三角形的五心整理

中英文學(xué)校自主招生平面幾何講義（三角形的五心）一、三角形的重心1、重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。\o"查看圖片"證明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中點(diǎn)。EC、FB交于G。過(guò)E作EH平行BF。AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF推出EG=1/2CG2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。\o"查看圖片"證明二證明方法：在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點(diǎn)O是該三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據(jù)重心性質(zhì)知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過(guò)O，A分別作a邊上高h(yuǎn)1，h可知Oh1=1/3Ah則，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可證S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離平方的和最小。(等邊三角形）證明方法：設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一點(diǎn)為（x，y）則該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離平方和為：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2顯然當(dāng)x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標(biāo)）時(shí)上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2最終得出結(jié)論。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。6。在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），則M點(diǎn)為△ABC的重心，反之也成立。7.設(shè)△ABC重心為G點(diǎn)，所在平面有一點(diǎn)O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）8.相同高三角形面積比為底的比，相同底三角形面積比為高的比。證明方法：\o"查看圖片"∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD,又∵h(yuǎn)△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.同理，∵E為AC中點(diǎn)，∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,即S△BOF=S△AOF?！郆F=AF，∴CF為AB邊上的中線，即三角形的三條中線相交于一點(diǎn)。重心順口溜三條中線必相交，交點(diǎn)命名為“重心”重心分割中線段，線段之比聽分曉；長(zhǎng)短之比二比一。二、三角形的外心定義三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心．三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點(diǎn),三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就在這個(gè)外接圓上三條中垂線共點(diǎn)證明.∵l、m分別為線段AB、AC的中垂線\o"查看圖片"∴AF=BF=CF∴BC中垂線必過(guò)點(diǎn)F三角形外心的性質(zhì)設(shè)⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．性質(zhì)1：（1）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；\o"查看圖片"（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合；（3）鈍角三角形的外心在三角形外.性質(zhì)2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).性質(zhì)3：∠GAC+∠B=90°證明：如圖所示延長(zhǎng)AG與圓交與P∵A、C、B、P四點(diǎn)共圓∴∠P=∠B∵∠P+∠GAC=90°∴∠GAC+∠B=90°性質(zhì)4：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件是：（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性質(zhì)5：三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點(diǎn)的距離相等。性質(zhì)6：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件(向量GA+向量GB)·向量AB=(向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.三角形外心的做法分別作三角形兩邊的中垂線交點(diǎn)計(jì)作O\o"查看圖片"以O(shè)為圓心OA為半徑畫圓圓O即為所求外心的求法設(shè)三角形三邊及其對(duì)角分別為a、b、c，∠A、∠B、∠C正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）r=abc/（4S△ABC）三、三角形內(nèi)心定義在三角形中,三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是這個(gè)三角形內(nèi)切圓的圓心，而三角形內(nèi)切圓的圓心就叫做三角形的內(nèi)心,(該點(diǎn)到三邊距離相等)。三條角分線共點(diǎn)證明\o"查看圖片"證明：如圖所示作∠B、∠C角分線與AC、AB交與F、DCD與BF交與I連接AI交BC于E由塞瓦定理有（AD/BD）*（BE/CE）*（CF/AF）=1∵BF、CD為角分線∴由角分線定理有AD/BD=AC/BCCF/AF=BC/AB∴BE/CE=AB/AC由角平分線定理的逆定理有AE為∠A的角分線證畢三角形內(nèi)心的性質(zhì)設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為☉I(r)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r．2、∠BIC=90°+∠A/2．3、如圖在RT△ABC中，∠A=90°△內(nèi)切圓切BC于D則S△ABC=BD*CD\o"查看圖片"4、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr．7、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)心的充要條件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．8、雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。9、△ABC中，內(nèi)切圓分別與AB，BC，CA相切于P，Q，R，則AP=AR=（b+c-a）/2，BP=BQ=(a+c-b)/2,CR=CQ=(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。10、（內(nèi)角平分線定理）△ABC中，0為內(nèi)心，∠A、∠B、∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，則BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.三角形內(nèi)心的做法做出三角形的外接圓○O\o"查看圖片"過(guò)O分別作AC、BC（任意兩邊）垂線與圓O交于E、F連接AF、BE交于I，點(diǎn)I即為內(nèi)心三角形內(nèi)接圓半徑1、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．2、在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c3任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC（C為周長(zhǎng)）四、三角形垂心三角形垂心的性質(zhì)設(shè)⊿ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上。4、△ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一—垂心組)。6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過(guò)H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP·tanB+\o"查看圖片"三角形的垂心與外心的位置關(guān)系A(chǔ)C/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。9、設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10、銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。11、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。12、西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。13、設(shè)銳角⊿ABC內(nèi)有一點(diǎn)T，那么T是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。五、三角形旁心1、旁切圓的圓心叫做三角形的旁心。\o"查看圖片"三角形五心2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。三角形旁心的性質(zhì)設(shè)⊿ABC在∠A內(nèi)的旁切圓☉I1(r1)與AB的延長(zhǎng)線切于點(diǎn)P1。內(nèi)切圓半徑為r。1、三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2、旁心到三角形三邊的距離相等。3、三角形有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心。旁心一定在三角形外。4、∠BI1C=90°-∠A/2.5、AP1=r1·cot(A/2)=(a+b+c)/2.6、∠AI1B=∠C/2.7、S⊿ABC=r1(b+c-a)/2.8、r1=rp(p-a).9、r1=(p-b)(p-c)/r.10、1/r1+1/r2+1/r3=1/r.11、r1=r/(tanB/2)(tanC/2).12、直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長(zhǎng)的一半。中英文學(xué)校自主招生平面幾何講義（四點(diǎn)共圓）一、證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對(duì)的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．方法4把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．（割線定理的逆定理）方法5證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問(wèn)題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．判定與性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為180°,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長(zhǎng)AB和DC交至E，過(guò)點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所對(duì)的圓周角相等）。角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對(duì)角）△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）\o"查看圖片"四點(diǎn)共圓的圖片EB*EA=EC*ED（割線定理）EF*EF=EB*EA=EC*ED（切割線定理）（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理方法6同斜邊的兩個(gè)RT三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，其斜邊為圓的直徑編輯本段四點(diǎn)共圓的定理二、四點(diǎn)共圓的判定定理方法1把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（可以說(shuō)成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）方法2把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角