②已知

■=L.=3^1T+2T,求到（答：；

J

0a=—

（2）形如E?T+A的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。

%=L，=~■—.=I

如①已知Xi+l,求.（答：TH-2）；②已知數(shù)列滿足逑=1,

￡7-占=再“，求.（答：,=了）

注意：（1）用0?=S,一同I求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？

（■N2,當(dāng)■=1時(shí)，/=SL）,（2）一般地當(dāng)已知條件中含有,與耳的混合關(guān)系時(shí)，

常需運(yùn)用關(guān)系式■=品,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含6?或&的關(guān)系式，然后再求解。

如數(shù)歹U6｝滿足，"禺求,（答：”=（舜>之2）

7.數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列

求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：

1+2+3+.”+*=/J<M+D

P4-2a+-+J?a=/心+1X2*+D

+“??+/=［奔牛

如①等比數(shù)歹內(nèi)?）的前?,:項(xiàng)和Sn=2"—1,則埠+6+存+.”+4=（答：

4*-1

3）；②計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如Q1°D2

表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是1x24lx7+0x2+1xT=13,那么將二進(jìn)制

011…通

?'轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是（答：2Hs—1）

（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合

并在一起，再運(yùn)用公式法求和。

如求：瑟=T+3-5+7-“+(-(TC2*-D(答：(-1/-?)

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)

相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前V和公式

的推導(dǎo)方法）。

如①求證：+0+四=（，+西；②已知」8=耳了，則

7

/CD+/W

（答:-）

（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相

乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前丫和公式的推導(dǎo)方法）。

如（1）設(shè)為等比數(shù)列，…+乜><*■,已知工?彳,

①求數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列｛工｝的通項(xiàng)公式.（答：①勺=1,4=2；②

<=*-"-2）；（2）設(shè)函數(shù)汽3力=6-D,數(shù)列滿足:

%=,①求證：數(shù)列&-D是等比數(shù)列；②令

年）=&-求函數(shù)@在點(diǎn)”。處的導(dǎo)數(shù)嶗，并

朋（5.1A白=（獨(dú)-叩+1,*rA

比較子與力*一■的大小。（答：①略；②3T，當(dāng)建=1時(shí)，T

2M1-M.當(dāng)*=2時(shí)，，?〈2*'-,；當(dāng)幕之？時(shí)，"$〉2?'-建）

（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)

聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和?常用裂項(xiàng)形式有：

1