2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．（4分）設(shè)向量，，則＝（）A．11 B．9 C．7 D．52．（4分）sin330°＝（）A． B．﹣ C． D．﹣3．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z如圖所示，則復(fù)數(shù)＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i4．（4分）某圓錐的母線長為5cm，底面半徑長為3cm，則該圓錐的體積為（）A．12πcm3 B．15πcm3 C．36πcm3 D．45πcm35．（4分）函數(shù)f（x）＝cos22x﹣sin22x的最小正周期是（）A． B．π C．2π D．4π6．（4分）若sinα＝0.4，，則符合條件的角α有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（4分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖像的一部分如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（）A． B． C． D．8．（4分）向量與的夾角為（）A．30° B．40° C．60° D．90°9．（4分）在△ABC中，內(nèi)角A和B所對的邊分別為a和b，則a＞b是sinA＞sinB的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）已知單位向量，滿足?＝﹣，若非零向量＝x+y，其中x，y∈R，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題（每題5分，滿分25分，將答案填在答題紙上）11．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)，則|z|＝．12．（5分）已知半徑為r的球的表面積為36πcm2，那么半徑為2r的球的表面積為cm2．13．（5分）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則A＝．14．（5分）已知向量，滿足，，，那么＝．15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+1，有以下四個結(jié)論．①函數(shù)y＝f（x）+g（x）是周期函數(shù)；②函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的圖像是軸對稱圖形；③函數(shù)y＝f（x）?g（x）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；④函數(shù)存在最大值．其中，所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題：共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（14分）已知．（Ⅰ）求tanθ的值；（Ⅱ）求sin2θ的值．17．（14分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，且AB＝AD＝2，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱錐B1﹣ABD的體積；（Ⅱ）求證：BC∥平面ADD1A1；（Ⅲ）求證：AC⊥B1D．18．（14分）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，．（Ⅰ）求△ABC的面積；（Ⅱ）求的值．19．（14分）已知函數(shù)同時滿足下列三個條件中的二個：①f（0）＝2；②最大值為2；③最小正周期為π．（Ⅰ）求出所有可能的函數(shù)f（x），并說明理由；（Ⅱ）從符合題意的函數(shù)中選擇一個，求其單調(diào)增區(qū)間．20．（14分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，E為AA1的中點，O為BD1的中點．（Ⅰ）求證：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求證：EO∥平面ABCD；（Ⅲ）設(shè)P為正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱上一點，給出滿足條件OP＝的點P的個數(shù)，并說明理由．21．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R．若存在常數(shù)T，A（T＞0，A＞0），使得對于任意x∈R，f（x+T）＝Af（x）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．（Ⅰ）判斷函數(shù)y＝x和y＝cosx具有性質(zhì)P？（結(jié)論不要求證明）（Ⅱ）若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，且其對應(yīng)的T＝π，A＝2．已知當(dāng)x∈（0，π]時，f（x）＝sinx，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣π，0]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P，且直線x＝m為其圖像的一條對稱軸，證明：g（x）為周期函數(shù)．

2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．（4分）設(shè)向量，，則＝（）A．11 B．9 C．7 D．5【分析】直接利用向量的數(shù)量積的運算公式求解即可．【解答】解：向量，，則＝﹣3+8＝5．故選：D．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題．2．（4分）sin330°＝（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】由誘導(dǎo)公式知sin330°＝sin（270°+60°）＝﹣cos60°，由此能求出其結(jié)果．【解答】解：sin330°＝sin（270°+60°）＝﹣cos60°＝﹣．故選：B．【點評】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)的符號．3．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z如圖所示，則復(fù)數(shù)＝（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【分析】由圖可得z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【解答】解：由圖可知，點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝2+i，則，故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．4．（4分）某圓錐的母線長為5cm，底面半徑長為3cm，則該圓錐的體積為（）A．12πcm3 B．15πcm3 C．36πcm3 D．45πcm3【分析】根據(jù)圓錐的母線長和底面半徑求出圓錐的高，再計算圓錐的體積．【解答】解：圓錐的母線長l＝5cm，底面半徑長r＝3cm，所以圓錐的高h(yuǎn)＝＝＝4（cm），所以該圓錐的體積為V＝πr2h＝π×32×4＝12π（cm）3．故選：A．【點評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與體積計算問題，是基礎(chǔ)題．5．（4分）函數(shù)f（x）＝cos22x﹣sin22x的最小正周期是（）A． B．π C．2π D．4π【分析】利用二倍角的余弦公式化簡f（x），再求出f（x）的最小正周期即可．【解答】解：因為f（x）＝cos22x﹣sin22x＝cos4x，所以f（x）的最小正周期T＝＝，故選：A．【點評】本題考查了二倍角的余弦公式，余弦函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）若sinα＝0.4，，則符合條件的角α有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】直接利用正弦函數(shù)y＝sinx，的圖象，和函數(shù)y＝0.4的圖象求出交點的個數(shù)．【解答】解：利用正弦函數(shù)y＝sinx，的圖象，和函數(shù)y＝0.4的圖象，所以這兩個函數(shù)的圖象有3個交點，如圖所示：故滿足條件的角有3個．故選：C．【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖像的一部分如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（）A． B． C． D．【分析】利用相鄰的對稱軸x＝2及對稱中心（6，0）求周期，進(jìn)而求ω的值；利用最高點（2，3）求A，φ．【解答】解：由圖象得函數(shù)f（x）的最小正周期為T＝4（6﹣2）＝16，所以；由圖象的最高點為（2，3），得A＝3，且f（2）＝3，即，由0＜φ＜π，解得φ＝．故選：C．【點評】本題考查由三角函數(shù)的圖象求解析式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）向量與的夾角為（）A．30° B．40° C．60° D．90°【分析】根據(jù)題意，設(shè)兩個向量的夾角為θ，由向量的坐標(biāo)可得、的模以及?的值，由向量夾角公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)兩個向量的夾角為θ，向量與，則||＝1，||＝1，?＝cos50°cos10°+sin50°sin10°＝cos40°，則cosθ＝＝cos40°，又由0°≤θ≤180°，故兩個向量的夾角為40°，故選：B．【點評】本題考查向量的夾角，涉及三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）在△ABC中，內(nèi)角A和B所對的邊分別為a和b，則a＞b是sinA＞sinB的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】在三角形中，結(jié)合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：在三角形中，若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．若sinA＞sinB，則正弦定理，得a＞b，所以，a＞b是sinA＞sinB的充要條件．故選：C．【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用正弦定理確定邊角關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．．10．（4分）已知單位向量，滿足?＝﹣，若非零向量＝x+y，其中x，y∈R，則的最大值為（）A． B． C． D．【分析】由單位向量，滿足?＝﹣，推出＜，＞＝，設(shè)＝（1，0），＝（﹣，），進(jìn)而可得＝（x﹣，y），則＝，分兩種情況：當(dāng)x＝0時，當(dāng)x≠0時，求出的最大值．【解答】解：因為單位向量，滿足?＝﹣，所以＜，＞＝，設(shè)＝（1，0），＝（﹣，），所以＝x+y＝x（1，0）+y（﹣，＝（x﹣，y），所以||＝＝，所以＝＝當(dāng)x＝0時，＝0，當(dāng)x≠0時，＝，令t＝，則1﹣t+t2＝（t﹣）2+≥，所以≤，所以的最大值為．故選：D．【點評】本題考查向量的運算，最值，解題中需要理清思路，屬于中檔題．二、填空題（每題5分，滿分25分，將答案填在答題紙上）11．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)，則|z|＝．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則即可得出．【解答】解：因為z＝＝＝＝，所以|z|＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)模的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知半徑為r的球的表面積為36πcm2，那么半徑為2r的球的表面積為144πcm2．【分析】由已知球的表面積求得r，進(jìn)一步可得半徑為2r的球的表面積．【解答】解：由題意，4πr2＝36π，解得r＝3，那么半徑為2r的球的表面積為4π×62＝144πcm2，故答案為：144π．【點評】本題考查球的表面積公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．13．（5分）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則A＝．【分析】利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinB不為0，兩邊同時除以sinB后得到sinA的值，由A為銳角三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．【解答】解：因為，所以由正弦定理可得sinAsinB＝sinB，因為sinB≠0，所以sinA＝，又A為銳角，所以A＝．故答案為：．【點評】此題考查了正弦定理以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知向量，滿足，，，那么＝．【分析】由題意，求出的值，再根據(jù)＝，求出．【解答】解：∵向量，滿足，，，∴（+）?＝+＝+16＝0，∴＝﹣16，∴＝＝＝＝，故答案為：．【點評】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)和向量的模，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+1，有以下四個結(jié)論．①函數(shù)y＝f（x）+g（x）是周期函數(shù)；②函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的圖像是軸對稱圖形；③函數(shù)y＝f（x）?g（x）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；④函數(shù)存在最大值．其中，所有正確結(jié)論的序號是②④．【分析】由函數(shù)的周期性，對稱性，最值定義，逐個判斷即可得出答案．【解答】解：對于①：因為函數(shù)f（x）＝sinπx是周期函數(shù)，但是g（x）＝x2﹣x+1不是周期函數(shù)，所以y＝f（x）+g（x）不是周期函數(shù)，故①不正確；對于②：因為函數(shù)f（x）＝sinπx對稱軸為x＝+k，k∈Z，所以x＝是f（x）的一條對稱軸，因為g（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，對稱軸為x＝，所以y＝f（x）﹣g（x）的對稱軸為x＝，故②正確；對于③：因為函數(shù)f（x）＝sinπx是關(guān)于原點對稱，但是g（x）＝x2﹣x+1不關(guān)于原點對稱，所以y＝f（x）?g（x）不是關(guān)于原點對稱，故③不正確；對于④：y＝＝，f（x）＝sinπx，當(dāng)x＝時，f（x）max＝1，因為g（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，則g（x）min＝g（）＝，所以y＝有最大值為，故④正確．故答案為：②④．【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題．三、解答題：共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（14分）已知．（Ⅰ）求tanθ的值；（Ⅱ）求sin2θ的值．【分析】（Ⅰ）由題意利用兩角和的正切公式，計算tanθ的值即可．（Ⅱ）根據(jù)sin2θ＝，結(jié)合tanθ＝2，求出sin2θ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝，∴tanθ＝2．（Ⅱ）sin2θ＝＝＝＝．【點評】本題考查兩角和的正切公式、二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．17．（14分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，且AB＝AD＝2，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱錐B1﹣ABD的體積；（Ⅱ）求證：BC∥平面ADD1A1；（Ⅲ）求證：AC⊥B1D．【分析】（Ⅰ）根據(jù)三棱錐的體積公式求解即可；（Ⅱ）結(jié)合AD∥BC可證明BC∥平面ADD1A1；（Ⅲ）結(jié)合AC⊥平面BB1D可證明AC⊥B1D．【解答】（Ⅰ）．（Ⅱ）證明：因為AD∥BC，BC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A1．（Ⅲ）證明：因為BB1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以BB1⊥AC．又因為AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D．又因為B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D．【點評】本題考查三棱錐體積的求法，考查線面平行和線線垂直的證明，考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．18．（14分）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，．（Ⅰ）求△ABC的面積；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)余弦定理求出BC的值，求出sinC，求出三角形的面積即可；（Ⅱ）根據(jù)正弦定理求出sinB，從而求出cosB的值，求的值即可．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知：cosC＝＝＝﹣，解得：BC＝2或BC＝﹣（舍），又∵cosC＝﹣，0＜C＜π，∴sinC＝，∴S△ABC＝×BC×AC×sinC＝×2×3×＝；（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得：＝，則sinB＝＝＝，∵BC＜AC＜AB，∴∠B為銳角，∴cosB＞0，∴cosB＝，∴?＝||?||?cosB＝4×2×＝．【點評】本題考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積，是中檔題．19．（14分）已知函數(shù)同時滿足下列三個條件中的二個：①f（0）＝2；②最大值為2；③最小正周期為π．（Ⅰ）求出所有可能的函數(shù)f（x），并說明理由；（Ⅱ）從符合題意的函數(shù)中選擇一個，求其單調(diào)增區(qū)間．【分析】（I）分選①②、①③，②③三種情況討論，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)列方程求解；（II）令得f（x）的增區(qū)間．【解答】解：（I）；若選①②，則，無解，f（x）不存在；若選①③，則，解得m＝1，ω＝2，；若選②③，則，解得m＝0，ω＝2，．（II）若，令，所以增區(qū)間為．若，其增區(qū)間與相同，為．【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．20．（14分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，E為AA1的中點，O為BD1的中點．（Ⅰ）求證：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求證：EO∥平面ABCD；（Ⅲ）設(shè)P為正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱上一點，給出滿足條件OP＝的點P的個數(shù)，并說明理由．【分析】（Ⅰ）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，因為A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1?平面A1BD1，利用面面垂直的性質(zhì)推斷出平面A1BD1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）連接BD，AC，設(shè)BD∩AC＝G，連接0G．因為ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，進(jìn)而可知AE∥DD1，且AE＝DD1，且G是BD的中點，又因為O是BD1的中點，所以O(shè)G∥DD1，且OG＝DD1，所以O(shè)G∥AE，且OG＝AE，即四邊形AGOE是平行四邊形，所以O(shè)E∥AG，又因為EO?平面ABCD，AG?平面ABCD．所以EO∥平面ABCD．（Ⅲ）因根據(jù)ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，AA1＝2，所以求得AC＝，所以求得OE＝AG．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，因為AA1⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，判斷出AA1⊥AG，又因為EO∥AG，所以AA1⊥OE，則點O到棱AA1的距離為，所以在棱AA1上有且只有一個點（即中點E）到點O的距離等于，同理，正方體ABCD﹣A1B1C1D1每條棱的中點到點的距離都等于，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱上使得OP＝的點P有12個．所以在正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱上使得OP＝的點P有12個．【解答】（Ⅰ）證明：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1?平面A1BD1，∴平面A1BD1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）證明：連接BD，AC，設(shè)BD∩AC＝G，連接0G．∵ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，∴AE∥DD1，且AE＝DD1，且G是BD的中點，又因為O是BD1的中點，∴OG∥DD1，且OG＝DD1，∴OG∥AE，且OG＝AE，即四邊形AGOE是平行四邊形，所以O(shè)E∥AG，又∵EO?平面ABCD，AG?平面ABCD，所以EO∥平面ABCD．（Ⅲ）解：滿足條件OP＝的點P有12個．理由如下：因為ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，AA1＝2，所以AC＝2．所以O(shè)E＝AG＝AC＝．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，因為AA1⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，所以AA1⊥AG，又因為EO∥AG，所以AA1⊥OE，則點O到棱AA1的距離為，所以在棱AA1上有且只有一個點（即中點E）到點O的距離等于，同理，正方體ABCD﹣A1B1C1D1每條棱的中點到點的距離都等于，所以在正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱上使得OP＝的點P有12個．【點評】本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理．考查了學(xué)生分析推理的能力．21．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R．若存在常數(shù)T，A（T＞0，A＞0），使得對于任意x∈R，f（x+T）＝Af（x）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P．（Ⅰ）判斷函數(shù)y＝x和y＝cosx具有性質(zhì)P？（結(jié)論不要求證明）（Ⅱ）若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，且其對應(yīng)的T＝π，A＝2．已知當(dāng)x∈（0，π]時，f（