連續(xù)型隨機變量及其概率密演示文稿

連續(xù)型隨機變量及其概率密度演示文稿目前一頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點連續(xù)型隨機變量及其概率密度目前二頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點一連續(xù)型隨機變量1定義目前三頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點由定義知道：連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)2概率密度的性質(zhì)1非負性2規(guī)范性這兩個性質(zhì)是判斷一個函數(shù)是否為一個連續(xù)型r.v.X的概率密度的充要條件

f(x)xo分布曲線面積為1利用概率密度可確定隨機點落在某個范圍內(nèi)的概率目前四頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點

若x是f(x)的連續(xù)點，則：=f(x)

故

X的密度f(x)在x這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當于線密度.目前五頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點(1)連續(xù)型r.v.取任一指定實數(shù)值a的概率均為0.即這是因為請注意:當時得到由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出目前六頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點

對連續(xù)型r.v.X,有目前七頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點說明:由上述性質(zhì)可知，對于連續(xù)型隨機變量，我們關(guān)心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．(此公式非常重要)目前八頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.f(x)xo目前九頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點若不計高階無窮小，有：它表示隨機變量X取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.目前十頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點例題選講例題1設(shè)隨機變量X具有隨機密度函數(shù)試求(1)c(2)X的分布函數(shù)；目前十一頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點目前十二頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點目前十三頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點目前十四頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點目前十五頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點目前十六頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X～U(a,b)三、三種重要的連續(xù)型隨機變量若r.vX的概率密度為：記作目前十七頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點與c無關(guān)Xabll0Xx目前十八頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；目前十九頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點

例2

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解依題意，

X～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位目前二十頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，目前二十一頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點目前二十二頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點返回目錄目前二十三頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.若r.vX具有概率密度常簡記為X~E().2指數(shù)分布目前二十四頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點若X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為事實上,當時,當時,目前二十五頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點注意1）無記憶性；目前二十六頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點

2）電子元件的使用壽命和各種隨機系統(tǒng)的服務(wù)時間在一般情形認為其服從指數(shù)分布；3）指數(shù)分布在可靠性理論和排隊論的應(yīng)用比較廣泛。目前二十七頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點3.正態(tài)分布若連續(xù)型r.vX的概率密度為記作其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.目前二十八頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點曲線關(guān)于軸對稱；目前二十九頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個拐點的橫坐標；目前三十頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點當x→∞時，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.目前三十一頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點正態(tài)分布的圖形特點正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對稱的鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.稱為位置參數(shù)目前三十二頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點目前三十三頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)目前三十四頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點4標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：目前三十五頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點的性質(zhì):事實上,目前三十六頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點目前三十七頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點它的依據(jù)是下面的定理：標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.根據(jù)定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.定理1目前三十八頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點證Z的分布函數(shù)為則有目前三十九頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點于是目前四十頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.正態(tài)分布表當x<0時,表中給的是x>0時,Φ(x)的值.目前四十一頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點若~N(0,1)

若X～N(0,1),目前四十二頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.997453準則目前四十三頁\總數(shù)四十八頁\編于十九點將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).