2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求的。1．（5分）設(shè)向量，，且，則x的值是（）A． B． C． D．2．（5分）如圖所示，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量＝（）A． B． C． D．3．（5分）在△ABC中，已知a＝40，b＝20，A＝45°，則角B等于（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°4．（5分）某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽取60名學(xué)生的成績（均為整數(shù)），其成績的頻率分布直方圖如圖所示，由此估計(jì)此次考試成績的中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．73.3，75，72 B．73.3，80，73 C．70，70，76 D．70，75，755．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A． B． C． D．6．（5分）設(shè)，是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋里任取3個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少2個(gè)白球，都是紅球 B．至少1個(gè)白球，至少1個(gè)紅球 C．至少2個(gè)白球，至多1個(gè)白球 D．恰好1個(gè)白球，恰好2個(gè)紅球8．（5分）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，下列結(jié)論中正確的是（）（1）a＝8，b＝16，A＝30°，有一個(gè)解．（2）b＝18，c＝20，B＝60°，有兩個(gè)解．（3）a＝5，c＝2，A＝90°，無解．（4）a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．A．（1）（2） B．（2）（4） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4）9．（5分）銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c且（acosB+bcosA）＝2csinB，a＝2．則邊長b的取值范圍是（）A． B． C．（，2） D．10．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，若20a+15b+12c＝，則△ABC最小角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。11．（5分）某校共有教師300人，其中高級(jí)教師90人，中級(jí)教師150人，初級(jí)教師60人，為了了解教師的健康情況，抽取一個(gè)容量為40的樣本，則用分層抽樣的方法抽取高級(jí)教師、中級(jí)教師的人數(shù)分別為，初級(jí)教師的人數(shù)為．12．（5分）對(duì)某高校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)得次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)做出了頻數(shù)與頻率得統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30）20.05合計(jì)M1（1）M＝，P＝，a＝．（2）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，則至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．13．（5分）若向量，滿足||＝1，||＝2，|﹣|＝2，則?＝．14．（5分）若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能是．（只需寫出一個(gè)可能的值）15．（5分）已知點(diǎn)A（0，﹣1），B（3，0），C（1，2），平面區(qū)域P是由所有滿足＝λ+μ（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的點(diǎn)M組成的區(qū)域，若區(qū)域P的面積為16，則m+n的最小值為．16．（5分）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長為．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分17．（14分）已知向量＝，＝（0，﹣1），＝．（Ⅰ）若⊥，求k的值；（Ⅱ）當(dāng)k＝1時(shí)，﹣λ與共線，求λ的值；（Ⅲ）若||＝||，且與的夾角為150°，求|+2|．18．（15分）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中a的值；（Ⅱ）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說明理由．19．（12分）已知△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③a＝7；④b＝3．（Ⅰ）請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由；（Ⅱ）求△ABC的面積．20．（15分）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級(jí)如表：空氣質(zhì)量指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個(gè)城市12月份監(jiān)測(cè)的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6天的數(shù)據(jù)，記錄如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估計(jì)甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（Ⅱ）分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（Ⅲ）記甲城市這6天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為s02．從甲城市12月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個(gè)記為a，若a＝99，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s12；若a＝169，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s22，試比較s02，s12，s22的大?。ńY(jié)論不要求證明）21．（14分）如圖，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱，測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知S的身高約為米（將眼睛距地面的距離SA按米處理）．（1）求攝影者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB；（2）立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點(diǎn)O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影者觀察彩桿MN的視角∠MSN（設(shè)為θ）是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出∠MSN取最大值時(shí)cosθ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2020-2021學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求的。1．（5分）設(shè)向量，，且，則x的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式可得?＝2（x+1）+x＝3x+2＝0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，若，則?＝2（x+1）+x＝3x+2＝0，解可得：x＝﹣；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及向量垂直的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）如圖所示，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則知，，由D是中點(diǎn)和相反向量的定義，對(duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【解答】解：由三角形法則和D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)得，，∴．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量加法的三角形法則，結(jié)合圖形和題意找出向量間的聯(lián)系，再進(jìn)行化簡．3．（5分）在△ABC中，已知a＝40，b＝20，A＝45°，則角B等于（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°【分析】由正弦定理可得sinB＝＝，由于a＝40＞b＝20，可得范圍0＜B＜45°，從而可求B的值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB＝＝＝．由于a＝40＞b＝20，可得0＜B＜45°，可得：B＝30°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，大邊對(duì)大角等知識(shí)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．4．（5分）某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽取60名學(xué)生的成績（均為整數(shù)），其成績的頻率分布直方圖如圖所示，由此估計(jì)此次考試成績的中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．73.3，75，72 B．73.3，80，73 C．70，70，76 D．70，75，75【分析】由頻率分布直方圖，求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)．【解答】解：由頻率分布直方圖知，小于70的有24人，大于80的有18人，則在[70，80]之間18人，所以中位數(shù)為70+≈73.3；眾數(shù)就是分布圖里最高的小矩形底邊的中點(diǎn)，即[70，80]的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，是75；平均數(shù)為45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05＝72．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．5．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a，側(cè)面三角形底邊上的高為h′，則依題意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′?4（）2﹣2（）﹣1＝0?＝（負(fù)值舍去）；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．6．（5分）設(shè)，是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若“|+|＝||+||”，則平方得||2+2?+||2＝||2+||2+2||?||，即?＝||?||，即?＝||||cos＜，＞＝||?||，則cos＜，＞＝1，即＜，＞＝0，即，同向共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，反之當(dāng)＜，＞＝π時(shí)，存在λ＜0，滿足＝λ，但“|+|＝||+||”不成立，即“存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．7．（5分）從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋里任取3個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少2個(gè)白球，都是紅球 B．至少1個(gè)白球，至少1個(gè)紅球 C．至少2個(gè)白球，至多1個(gè)白球 D．恰好1個(gè)白球，恰好2個(gè)紅球【分析】分析出從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球的所有不同情況，然后利用互斥事件和對(duì)立事件的概念逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)即可得到答案．【解答】解：從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，取球情況有：3個(gè)球都是紅球；3個(gè)球中1個(gè)紅球2個(gè)白球；3個(gè)球中2個(gè)紅球1個(gè)白球；3個(gè)球都是白球．選項(xiàng)A中“至少2個(gè)白球“，與”都是紅球“互斥而不對(duì)立，選項(xiàng)B中“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)紅球”的交事件是“有1白球2個(gè)紅球”或“有2白球1個(gè)紅球”；選項(xiàng)C中“至少有2個(gè)白球”與“至多1個(gè)白球”是對(duì)立事件；選項(xiàng)D中“恰有一個(gè)白球”和“恰有兩個(gè)紅球”既不互斥也不對(duì)立．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的概念，對(duì)于兩個(gè)事件而言，互斥不一定對(duì)立，對(duì)立必互斥，是基礎(chǔ)的概念題．8．（5分）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，下列結(jié)論中正確的是（）（1）a＝8，b＝16，A＝30°，有一個(gè)解．（2）b＝18，c＝20，B＝60°，有兩個(gè)解．（3）a＝5，c＝2，A＝90°，無解．（4）a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．A．（1）（2） B．（2）（4） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4）【分析】由題意利用所給的條件逐一考查所給的三角形解的個(gè)數(shù)是否正確即可．【解答】解：對(duì)（1），若a＝8，b＝16，A＝30°，由正弦定理可得，解得sinB＝1，則，此時(shí)該三角形有一解，故（1）正確；對(duì)（2），若b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理可得，解得，根據(jù)大邊對(duì)大角可得C＞B，則C可以為銳角，也可以為鈍角，故三角形有2解，故（2）正確；對(duì)（3），若a＝5，C＝2，A＝90°，由正弦定理可得，解得，則三角形只有一解，故（3）錯(cuò)誤；對(duì)（4）項(xiàng)，若a＝30，b＝25，A＝150°，由正弦定理可得，解得，由A＝150°則B為銳角，可得三角形有唯一解，故（4）正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，三角形解的個(gè)數(shù)的確定，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c且（acosB+bcosA）＝2csinB，a＝2．則邊長b的取值范圍是（）A． B． C．（，2） D．【分析】由已知結(jié)合正弦定理化簡原式可求sinB，進(jìn)而可求B＝，根據(jù)正弦定理結(jié)合A的范圍，即可求出【解答】解：∵（acosB+bcosA）＝2csinB，∴（sinAcosB+sinBcosA）＝2sinCsinB，∴sin（A+B）＝2sinCsinB，∴sinC＝2sinCsinB，∴sinB＝，∴B＝或B＝∵△ABC為銳角三角形，∴B＝，∴＜A＜，即＜sinA＜1由正弦定理可得＝，則b＝＝，此時(shí)＜b＜2綜上所述b的取值范圍為（，2），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔試題10．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，若20a+15b+12c＝，則△ABC最小角的正弦值為（）A． B． C． D．【分析】依題意，可得（20a﹣15b）+（12c﹣20a）＝，繼而得b＝a，c＝a，a最小，角A最小，利用余弦定理可得cosA＝＝＝，從而可得sinA的值．【解答】解：∵20a+15b+12c＝，∴20a（﹣）+15b+12c＝（20a﹣15b）+（12c﹣20a）＝，∵向量與向量為不共線向量，∴20a﹣15b＝0且12c﹣20a＝0，∴b＝a，c＝a，a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，∴a最小，∴cosA＝＝＝．∴sinA＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理與余定理的綜合應(yīng)用，求得b＝a，c＝a，是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。11．（5分）某校共有教師300人，其中高級(jí)教師90人，中級(jí)教師150人，初級(jí)教師60人，為了了解教師的健康情況，抽取一個(gè)容量為40的樣本，則用分層抽樣的方法抽取高級(jí)教師、中級(jí)教師的人數(shù)分別為12，20，初級(jí)教師的人數(shù)為8．【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)列出式子，由此能求出結(jié)果．【解答】解：某校共有教師300人，其中高級(jí)教師90人，中級(jí)教師150人，初級(jí)教師60人，為了了解教師的健康情況，抽取一個(gè)容量為40的樣本，則用分層抽樣的方法抽取高級(jí)教師：40×＝12人，抽取中級(jí)教師：40×＝20人，初級(jí)教師抽?。?0×＝8人．故答案為：12，20；8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽取的人數(shù)的求法，考查分層抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．（5分）對(duì)某高校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)得次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)做出了頻數(shù)與頻率得統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30）20.05合計(jì)M1（1）M＝40，P＝0.075，a＝0.125．（2）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，則至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．【分析】（1）由頻數(shù)，頻率和樣本容量的關(guān)系，可求M＝40，故m值可求，進(jìn)而求p．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解．【解答】解：（1）∵分組[10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25，∴，∵頻數(shù)之和為40，∴10+25+m+2＝40，∴m＝3，∴p＝，∵a是對(duì)應(yīng)分組[15，20）的頻率與組距的商，∴．（2）這個(gè)樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不低于20次的學(xué)生共有3+2＝5人，設(shè)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的人為{a，b，c}，在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人為{e，d}，則任選2人有（a，e），（a，d），（b，e），（b，d），（c，e），（c，d），（a，b），（a，c），（b，c），（e，d），共10種，而兩人都在[25，30）內(nèi)共有（e，d）共1種，故至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率為1﹣．故答案為：（1）40，0.075，0.125．（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）若向量，滿足||＝1，||＝2，|﹣|＝2，則?＝．【分析】通過觀察條件，容易看出，需對(duì)等式兩邊平方，便能出現(xiàn)，并能求出它的值．【解答】解：由條件得：＝；∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查向量模的平方等于向量的平方，向量數(shù)量積的運(yùn)算．14．（5分）若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能是．（只需寫出一個(gè)可能的值）【分析】由題意畫出一種滿足條件的圖形，求解表面積即可得答案．【解答】解：由四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，如圖，可取三條側(cè)棱長均為2，底面邊長BC＝BD＝2，CD＝1．其表面積為＝．故其表面積的一個(gè)可能值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐表面積的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．15．（5分）已知點(diǎn)A（0，﹣1），B（3，0），C（1，2），平面區(qū)域P是由所有滿足＝λ+μ（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的點(diǎn)M組成的區(qū)域，若區(qū)域P的面積為16，則m+n的最小值為4+2．【分析】設(shè)M（x，y），作出平面區(qū)域，根據(jù)面積得出關(guān)于m，n的等式，利用基本不等式得出最值．【解答】解：設(shè)M（x，y），＝（3，1），＝（1，3）．||＝||＝．cos＜＞＝＝，∴sin＜＞＝．令，，以AM，AN為鄰邊作平行四邊形AMEN，令，，以AP，AQ為鄰邊作平行四邊形APGQ，∵＝λ+μ（2＜λ≤m，2＜μ≤n），∴符合條件的M組成的區(qū)域是平行四邊形EFGH，如圖所示．∴（m﹣2）?（n﹣2）×＝16．即（m﹣2）（n﹣2）＝2．∵（m﹣2）（n﹣2）≤，∴2≤，解得m+n≥4+2．故答案為：4+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的幾何意義，基本不等式，根據(jù)區(qū)域面積得出關(guān)于m，n的關(guān)系是解題關(guān)鍵．16．（5分）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有26個(gè)面，其棱長為﹣1．【分析】中間層是一個(gè)正八棱柱，有8個(gè)側(cè)面，上層是有8+1個(gè)面，下層也有8+1個(gè)面，故共有26個(gè)面；半正多面體的棱長為中間層正八棱柱的棱長加上兩個(gè)棱長的cos45°＝倍．【解答】解：由題意知，半正多面體的中間層是一個(gè)正八棱柱，共有8+8+8+2＝26個(gè)面，且正八棱柱的每個(gè)側(cè)面都是正方形，對(duì)應(yīng)表面的三角形是正三角形，故所有棱長都相等，由半正多面體的棱長是中間層正八棱柱的棱長加上兩個(gè)棱長的cos45°倍，設(shè)其棱長為x，則x+x+x＝1，解得x＝﹣1．故答案為：26，﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球內(nèi)接多面體，屬中檔題．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分17．（14分）已知向量＝，＝（0，﹣1），＝．（Ⅰ）若⊥，求k的值；（Ⅱ）當(dāng)k＝1時(shí)，﹣λ與共線，求λ的值；（Ⅲ）若||＝||，且與的夾角為150°，求|+2|．【分析】（Ⅰ）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；（Ⅱ）利用向量共線的充要條件即可得出；（Ⅲ）利用數(shù)量積、向量模的計(jì)算公式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，解得k＝﹣1；（Ⅱ）∵k＝1，∴，又，∴＝．∵與共線，∴，解得λ＝2；（Ⅲ）∵，∴．又與的夾角為150°，＝2．∴＝＝﹣3，＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量共線的充要條件、向量模的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．18．（15分）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求直方圖中a的值；（Ⅱ）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說明理由．【分析】（Ⅰ）根據(jù)各組的累積頻率為1，構(gòu)造方程，可得a值；（Ⅱ）由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率，進(jìn)而可估算出月均用水量不低于3噸的人數(shù)；（Ⅲ）由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率及月均用水量低于3噸的頻率，進(jìn)而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）＝1，∴a＝0.3；（Ⅱ）由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為：0.5×（0.12+0.08+0.04）＝0.12，由30×0.12＝3.6得：全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)約為3.6萬；（Ⅲ）由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率為：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）＝0.73＜85%；月均用水量低于3噸的頻率為：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）＝0.88＞85%；則x＝2.5+0.5×＝2.9噸【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）已知△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③a＝7；④b＝3．（Ⅰ）請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由；（Ⅱ）求△ABC的面積．【分析】（Ⅰ）判斷三角形的滿足的條件，推出結(jié)果即可；（Ⅱ）利用余弦定理求出c，利用面積公式求解△ABC的面積．【解答】（Ⅰ）解：△ABC同時(shí)滿足①，③，④．理由如下：若△ABC同時(shí)滿足①，②．因?yàn)?，且B∈（0，π），所以．所以A+B＞π，矛盾．所以△ABC只能同時(shí)滿足③，④．因?yàn)閍＞b，所以A＞B，故△ABC不滿足②．故△ABC滿足①，③，④．（Ⅱ）解：因?yàn)閍2＝b2+c2﹣2bccosA，所以．解得c＝8，或c＝﹣5（舍）．所以△ABC的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．20．（15分）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級(jí)如表：空氣質(zhì)量指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個(gè)城市12月份監(jiān)測(cè)的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6天的數(shù)據(jù)，記錄如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估計(jì)甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（Ⅱ）分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（Ⅲ）記甲城市這6天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為s02．從甲城市12月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個(gè)記為a，若a＝99，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s12；若a＝169，與原有的6天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為s22，試比較s02，s12，s22的大?。ńY(jié)論不要求證明）【分析】（Ⅰ）根據(jù)甲城市這6天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有2天，即可得到答案；（Ⅱ）先確定總的基本事件數(shù)，再求出符合條件的基本事件數(shù)，利用概率的計(jì)算公式求解即可；（Ⅲ）直接比較即可．【解答】解：（Ⅰ）甲城市這6天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有2天，則估計(jì)甲城市12月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為．（Ⅱ）由題意，分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，因?yàn)椋?8，80），（48，67），（48，108），（48，150），（48，205），（48，62），（65，80），（65，67），（65，108），（65，150），（65，205），（65，62），（104，80），（104，67），（104，108），（104，150），（104，205），（104，62），（132，80），（132，67），（132，108），（132，150），（132，205），（132，62），（166，80），（166，67）