《線性代數(shù)》郝志峰 習題詳解

習題一1 、 （ 1 ）1 0 2D0 2 11250122032221350021.12 3 5（ 2 ）a b cDb c aabcbaccbacccaaabbba3b3c3.2c a b2、（1）排列的逆序數(shù)為00235.2（2）排列的逆序數(shù)為012 21n.23、含有因子aa

的項aaaa（縱標為1324，逆序數(shù)為00101），aa

aa（縱1123

11233244

11233442標為1342，逆序數(shù)為00022）.4、經(jīng)第一行與第四行交換行列式為負號，經(jīng)轉置行列式不變，經(jīng)用2乘所有元素為25用1乘第2列加到第5列為行列式不變，經(jīng)這些處置后行列式為32D.、3的代數(shù)余子式為，1的代數(shù)余子式為103326.2、D31253231330713414103043.27、（1）D1（2）Dy2y

311248.43列展開xx000x00r43列展開xx000x00rr1 211x11cc1 x1x10rr3 400yycc00y01111y011yx10

y 0 .0y0按第一010y0按第一01y10002000n1n1n1n1

x2 1

x2y28（1）D1

n1

n1

n1n!.(2) D1

按第1列展開

a1ann1bn.rrrrrrr2 13 1rrn 1a0ba0b00b b 0a b1n10 00 00 00an1n100a bn1n11111102222002222n1.000023(4) D4

按第一行展開

a 00 aa10 00 0

0 00 0a 00 a

n

0 a 00 0 a0 0 01 0 0

00a0n1n1第二個行列式按第一列展開aan1n11n1an2anan2an2a2.a2a22a1a24aa2a22a1a24a4a26a9b2b21b24b4b29c2c22c1c24c4c26c9d2d22d1d24d4d26d9其中兩列元素相同、成比例，則行列式為0，其結果為0，等于右邊.1 1 1左邊第一行、第二行對調a b ca2 b2 c2a3 b3 c3

1d右邊.d2d3從第二行起ri1

xrn1得：i1001000100010000axa0 1Dnaxn2axn3 0 1

n2axn1axn2 0 1

n2

x

n1按r展開

n

1 0 00 1 0n axn1axn2 a xa -10 1 n2

n1

0 0 1n1n1axn1axn2

x

a

xn1axn2

a xa .0 110（1）

n2

n1 0 1

n2

n1n2D2

ab ab1 ab

ab2aba2abb2a3b3，abnk1Dk1

ab ab 01 ab ab

00000001ab00 akabk,01ab00 akabk,Db 0001ab2 abnk

abD

aba

abak1bk

ak1bk1，k k

k2

ab a

ab由數(shù)學歸納法可知，對任何正整數(shù)n，有Dn

an1bn1.ab（2）用數(shù)學歸納法去證.n2D

1xx，2 x1當nk1時，D

x 2 12 x .k1

i j1jik11111rxr1111rxr0xxii10x xx2 2 12 1xxx xx3 3 13 1xxx xxk k 1k 10 xk2xx xk2xx2 2 1 3 3 1xk2xxk k 1kx2

xxx xk 1 2x1x2x21x3x231xkx2k x 2 1 3 1x xx xxk 1xxi j2jikxk2 xk21 2xk2k i

x.j1jik56005600010516506002251655065066506006506000560150150001511、D52

1 6 05 01 60 5 61951903011918055701235.0 1 512（1）1行至第n1列至第n（2）解一，按第n行、第n+1行展開，得aa2b2

bababbbababbaa2b22abba a2bb a2n22n2bbabbabba a2解二，按最簡一行、最后一行展開得a2b2

a2n42n4b2n.b a1 1 1 1 0 0cc

1 11Da b c 1a ba cacc

bca cca按第1行展開c 按第1行展開bc ca ab

1bc cbbcababcDa2b2c21b1c13abccaabcabcc 2 3a2b2c2abcc bc c2 3 3abcbcab ab abcc 按1行展開ca2b2bc 1 2abcabab abca3ab2a2cabc2abca2bab2bca2caabacccaababbcca.1 ab

1 0 0 1Da a2b2c2bc 3abc

cab2

cc1

ac a2b2c2cbc c3ba 3abcabbc ab2 cabcc 按1行展開a1 a2b2cb b 2abababca2abca2bab2a2bb3abcb2ccabacabbcb2bcaabcbcbbcabcab.D1a1 aD1a1 abcb a2b2c23bcca3abc2 3

1 0 0a ba a2b2c2abc1bc cb bcbccabcc按1行展開b1 b2c2abacc 2abcb2cbc2bc1 b2c2abac1 2abb2bcabc2abb2bcb2c2abaccabbcaccacabcabc.DD1故 xDa,x 2b,x 3c.DD11 D 2 D 3 Dabc114、設fxax2bxc，則abc94a2bc3

(1)(2)(3)

(1)(2)得2b10,b5，4ac7這時，4ac7

(4),(5)

(5)(4)得3a3,a1，故c3，即fxx25x3.115、D 21

2 0按第三行展開 4 0 11 4-4=1按第三行展開 1 1當=0，1 2

=5時，Ax0有非零解.習題二1（1）A+B-3 2 3+-2 0 1=-5 2 4，3 1 2 -1 3 2 2 4 4 -3 2 3-2 3 1 2--1

1 -1 2 22=4 -2 0， -3 2 3 -23A-2B33 1 2-2

0 1 -5 6 73 2=11 -3 2； -4 0（2）ZBA-4 0 （3）

3

1-15 6 12 152 3 62Y3A3B,Y=

AB

.2、A3B2C=0,即：

2 26 12 12

3 6 6x 0 u v 3 2 x6 04 x6 4 0 0 左邊=0 y38 32

0242x

y92y

242x 9

0 0 ，這時，x12,y9,u6,v4。3

1 2 34 7 32 50 96 1503（1）AB3 1 25 829 47； （2）3AB

87 141. 2 3 16 9 4、AB10 5 12,2 3 2 2 0

31 0

1 02 1 3 20

0

10 5 12

20 6ABC

2 6

2 6 .0 3 1 02

2

0 3

2 3 20 3

4 240 00 3

a a

a

xa

xa

xx5、ABCx x

x11 12

13

1

111

122

133 1a a

a x

ax a

a xx1 2

12

22 23

2

121

22

233 23 33 313 23 33

ax131

a x232

a x333

xax111

ax12

axx133 x121

a x22

a xx233 x131

a x232

a xx333 3ax2a

x2a

x22a

xx2a

xx2a

xx.111

22

333

121

1313

23236、從變量x、x、x1 2

到變量z、z、z1 2

1 2 33 2 0 6 1 1 的線性變換為1 0 10 1 1 0 3 11 1 1 5 10 20 160 556 15 104 1 144 517、各工廠的總收入和總利潤為

5

.4 20 8

56 4.5 1.5 8 12 6

41、 設

Za

a ， 由 AZB 得 1 2a

a 4 3 ， 即11 12

12 2122a a212221 22

2 1a

a 8 3a 2a

a

4 3

， 利 用

2a 4

， 利 用11

21 12

22

11

21

0,a 42a a11

2a a12

8 3

2a a 8 21 1111 21a 2a 3

，這時

4 112 22 a 1,a 3 Z .2a a 312 22

12 22

0 3、設 Ba

a ，由

ABBA

0 1a

a a

a 0 1 ，即11

12

1211

12 2122a a212221 22

0 0a a

a a21

0 0

0

，故a 0,a

，這時Ba b，其中a,b為常數(shù).21

22

11 21

21 11 22

0 a10（1）ABABA2BAABB2,故ABBA;（）AB

A2ABBAB2A22ABB2，故ABBA.1 2 3 7 8 9 5 4 311、2AB20 4 50 10 110 2 1， 0 0 6 1 2 37 8 9 7 28 64AB0 4 50 10 110 40 99. 0 0 60 0 1）根據(jù)對稱矩陣的性質：AT

ATA，根據(jù)反對稱矩陣的性質：AT

TTAT；（）根據(jù)可逆對稱矩陣的性質：A1

A1.13（1）根據(jù)對稱矩陣、反對稱矩陣的性質：ABBATAB

A

BTATATBTBAABABBA；（2）先證必要性，若AB是反對稱矩陣，則ABBA；AB為反對稱矩陣，A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB

BTBABAABB可交換.再證充分性，若ABBA，則AB為反對稱矩陣。設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則ABTBTTBABAAB，即AB1、MTNM

MTNT

MTNM.1 2 3T

1 0 0

1 4 7 3 0 0 4 72236451215（1）3BT4 5 6 30 1 0 2 5 80 3 022364512 7 8 9 0 0 2 3 6 9 0 0 6 3 （）B

1 0 0T1 2 3T B

1 0 01 4 7 10 1 02 5 82

78. 0 0 27 8 9 0 0 23 6 9 6 18 1 1 1 1 1 11 1 1 3 1 116、A1 1 1，則A2AA1 1 11 1 11 3 1。 1 1 1 1 1 11 1 1 17、用數(shù)學歸納法去證。當n2時，A2AA1 01 01 0. 1 1

2 1當nk1時，Ak1 成立1 0

k1 1 nk

Ak

A

0

0

0，1 k1

1 1

k 1 n 1故n為正整數(shù)時，Ann 1 18、用歸納法去證.當 n3 時 ， 1 0 01 0 01 0 0 AAA1 0 11 0 11 0 11 1 01 0 12 0 1 0 1 00 1 00 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 01 0 11 1 00 1 0AA2E； 0 1 0 當nk1時，Ak1Ak2A2E，等式成立；則當nk時，kk1Ak2AEAk13Ak kA AEA

1A2E；A2故n為正整數(shù)時，AnAn1A2E成立.而A100A98A2EA962A2A2

49A2E 50A2 1 0 0 1 0 0 1 0 0501 1 0490 1 050 1 0. 1 0 1 19、因ABB，而AB0，故0,B0，則B均可.20、因AA2，而A21，故A1.21 、 設 a a ， 則A111 12a a21 223 9

a

1 0，AA1 11

12 11 21

12

E 21 222 521 22

2a11

5a21

2a125a22

0 1由9a

a 5,

2；由3a

0a

3,a

1； 11 21

12 222a 5a 11 21

11 3 21

2a 5a 1 12 2212 22即 a a 15 9.A111

123 a a21 22

2 322、A3 9

，則A1

，而 A 3 9 15183，5 9，故2 5

2 5

2 3A*A A*A15 9A1 33

2 3A

0，其中

5 2 8 3 1 2

2 3A 1 A ，A 而A1 ,A1 ，0 A 12

2 1

2 5 2

1 2 5

5 8故 A1

1 2005000200500；A1 1

0 A1

0 0 2 3 2 0 0 5 8a

a1 a（2）a

0

，其中 1

，而 1

，故AA 1

A

,Aa

A1

,A1a1220 1 2 a1a1n0.0n10000a1 0 0 01000a122

2n1

n 1

a1nn1n0A1A11

A1 024 、1A E2

0 1 2310210143000 231021014300

0 1 0 231025212630 231025212630231025212630 2 1 2 3 1 1 13 1 1 11 0 2 1 0 0

1 0 2

0 0

1 0 0

1 2 5212 5212 r0 2 5 2 1 00 1 1

rr0 1 0 3 5 12

22

1 3 2rr

r5r 32 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

223

0 0 1 1 1 32 32 1 2 2

32.2 3 32.2 1 1 13 1 0 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1221322、A1 1 2 1r3 1 0 2r0 4 6 50 4 6 5A12213231 rr 1311 3 4 4 1 3 4 4 0 4 6 5 0 0 0 01 1 232r 32

1

1 0121 121 43212 3212（矩陣行階梯形）240 1

54r0 1

54A（矩陣行最簡 20 0 0 0

0 0 0 0 形）.

1 3 7 2 1 3 7 2

1 3

7 2 r 212、A2 4 3 1r0 10 17 5210 1 171021

12

r3r 3131

3 7 2

0 2 23 9

0 2 23 9 121 0 1910 12

1 0 1910

1 0 0 1449121998 12199812r3r 12

17 1

10r 17

r19r 120 1 12

10

29630 1 10

1030 1 020 4920 49r2r

r17r196103 219610

80

21030 0

8 0 0

196

0 0 11 0 0 04c

這是矩陣A的標準形D.4491 0 1 0 0,c19cc20

0 0 1 0 498244931 1 2 1 1 2

1 2 1 0 1 r 21122、A3 2 1r0 5 5250 1 1r0 1 12112 rr 3131

rr 32321 2 0 0 2 0 2 0 0 31 0 1 1 0 0r

3

30 1 1r0 1 0;這是矩陣A的標準型D.1323 rr 13230 0 1 0 0 11 0 028、在秩為r的矩陣中，有r1階子式、有r階子式，如A0 1 0的RA2，其中 有等于0的一階子式、二階子式.

0 0 0 3 1 0 2 1 1 2 1 1 1 2 2）A1 1 2 1r3 1 0 2 r0 4 6 5 1 2 2 1

rr 31311 3 4 4 1 3 4

0 4 6 51 1 2 10 4 6

RA2.31 0 0 0 0 （2）B

1103202307325802183721837230753258010320r1414

1 0 3 2 0 5 0 3 5r2121 r3r

0 2 4 2 0r32r1

4

0

2 71

3 2 0

1 0 3 2 0011032001217000011032001217000014000026r4 24 24

r3232

34

，故0 2 4

0 r3r

r26r

0 0 0 0 14 4 0 3 6 3 5RB3.

0 0 0 0 01 2 3k

1 2 3k 3、A1 2k 3r0 2k 31k，22 r 1 k 2 3

kr3 1

0

k

31k2 1 2 當k1時，A0 2 3

,RA1； 0 k 當k2時，RA2；k2RA3.31、先證必要性 若AB，即初等變換后A化為矩陣B，而初等變換不改變矩陣的秩，故RARB；再證充分性 設RARBr由矩陣的等價標準形理論知n矩陣A與B有FEr

0，即AF,BF，由等價關系的傳遞性知AB.00 00 習題三1、21

32

53

21,2,333,2,152,3,11,13,4. 2、10x21

32

53

231,4,352,1,3，則x 1,1,2 .2251 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1、BA 1 1 1 20 0 2 1rr0 1 1 0 21

2 3 rr r 1 1 1 1 3

0 2 2 0

再22

0 0 2 11 0 0 1

1 0 0 1 12r 12r

0 1 1

3

20 1 0

，這時

1

1.12

rr

1 2 2 2 30 0 2 1

2 3 0 0 1

1 2203111a221 2 0 3 203111a22 、BA 4 7 1 10r0 1 1 2 r0 2 1 2 2 3 a

r2r 3131 4 0 1 a 2 0 1 0 2 1r0 1 1 2F.1 2 3 r3

0 0 a 1 0RA3時a1可由,,1 2 3

線性表示.1 0 2 1 1 0 0 1r 這時，F(xiàn)

10 1 1 2r0 1 0 2G，F(xiàn)G為矩1 323 rr 230 0 1 0 0 0 1 0陣行最簡形，于是1

22

.3說明：這一題可用克萊姆法則求解.5（1）記A,,1 2 3

B,,1 2

，因為向量組B不能由向量組A線性表示，所以ccccccc2 13 1按第一行展開11RA3，從而A1aa11 1 a1

-a2

0,a1.1

3 1

1 a 1a 1a1,1,T； 22111111411 221111114111B

A1

10

3 3 0 0 0 21 31 rr 311 1 0 6 3 0 0 0221111002100221111002100r 230 0r0 1 1 0 0 0r 33

3 2rr 32323 0

0 0 0 1 0 0 01 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1r0 1 1 0 0 00 1 0 0 0 0，3

23 0 0 1 0 0 0 這時1

01

0,3

01

0,3

01

0.36（1）因為 1 2

2 4 63 6 90，所以,,3 1 2 3 5 8

線性相關.因為

1 2 1c23141231411

2c1

1 0 02 7 30，所以,

線性相關.1 2 3

cc3 1

4 7 3

1 2 31 2 3r

1 2 33因為 31 2

1 2 2r

10 4 5 20255，所以,,線性r21 2 3r2無關.

2 1 1

3 10 5 5（4）因為,,1 2 （5）因為,,1 2

是四維三個向量，所以,,1 2 是二維三個向量，所以,,1 2

線性無關.線性相關.7、因為 1 2a1.7

1 4 3 1 4 3r2rr2r213 12a1231 0 a8 578557ar2rr2r213 12a12313 70 11 78（1）1

1,1,1,2

0,0,0,3

，則,,1 2 3

線性相關，但1

不能由,線性2 3表示.（2）

11b1,1b11，則存在

1，使1 2 23 1 2 2 3 1 2kkkbkb

0，但,b

線性無關.11 2 2 11 2

1 2 1 2（3） 1

2,2,2

1

b2

1,2

，則只有 kk1 2

0 時，使0b0b0，但這時bb線性無關，而,

線性相關.1 2 1 2 1 2 1 29、因為,,1 2

,,線性相關，由相關定義知，有一組不全為零的數(shù) k,k,s 1 2

,k,l使得s,ks不kk kl0，假設l0，則k,,ks不

全為零，由上式得11 2 2 s s 1 2kk k

0.11 2 2 s s,s線由相關定義知，,,s線1 2

性相關，這與題設矛盾，故l0，于是ks21 2

，則可由,, ,線性表.1 l 1 l 2

1 2 s10、用反證法，設a

a aa bb s s 11 2 2b，s s則 b1 1

b2 2

bs s

0 ， 而 ,, ,1 2 s

線 性 無 關 ， 故abi

1,2, s11、先證必要性。設,,1 2

,為任意n維向量，若n

1,2,

n，則01

2

i

i1

0n

,,1 2

,線性表示。若，則n i,,1 2

,,,,n 1 2

,線性無關，故可n由,,1 2

,線性表示（9）.n可由,1 2

,n維單位向量,n 1 2

,也可由n,1

, ,n

線性表示，而向量組,,1 2

,與向量組,,n 1 2

,等價，因為,,,,線n性無關，所以,1 2

, ,n

也線性無關.12（1）因為1

0,2

0,3

21

，所以,,2 1 2

極大無關組為,1 2

，亦或,或2 3,。3 1（2）R,,1 2 313

2.1 2 1 0 1 2 1

、30 1 2 1 03A

4 1 0

0 7 r 2 2

2 0 3 1 r 1 2

4 1 1 3 6 r

0 3 4 6

2 4 0 3 4 631 0 3 1 3 0 3

3 0 7 4 21

1 01313

1 2 13130 1

0 1 2 131 0 113

01r 0

1

r 2

3

r

3

3 0 3

4 6

r7r

0 0

9 0 0 1 30 7

4 2

3 24 20 0

53553

0 0

535531 2 1313

0 1

132 13

0 0 1r5r

0

1r2r

0 1

1

r1

0

0 24

3

B

2

3

3 F0 0 1

3 0 0

3 r1r

0 1 300000 00000 0 0，

23300

0 0

0 0B為矩陣AF為矩陣A（1）由矩陣B可見，,,1 2 3

線性無關，這是所求的極大無關組；（2）R,1 2

,,3

3；FFf,f1 2

,f,f3

f4

f2f1

3f3

，即4

1

3。314（1）兩個向量,1 3

不成比例，故,1 3

線性無關；

1

0 13

2 11 0r2121

0120121012303r010123 1 2

4 2 1

5 r2r

0 1 0 1

0 1 0 1r41 3r41 4 2 0

6 0 2 4 2

1 2 11 0 1 2 1 0

2

0 0 140 1 0 14

0

0 1 0

0 13232

r33

r 1313rr

0 0 0 0

0 0 1 1

0 0 1 14 2 再32

0 0 2 2 0 0

0 0 0 0 0包含,1 3

的極大無關組為,,.1 2 3（3）4

1

.315、先證向量組B 等價.顯然向量組A可由向量組B 線性表示.又 m m12 m 12 ，即m 1 2 m1m12 ，m1從而 1 1 m1 1 2 m 31 1 2

m1 1

2

2m m1 1 2 m m這說明向量組B可由向量組A線性表示，故向量組A,B等價.再證秩相等。則由向量組B等價，且個數(shù)相同（均為m 故, r, r,, 。m 1 2 m1 216、由,1 2

,,1

作為列構成矩陣A. 3542641532 354264153A,,,0

r

2 6 4 r0 2 6 41 2 1 2

1 3

3 1 1

再-r1

2 3 5 4 0 5 15 10 1 1 5 3 1 0 2 1r

，故21220 1 3 221

1 3 2

，則332r 0 1 3 2332

rr

0 0 0 0

1 1 2 2 1 25 21

3,2

21

，故兩個向量組可以互相線性表示，因而向量組等價.2223252382222122322222

3, ； 2338（2） 233818（1）2446480；（2），即.219、因為,1 2

0，所以,1 2

已成正交，故b1

,b1

，則2, ,

1 1 1b

1 3 2 3

101012，3 3 ,

,2

2 2 1 1 2

0

1 11 1 111 1be1b

1, eb 0, eb 12.32b23b6 111 32b23b6 111

3 1 3 1 1 1

,

0 1 2 20、取b

0，則b

1 2

1

10

1 ，1 1

2 2 ,1

2 1

1 1

1 1 2121 1 312

1,b ,b

5 2

b

3

3 2b

0

0

0 1，3 3 b,b

b,b

2 4 21 31 1

2 2 63b.11 1 1 63b.11 1 1b再單位化：e1b

0, eb

2, eb

1 3 322b11 22b11

13 13 221（1）A1

1231；（2）B是正交矩陣，因第i行1,2,3元素平方之和等于 1，第i行、第j行1,2,3;j1,2,3;ijM為對稱矩陣：MTE2xTTET

TT

E2xxTM再證M為正交矩陣：T

T

T

T T TM MM2 E2xx

E2xx

EE2xx

2xx E2xxE2xxT

2xxT

4xxT

E4xxT

4xxTE23、因A,B都是n階正交矩陣，故ATAE,BTBE；而ABTABTTABTTABTEBBTBE，故,B習題四 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 0 ）A2 1 1 1r0 1 3 1r0 1 3 1 2 1 12 31222120101301312221201013014 0 0 3 4 0 0 3 4

4 1 1 0 0 3r 4 4330

r0 1 01313

3 ，故

x,

3x,x

x，3r3r3 2 3

1 3 4

4 3 3 403 0 0 1 4 03 取x 3，則x4

4,x2

9,x3

4，基礎解系為4,9,4,3T.（ 2 ） 、1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 213212A3 6 1 3r0 0 4 0rr0 0 1 0r0 0 1 0213212rr r5r

5 10 1 5

3 1 0 0 4 0

再24

0 0 0 0 0 0 0 0x2xx1 2

x 10

x -21，得同解方程組

x0

，取2 ，得

1 ，故基礎解系為34-2,1,0,0T，341

31,0,0,1T.

x 01

00）通解為xkk4,9,4,3T（k為任意實數(shù).1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 ）A1 1 2 3r0 2 7 4r0 2 7 4r3 1 8 1r

23r3

0 2 7 4

32r2r

0 0 0 0rr1 4 2 4

1 3 9

0 4 14

0 0 0 01 r 0 1

57

12

1 0

132327 222

2 r

， 得 同 解 方 程 組 13 2 0 0

0 0 0 0 0000 0

0 0 0 0 x3xx

x 10 x

-3

11 2 3 4 ， 取

3 ， ， 則

1 2，

， 基 礎 解 系 為 7

01 x

7

22x x2x2

4 2 42 3437 T

2-1

, ,1,0 22

1,2,0,1T

， 通 解 為xkkkxxxx

T.11 22 1 2 1 2 3 42xx

2x03

12

30，第一個方程與第二個方程對調，并1乘第一個方程，得：1 x

x2

3x3x01 31 0 2 1 0 2

5r 11D 5

3 r

r0

572 1 2 3 2 10 1 224223732673230,當1時，此方程組有非零解.01111011111n111111101111n101111110111cccn1101111110111 2 nn111011111101n111101111110n111110000001000001010001001001000101000011111110n 1rr n 2rrn

n1n1n100000110n1n10000011000010100010001010000111 00 10 00 00 00 1n2n2行展開-n-1 00 10 00 00 00 1n2n2

10Ax0無非零解.R5（1）Ax0總有解（因RAR

Ax0Ax0有非零解，則存在基礎解系；基礎解系不唯一，基礎解系S中含有SnkAnr個解向量.（2）若已知Ax0的一個基礎解系為,1 2

, ，則Ax0的通解形式為nrxkk11 2

k nr

n

，其中k,k, ,k1 2 nr

為任意實數(shù).（3）若,,是Ax0的基礎解系，則,,也是Ax0的基礎解系，1 2 3 1 2 2 3 3 1k1 3

k1

1

k3

0，即3

k21

k3 3

k1

0，由于

,,1 2

線性無關，故kk1 2

0,kk2

0,kk3

0，從而得kk1 2

k0.3（4）Ax0有非零解，且mn，則A01112a a11126、先證必要性.若三個向量共面，由共面的充要條件為a a21 a a31

a13a 0，知齊次線1323a33性方程有非零解.再證充分性.若齊次線性方程組有非零解，則A07、設,1 2

, ,r

為Ax0的基礎解系，由兩個等價的線性無關向量組所含向量個數(shù)相等，故等價的線性無關向量組可以為,,1 2

,，則r

1,2, r可由

j1,2, r線性表j示，從而i

也是Ax0的解.又,1 2

, 線性無關，Ax0的任一解可由,r 1

, ,r

線性表示，從而可由,1

, ,r

線性表示，這就說明,1 2

, ,r

也是一個基礎解系.,nr為8、設,nr為1 2

Ax0,1 2

,

nr

為Ax0的線性無關解，由第7題可知，只要證明這兩個解向量等價即可.因,1 2

, ,

nr

為基礎解系，故i

1,2, nr可由,1 2

, ,

nr

線性表示，即 aa a 1 11

12

1,nr

nra a a ,n,nr

nr,11 nr,22 nr,nr

nr因為,1 2

,

nr

線性無關，所以

a11anr,1

a1,nranr,nr

0，則i

1,2, 可由,1

,

nr

線性表示，因而這兩個向量組等價.

x ax12x ax122 1nnx a xm22xmnn22exnn9 、 利 用 原 方 程 組 與 方 程 組

111a xa

同 解 ，0m11 exe 011aa1naa1111aa1naa1111a,Ra1n的秩m1amnam1eemn1n1 2

,e可由na,a,1 11 12

,a 1n

, ,a ,m m1 m2

a ,n,n是10、記Bf,f1 2

, ,fn

，由AB0Af,f1 2

, ,fn

0Af0，故fi

i1,2,Ax0fi

i1,2,

nAx0Af0Af,f1 2

, ,fn

0AB0.x

2x2x 1

2 3 4211、將通解改寫為 x2

3k4k1 2

3x4x3

，由此可知，所求方程組有兩個自由未x k x 43 1 3 442x k42知數(shù)

xx2x

2x

x2x

2x 0x,x

，且對應的齊次線性方程組為

3 4 ，即1 3

4 ，所給表達3 4 x 3x4x x3x4x0式為其通解.

2 3 4 2 3 412、因為n4,nRA2RA2A施以初等行變換，化為行階梯形矩陣，1 2 2 2

1 2 2 2

1

2 2 31331Ar0 1 t tr0 1 t t2r0 1 t t 31331 0 t2 1 1 0 2t2 2 0 0 t 1 0 222r0 1 t t

，要使RA2，則必有t1，此時與Ax0同解方程組1 2 0 0 t t 為 x0為x 1

x，3，

10取 , 取

，則有

x 001 ,

，故基礎解系為4xx42 3 4

x 01

1120,1,1,0T,21

0,1,0,1T13、因0，且A中某元素akl

的代數(shù)余子式Akl

0，故A存在非零的1階子式，從而可知 RAn1 ，則 Ax0 基礎解系中所含解向量的個數(shù) s 為snRAn11.1 31123112 20132012 31 31123112 20132012 3131 63133 4120412 1 2 3 414

2x2xx31 2 4

，即D

53,

106,2x3xx3x61 2 3 43x1

4x2

x2x03 41 2 1 1 1 3 2 1 1 3 1 2226133226133236342316301234023410

53,

2 2 3 1

212,

2 2 0 3

159.1則xD2,xD 1,xD 4,xD 3.12 3 41 D 2 D 3 D 4 D（ 2 ）x x 2 7 3 1 6

1 1 7 3 2 6A b3 5 2 2 5c1 7 3 2 6r0 9 4 1 8 1 4 2 1

5 2 3 4

r7r 9 4 1 7 2

7 4 1 9

2 0 45 20 5 403 1 1 7

2 6 1

19

11 2 9 9 r

0 1

4919897r49198949193 2 9 1 2 4919rr再29 0 0

0 0 0 0

0 0 x1x11x2同解方程組為 4 9 3 9 1 9，9x4x9

1x82 3 91

TTTT則xxx

T11,0,1,1Tk1,1,4,0

k0,8,0,2 （其中k

為任意常數(shù)1 2 3 4

9 9 1 9

2 9 9 1 21221221112

0 1 22 12 1、xA b1 r0 1 2 3 r r23 r1 1 3 1 1 2 2 0 0 22222

0 0

11 r0 1 2 3

時0 1 2 3121 1 2

r21

1

12

1 1 2 2 1 1 2

1 1 0 2

2 1 0 1 2 1 0

11131 r2r 12 0 1 2 3r0 1 0 1r131 r2r 12

112 30 0 1

0 0 1

0 0 1 1 1

1

1 當1,時，方程組有唯一解xx1 2

x 1 .3 1

1 1 2 1 0 0 0 0當 1 時

A

1 1 2

r

0 0 3

， 因 為 12 再rr 1 1 2 2 1 1 2 223RAR

2 1 2 1 0 0 0 0 當2時，A

A b1 2 2 1 rr0 3 6 311 r2r3 1 1

4 2

23 1

4 2 0001211420 000121142r

x2x12

30

0 1 2 1，即有同解方程組

3 ，解為32

x2x11 1 0 2 1 2 3x,x,x

Tk,

,,0T,其中k1 2 3ccccccc2 13 116、Da b ca2 b2 c2

a baa2 b2a2

ca 按第一行展開aac2a2

1 1ba caacacbbbcca0RAR317、

A b

2 1 1 1 1 1 2 1 4 2 1 2 1 4 2 r2 1 1 1 2 1 7 4 11 k 1 2 1 4 2 1 2 1 4 2 r

5 3 7

0 5 3 7

，當k5時，2 1

3 2 310 5 3 7 k310 5 3 7 k2 0 0 0 0 k5

Axb有解.18 、 解 一 ，cc2 32k1Dk11cc2 32k1Dk11455k01k1405k1,k4時，方程組有唯一解.5

4 5

k15k4k15k4，當 2xxx13當k1時，原方程組為 x1 x234x1 2

x2 ；35x5x11 2 32 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 AA b1 1 1 2 r2 1 1 1 r0 3 3 1 2 4 5 5 4 5 5 4 55 r4r 0 99210 01

2 1 13113191 1 1r

x1 112230 1 1 1r0 1 1 1，同解方程組為12

1k，320 0 0 0 0 0 xk再r320 0 0 0 0 0 xk即x x1 2

x3

k0 1

31 1 0T（k為任意常數(shù).2x4xx13 1 5 2 3

10x

4x

5x5當k4時，原方程組為4xx

x2，即4x

15x

25x

10，這時第二個第三5 51 2 3

1 2 34x5x5x

4x5x5x1 1 2

1 2 3個方程左邊相同，而右邊不等，故方程組無解.解二，對原方程組的增廣矩陣施初等行變換，2 k 1 1 2 k

1 1

2 k 1 1 AA bk 1 1 2 rk2 k1 0 3 r

k2 k1 0 3 r21

32 5r 3131

再r 334 5 5 1

6 5

0 6 5k

0 0 21k4k1,k4k1時，5 5原方程組有無窮多組解，其全部解為 x1

1,x2

1k,x3

k（其中k為任意常數(shù)（或x x1 2

x3

k0 1

1 1 0T（k為任意常數(shù).19（1）RARrmn，則AxbRARrmn，則AxbAx0AxbRAR二者不20x

x

x

，得線性方程組為11 2 2 3

1 1 1

0 1 1

1 x 2 3 1 1 13

21 1 1其系數(shù)行列式D

1 1 23，由此可見：1 1 1（1）當0,時，則方程組有唯一解；故可由,,1 2 3

唯一的線性表示；（2）0時，則方程組有無窮多解，故可由,,1 2 3

線性表示，這時0,0,0T, 1,1,T；1 2 3（3）當3時，則方程組的增廣矩陣2 1 1 0 0 3 3 18 0 0 0 6 AA b1 2 1 3r0 3 3 12 r0 1 3

12 23 rr 231 1 2 9 1 1 2 9 1 2 2 9 RAR，故方程組無解；從而不能由,,1 2 3

線性表示.21、證一，用非齊次方程組解的定義去證：因 為kkAkkAkAttkkbkb kbk kb1 1 2 2t t 12t1 2t11 22，所以xkk k

是Axb的解.11 22 tt證二，用非齊次方程組解的結構定理去證：因為,,

是Axb的解，則,,

Ax0的解，1 2 t

1 t 2

tt所以x1

k1

kt 2

t

t

t

也是Axb的解，即txkk11 2

k kktt1 2

k t

kk11 2

k kttt

是Axb的解.

1 1

0 0

1 1

0 0 a 0 1 1 0 a1 0

11 0 a22、 AA b

2 2 0 0 1

1 a

41 0

1 1 a 1

30 1 a4

0 1

3 1 aa4 11 0

0 0 a