正方形的定義性質(zhì)

關(guān)于正方形的定義性質(zhì)第1頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形

叫做正方形。一個(gè)角是直角一個(gè)角是直角一個(gè)角是直角，一組鄰邊相等一組鄰邊相等一組鄰邊相等平行四邊形的對(duì)邊平行且相等平行四邊形的對(duì)角相等平行四邊形的鄰角互補(bǔ)平行四邊形的對(duì)角線互相平分性質(zhì)：特有性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角矩形的對(duì)角線相等特有性質(zhì)：菱形的四條邊都相等菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角性質(zhì)：正方形兩組對(duì)邊平行，四條邊都相等正方形的四個(gè)角都是直角正方形的對(duì)角線相等，互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角第2頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月探究小結(jié)矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現(xiàn)：一組鄰邊相等的矩形是正方形

菱形一個(gè)角是直角正方形∟發(fā)現(xiàn)：一個(gè)角為直角的菱形是正方形正方形定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形第3頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月ABCDO正方形中：（按組說）1、相等的邊有哪些？2、相等的角有哪些？3、等腰三角形有哪些？4、直角三角形有哪些？5、全等三角形有哪些？第4頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系圖第5頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例

求證:正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.這是一道文字證明題,該怎么做?你會(huì)做嗎?第一步:根據(jù)題意畫出圖形第二步:寫出已知、求證第三步：進(jìn)行證明ADCBO

已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO分析:利用正方形的性質(zhì),對(duì)角線互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.平分可以產(chǎn)生線段等量關(guān)系,垂直可以產(chǎn)生直角,于是可以得到四個(gè)全等的等腰直角三角形.第6頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月ADCBO

正方形對(duì)角線把正方形分成多少個(gè)等腰直角三角形？拓展討論:結(jié)論：

分成八個(gè)等腰直角三角形，分別是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD

；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.第7頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例題解析1.已知:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH是正方形嗎?為什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形

叫做正方形。第8頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2．如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要證明BM＝CN，大家觀察圖形可以考慮證哪兩個(gè)三角形全等?

MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。你能完成證明嗎???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°

條件夠嗎？

還需要的條件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要證明的兩個(gè)三角形已經(jīng)滿足了哪些條件?由正方形可以得到的條件有：第9頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2．如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。證明：

∵四邊形ABCD是正方形

∴OA＝OB,∠1＝∠2＝∠3＝45°

又∵M(jìn)N∥AB∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°

∴OM＝ON

∴OA－OM＝OB－ON

即AM＝BN

下面大家自己完成證明第10頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

練習(xí)1．已知：正方形ABCD對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AB＝acm，如圖(2)。

求：AC的長及正方形的面積S。

練習(xí)2．已知：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、

BD相交于點(diǎn)O，且AC＝6cm，如圖求：正方形的面積S。

第11頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例3．已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，CE⊥AF于E，交AD于M，求證：∠MFD＝45°

分析：欲證∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只須證△MDF是等腰三角形,即只要證_____=_____要證MD＝FD，大家只須證得哪兩個(gè)三角形全等?

試一試看能不能完成證明???△CMD≌△ADF第12頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例3．已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，CE⊥AF于E，交AD于M，

求證：∠MFD＝45°

證明：∵CE⊥AF

∴∠ADC＝∠AEM＝90°

又∵∠CMD＝∠AME

∴∠1＝∠2

又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC

∴Rt△CDM≌Rt△ADF

(AAS)

∴DM=DF

下面的證明請(qǐng)大家完成第13頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)．如圖(5)，在AB上取一點(diǎn)C，以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形AEDC和BCFG連結(jié)AF、BD延長BD交AF于H。

求證：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

證明：

第14頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例4．如圖(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，連結(jié)BG、CE，交點(diǎn)為N。

求證：∠CEA＝∠ABG

分析：欲證∠CEA＝∠ABG，大家想一想證明兩個(gè)角相等的方法，你有辦法了嗎？？？通過自己的努力，看能不能解決問題？證明：∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形。

∴AE＝AB

AG＝AC∠1＝∠2＝90°

又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∴∠EAC＝∠BAG

∴△AEC≌△ABG

(SAS)

∴∠CEA＝∠ABG

第15頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月2.已知:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H