CT平行束和扇形束算法的轉(zhuǎn)換

平行束和扇形束算法的轉(zhuǎn)換16級曹婷婷、敖經(jīng)盛2017年7月1目前一頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)平行束圖像重建(FBP)扇形束圖像重建2目前二頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)平行束圖像重建

1、圖像重建的基本原理

CT中用探測器測量X射線透過人體后的強(qiáng)度值，即為X射線與人體相互作用后沿某一方向的線積分（投影）。x射線掃描通過路徑后其中P為投影值基本出發(fā)點(diǎn)是：尋求衰減系數(shù)μ分布。3目前三頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)中心切片定理:二維圖像的一維投影（線積分）的傅立葉變換，恰好等于圖像本身的二維傅立葉變換的一個(gè)特定截面。4目前四頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)通過轉(zhuǎn)動(dòng)投影方向，可以得到各個(gè)方向上傅立葉變換的特定截面，從而獲得整個(gè)二維平面的傅立葉變換，最后由傅立葉逆變換得到重建的圖像5目前五頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)平行束圖像重建濾波反投影法（FBP)（1）求投影數(shù)據(jù)的以s為變量的一維傅里葉變換，

得到（2）對乘以斜波濾波器的傳遞函數(shù)，得到（3）求的以為變量的以為傅里葉反變換，得到6目前六頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)7將直角坐標(biāo)（u，v）轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)（w,θ）.雅各比行列式為故則目前七頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)具體的推導(dǎo)根據(jù)中心切片定理，可以用P來代替F:其中是斜坡濾波器的傳遞函數(shù)8目前八頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)9交換積分次序：卷積的形式卷積核最終的形式：目前九頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)扇形束圖像重建

對于平行束成像，我們用中心切片定理推導(dǎo)出了一些圖像重建的算法。對于扇形束成像，并沒有相應(yīng)的中心切片定理。轉(zhuǎn)換的思路：把所有的扇形束射線放在一起進(jìn)行分組，把互相平行的射線分為一組，這樣就把扇形束的成像問題簡化為平行束的成像問題。10目前十頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)對與扇形束成像，我們并沒有相應(yīng)的中心切片定理。我們只好想個(gè)別的辦法來推導(dǎo)扇形束的圖像重建算法。這個(gè)辦法就是把扇形束的成像問題轉(zhuǎn)化成平行光束的成像問題，把平行光束圖像重建的算法修正一下然后應(yīng)用于解決扇形束的成像問題中。11目前十一頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)12目前十二頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)13目前十三頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)等角度扇形重建算法

出發(fā)點(diǎn)是平行束的FBP的算法推導(dǎo)，但是要用極坐標(biāo)，而不是直角坐標(biāo)系（x,y）的表達(dá)式，所以要對坐標(biāo)進(jìn)行替換：14目前十四頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)已知平行束重建算法為：

轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)后得：15目前十五頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)利用將平行束的變量dsdθ換成扇形束的變量dγdβ，其中雅克比因子為，這樣可得變成對這一部分利用幾何關(guān)系化簡16目前十六頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)17目前十七頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)斜坡濾波器卷積核的一個(gè)特殊性質(zhì)：證明過程如下：斜坡濾波卷積核的定義是18不加窗時(shí)成立，加窗時(shí)會使重建不精確目前十八頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)19目前十九頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)20

假如我們現(xiàn)在想重建某點(diǎn)的值，我們先確定一個(gè)β，即確定了源的位置，由于重建點(diǎn)的位置也是確定的，故D?和γ?均為確定的值。然后用卷積核對不同γ角的信號進(jìn)行卷積。

當(dāng)這個(gè)角度的卷積完成后，

我們對0°-180°所有角度的β做一個(gè)積分，即背投影過程。

這就是扇形束的濾波背投影算法。β目前二十頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)短掃描在平行光束成像中，當(dāng)探測器繞物體旋轉(zhuǎn)2π(即360°),每一條投影射線都被測了兩次。冗余的數(shù)據(jù)可由下面這個(gè)表達(dá)式給出

可見,由兩個(gè)面對面的探測器測得的數(shù)據(jù)都是冗余的。所以，探測器旋轉(zhuǎn)180°即可提供足夠的數(shù)據(jù)。21目前二十一頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)根據(jù)同樣的道理，當(dāng)扇形束探測器旋轉(zhuǎn)2π,每條投影射線也都被測到了兩次。冗余的數(shù)據(jù)可由下面這個(gè)表達(dá)式給出

由于數(shù)據(jù)冗余，在扇形束數(shù)據(jù)采集中沒有必要讓探測器做2π全掃描。掃描角度(β)可以小于2π,這種掃描方式叫做短掃描。22目前二十二頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)

角度β的最小取值范圍取決于數(shù)據(jù)采集時(shí)物體與探測器之間的幾何關(guān)系。角度β的最小取值區(qū)間可能小于π(下圖左)，可能等于π(中)，也可能大于π(右)。確定掃描區(qū)間的原則是，我們感興趣的物體中的每一點(diǎn)都要有180°的角度覆蓋。

要注意的是，在扇形束短掃描成像中，并不是所有的線積分都被剛好測到一次。有些線積分被測到一次，而另一些線積分會被測到兩次。即使在掃描角度β的范圍小于π的情形,還是有一些線積分會被測到兩次的。其實(shí)，任何直線，只要它與扇形的焦點(diǎn)軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，那么沿這條線的線積分就被測到了兩次(圖3.10)。23目前二十三頁\總數(shù)二十六頁\編于十二點(diǎn)

其實(shí)，任何直線，只要它與扇形的焦點(diǎn)軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，那么沿這條線的線積分就被測到了兩次。為了獲得足夠的數(shù)據(jù)來做斷層成像，我們要求過物體的每一條線的線積分都要至少被測到一次。對于冗余的數(shù)據(jù)，在圖像重建時(shí)需要施加適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)來處理。舉例來說，若一個(gè)線積分被測到了兩次，對它們要進(jìn)行加權(quán)，而且它們的權(quán)因子之和一定要是1。24目前二十四頁\總數(shù)二十六頁\編于