有限元法的理論基礎(chǔ)

關(guān)于有限元法的理論基礎(chǔ)第1頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月預(yù)備知識第一章有限單元法的理論基礎(chǔ)

1.1微分方程的等效積分形式

1.2加權(quán)余量法

1.3變分原理主要內(nèi)容第2頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學(xué)的基本假設(shè)預(yù)備知識第3頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月一、連續(xù)性假設(shè)彈性理論同其他宏觀物理學(xué)一樣，不考慮實(shí)際工程材料細(xì)觀粒子結(jié)構(gòu)。1.物體抽象成連續(xù)密實(shí)的空間幾何體，位移、應(yīng)變、應(yīng)力、能量等物理量作為空間點(diǎn)位置的函數(shù)定義在這個幾何體上。2.物體在整個變形過程中始終保持連續(xù)，即：定義在該連續(xù)介質(zhì)上的物理性質(zhì)和物理量除了在某些孤立的點(diǎn)、線、面上可能奇異或間斷外，在變形過程中始終保持為空間點(diǎn)位的連續(xù)函數(shù)。預(yù)備知識第4頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月二、彈性假設(shè)彈性體的變形與載荷在整個加載和卸載過程中存在一一對應(yīng)的單值函數(shù)關(guān)系，且載荷卸去后變形完全消失。應(yīng)力小于彈性極限時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的。服從虎克定律。小變形情況下，應(yīng)變和位移導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系是線性的。預(yù)備知識第5頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月三、均勻性假設(shè)物體在各點(diǎn)處的彈性性質(zhì)都相同。四、自然狀態(tài)假設(shè)假設(shè)物體不受外力作用和溫度的影響，物體便沒有應(yīng)力和變形，即不考慮由于制造工藝引起的殘余應(yīng)力和裝配應(yīng)力。預(yù)備知識第6頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學(xué)問題的矩陣表示預(yù)備知識第7頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月一、基本物理量位移：應(yīng)變：應(yīng)力：

預(yù)備知識第8頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月一、場方程幾何方程：預(yù)備知識第9頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月預(yù)備知識第10頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月物理方程：這里假設(shè)材料是各向同性的。預(yù)備知識第11頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月注：

表示工程切應(yīng)變，它們與張量切應(yīng)變的關(guān)系為：預(yù)備知識第12頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月在平面問題中的彈性矩陣：平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)變問題：預(yù)備知識第13頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月平衡方程：預(yù)備知識第14頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界條件：力邊界：位移邊界：預(yù)備知識第15頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容本章重點(diǎn)和應(yīng)掌握的內(nèi)容微分方程的等效積分形式及其“弱”形式的實(shí)質(zhì)和構(gòu)造方法，任意函數(shù)和場函數(shù)應(yīng)滿足的條件。不同形式加權(quán)余量法中權(quán)函數(shù)的形式和近似解的求解步驟，以及Galerkin法的特點(diǎn)。線性自伴隨微分方程的變分原理的構(gòu)造方法和泛函的性質(zhì)，以及自然邊界條件和強(qiáng)制邊界條件的區(qū)別。第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第16頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)典Ritz方法的求解步驟、收斂條件及其局限性兩種形式虛功原理（虛位移原理和虛應(yīng)力原理）的實(shí)質(zhì)和構(gòu)造方法。從虛功原理導(dǎo)出最小位能原理和最小余能原理的途徑，各自的性質(zhì)以及場函數(shù)事先應(yīng)滿足的條件第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第17頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月本章含蓋三節(jié)內(nèi)容：1.1微分方程的等效積分形式1.2加權(quán)余量法1.3變分原理第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第18頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1微分方程的等效積分形式第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第19頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1微分方程的等效積分形式微分方程：微分方程是聯(lián)系自變量x，未知函數(shù)u(x)和它的某些階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式：第20頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1微分方程的等效積分形式求解微分方程的方法有：解析法；半解析法；數(shù)值法；第21頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1微分方程的等效積分形式數(shù)值法主要包括：有限差分法——將微分方程化為差分形式，求近似解；加權(quán)余量法——將~轉(zhuǎn)化為加權(quán)積分形式，求近似解；有限元法——將~轉(zhuǎn)化為能量取駐值問題，并采用分片插值；邊界元法——在邊界上進(jìn)行離散；無網(wǎng)格法——近似函數(shù)建立在離散點(diǎn)上，不需網(wǎng)格。第22頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式一、連續(xù)介質(zhì)問題微分方程的一般表達(dá)式且滿足邊界條件：

表示對獨(dú)立變量(時間，空間)的微分算子。1.1微分方程的等效積分形式第23頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第24頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第25頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第26頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第27頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第28頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第29頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第30頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第31頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第32頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第33頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.1微分方程的等效積分形式1.1微分方程的等效積分形式第34頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月微分方程的等效積分形式例：圖1：u為一個連續(xù)函數(shù)，滿足C0連續(xù)圖2：有一個一階不連續(xù)點(diǎn)，但一階導(dǎo)可積。圖3：二階導(dǎo)數(shù)在Δ區(qū)域內(nèi)趨于無窮，使積分不能進(jìn)行。第35頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式一、構(gòu)造“～弱形式”目的降低對未知函數(shù)的連續(xù)性的要求假設(shè)：微分方程中，微分算子的最高階導(dǎo)數(shù)為2m；第36頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式第37頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式第38頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式3)代價是提高對任意函數(shù)和的連續(xù)性要求。4)在物理上更符合實(shí)際問題對連續(xù)性的要求。5)若和取特定函數(shù)，則為加權(quán)余量法

的不同格式。第39頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式例：簡支梁的彎曲問題微分方程和邊界條件第40頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式微分方程的等效積分形式如下：對該等效積分形式要求在域內(nèi)，w為三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，很難實(shí)現(xiàn)。第41頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式等效積分弱形式：對等效積分弱形式要求在域內(nèi)，w一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即可。第42頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式方程的分類：1）穩(wěn)態(tài)問題（平衡邊值問題）場函數(shù)解只與位置坐標(biāo)有關(guān)第43頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式方程的分類：1）瞬態(tài)問題（傳播問題，初邊值問題）場函數(shù)為空間與時間的函數(shù)Г、Ω可以理解為時-空域，t為開域（0，∞）t=0可以認(rèn)為是初值條件第44頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2微分方程的等效積分的弱形式1.1微分方程的等效積分形式方程的分類：1）特征值問題若要有非零解某些參數(shù)取特定值取決于問題的物理、幾何特性第45頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法第1章有限元法的理論基礎(chǔ)

第46頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法加權(quán)余量法的基本思想加權(quán)余量法是：

基于等效積分形式或等效積分弱形式的近似方法。第47頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法設(shè)：定解問題第48頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法1.構(gòu)造近似解第49頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法那么，當(dāng)n有限時，方程存在偏差（余量）即：在域Ω內(nèi)在邊界Г上第50頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法等效積分形式：第51頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法2.以加權(quán)意義上為零，形成求解方程組（等效積分的解析式）即：或：為權(quán)函數(shù)，（預(yù)先設(shè)定）線性無關(guān)。作用：強(qiáng)迫余量在某種平均意義上等于零第52頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法第53頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.加權(quán)余量法的關(guān)鍵(兩種函數(shù)的選擇)1）與等效積分形式不同：一個是精確解，而加權(quán)余量法得到的為是近似解。a.近似表達(dá)式為有限項(xiàng)。b.對某些特定的權(quán)函數(shù)（非任意）2）試函數(shù)：如能滿足一定的域內(nèi)條件或邊界條件，使問題簡化，且有一定的精確度。3）權(quán)函數(shù)：不同的權(quán)函數(shù)，涉及不同的計(jì)算格式。例如：第54頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法采用使余量的加權(quán)積分為零的等效積分的“弱”形式，來求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。它是求微分方程近似解的一種有效方法。第55頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法加權(quán)余量法常用的幾種常用方案為了討論方便，不失一般性，認(rèn)為已滿足邊界條件，因此僅剩域內(nèi)積分項(xiàng)；為線性微分算子，可用表示。第56頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法取:則有:注：第57頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法第58頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法第59頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法第60頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法第61頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法1.配點(diǎn)法這種方法相當(dāng)于簡單地強(qiáng)迫若干個在域內(nèi)的點(diǎn)上余量等于零。說明：Kij

非對稱，不用求積分。第62頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法最小二乘法是加權(quán)余量法的一種。標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法是：要使域Ω內(nèi)每一點(diǎn)的殘數(shù)（或誤差）的平方和最小，或平方的積分最小。第63頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法第64頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法第65頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法第66頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法第67頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法2.最小二乘法可見：矩陣對稱，但需要數(shù)值積分第68頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法非對稱，系數(shù)矩陣含積分運(yùn)算。若自伴隨問題利用格林公式可以構(gòu)造有限元格式第69頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法說明：<1>如果要形成有限元格式，則希望得到對稱系數(shù)矩陣，同時希望積分中的微分階數(shù)降低。<2>Galerkin加權(quán)余量法（見后）第70頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法第71頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法如果L為二階微分算子，則C、D均為一階。如果L為四階微分算子，則C、D均為二階。如果L為自伴隨算子，第一項(xiàng)將得到對稱系數(shù)矩陣。第72頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程（Galerkin格式）第73頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法第74頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法第75頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法3.伽遼金（Galerkin

）法第76頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法利用格林公式分部積分第77頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法不考慮溫度邊界條件，上式整理得：其中：第78頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2加權(quán)余量法說明：（1）由Galerkin法得到與變分法相一致的方程形式，與有限元格式類似。（2）如離散后采用上法，即可得到有限元格式。（3）如果一個問題存在變分泛函，則采用加權(quán)余量法Galerlin格式與變分方法可得相同結(jié)果的方程。第79頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月變分原理自然變分原理修正泛函的變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)

第80頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月線性、自伴隨微分算子如果微分方程具有線性、自伴隨的性質(zhì)，則：不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權(quán)余量法求其近似解；

還可建立與之相等效的變分原理，基于它的另一種近似求解方法——Ritz法自然變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第81頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月線性、自伴隨微分方程的定義：微分方程：為微分算子若具有性質(zhì)：則稱為線性微分算子。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第82頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第83頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月泛函的構(gòu)造

設(shè)有微分方程：

有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第84頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第85頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第86頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月自然變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第87頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月變分原理是針對以下積分形式定義的標(biāo)量泛函而言，有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第88頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月原問題微分方程和邊界條件的等效積分Galerkin提法等效于泛函取駐值。反之泛函取駐值則等效于微分方程和邊界條件。這里泛函可以通過等效積分的Galerkin提法得到。這種變分原理稱為自然變分原理。例如，彈性力學(xué)中的最小位能原理、粘性流體中最小能力耗散原理，稱為自然變分原理。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第89頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第90頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月最小位能原理：真實(shí)位移使體系總位能取極小值，即：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第91頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

自然變分原理第92頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月自然變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第93頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月Ritz（里茲）法——基于變分原理的近似解法求解步驟假設(shè)近似解：為待定參數(shù)，滿足強(qiáng)制邊界條件。將代入泛函的極值問題（求函數(shù)u），轉(zhuǎn)化為求多元（）函數(shù)的極值問題。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第94頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月求解線性方程組有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第95頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月解的收斂性1)

連續(xù)性要求滿足Cm-1

階連續(xù)性2)完備性要求取自完備的函數(shù)序列有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第96頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月

特點(diǎn)1)

近似解對全域而言2)試探函數(shù)要求滿足一定的邊界條件，近似解

的精度與試探函數(shù)的選擇有密切關(guān)系。3)待定系數(shù)不表示特定的物理意義。4)如果我們對問題了解比較清楚，能找到合適的試函數(shù)，可以說事半功倍，但缺乏一般性。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第97頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月提示經(jīng)典意義上的泛函變分理論只適應(yīng)于線性自伴隨微分方程。2)收斂性有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)（泛函分析）。3)事先滿足強(qiáng)制邊界條件，則解有明確的上下界性質(zhì)。如不事先滿足，需要進(jìn)行處理(約束變分原理)。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第98頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

關(guān)于強(qiáng)制邊界條件與自然邊界條件若微分算子是線性自伴隨的，Galerkin法的等效積分形式問題泛函近似場函數(shù)應(yīng)滿足強(qiáng)制邊界條件第99頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月假如微分算子是2m階0至m-1階導(dǎo)的邊界條件稱為強(qiáng)制邊界條件m至2m-1階導(dǎo)的邊界條件稱為自然邊界條件未知場函數(shù)無需事先滿足自然邊界條件有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第100頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于泛函取極值根據(jù)Galerkin格式或變分原理，微分算子線性自伴隨：假設(shè)微分算子L的最高階導(dǎo)數(shù)是2m偶數(shù)階，則：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第101頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第102頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于解的下限性：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第103頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第104頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第105頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月最小余能原理：真實(shí)解使得系統(tǒng)的總余能最小。考慮平衡方程：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第106頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第107頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第108頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第109頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月最小勢能原理解的下限性：由能量守恒定理知：變形過程中的功等于彈性體變形后的應(yīng)變能。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第110頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第111頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第112頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣的分析得到：由最小余能原理得到的近似應(yīng)力場，總體偏大。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第113頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月修正泛函變分原理

建立了自然變分原理后,問題的解為泛函Π取駐值。有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理第114頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月但是未知函數(shù)往往還需要服從一些附加條件，

約束條件把這些變分原理稱之為：

“具有附加條件的變分原理”。修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第115頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月解決的辦法

可以將附加條件引入泛函，重新構(gòu)造一個“修正泛函”，把原問題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值問題。常用方法：Lagrange乘子法，罰函數(shù)法。修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第116頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第117頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）第118頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）第119頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月修正泛函（約束）變分原理2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第120頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理2.

Lagrange乘子法（λ乘子法）第121頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月討論（放松約束條件的代價）：1)很明顯方程的階數(shù)增加了。2)方程的系數(shù)矩陣主元（對角元素）出現(xiàn)零元素，對求

解方程增加了困難。（不能用一般的消元法）3)一般的物理問題中得到的自然變分問題是一極值問題。

而對修正的泛函，由于附加項(xiàng)的積分性質(zhì)不清，一般

為駐值問題。（不再有極值性質(zhì)）4)利用乘子法，可以得到彈性力學(xué)各種λ變分原理的轉(zhuǎn)換。修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第122頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月3.罰函數(shù)對Π為極小值問題，α取正數(shù)；α值越大，約束條件滿足的越好。(近似性越好)這種方法好處很明顯，不增加任何未知函數(shù)。(α是事先給定的)有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理第123頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月例：極值問題（函數(shù)極值問題）有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第124頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

第125頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月討論：有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

修正泛函（約束）變分原理第126頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月修正泛函（約束）變分原理有限元法的理論基礎(chǔ)-變分原理

討論：第127頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)鍵概念：等效積分形式等效積分“弱”形式加權(quán)余量法Galerkin方法線性自伴隨算子泛函和變分原理強(qiáng)制邊界條件自然邊界條件泛函的駐值和極值Ritz方法

虛位移原理虛應(yīng)力原理最小位能原理最小余能原理有限元法的理論基礎(chǔ)

第128頁，課件共143頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元法的理論基礎(chǔ)-課后作業(yè)

等效積分形式和等效積分“弱”形式的區(qū)別何在？為何后者在數(shù)值分析中得到更多的應(yīng)用？不同形式的加權(quán)余量法之間的區(qū)別，你能提出其它形式的加權(quán)余量法嗎？加權(quán)余量法的Galerkin方法特點(diǎn)，自然邊界條件和強(qiáng)制邊界條件的區(qū)別里茲法的特點(diǎn)及優(yōu)缺點(diǎn)，與Galerkin方法的異同虛功原理有哪兩種不同形式，和彈性力學(xué)中的何方程等效，最小勢能原理與