山西省忻州市國利美術(shù)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山西省忻州市國利美術(shù)高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f(x)=log5(x2+1),

x∈[2,+∞的反函數(shù)是

（

）

A．g(x)=(x≥0)

B．g(x)=(x≥1)

C．g(x)=(x≥0)

D．g(x)=(x≥1)

參考答案：答案：D2.則(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略3.已知△ABC，，，N是邊BC上的點(diǎn)，且，為△ABC的外心，的值為（

）A.8 B.10 C.18 D.9參考答案：D【分析】先由得到，取，中點(diǎn)分別為，求出，，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因，所以，因此；取，中點(diǎn)分別為，則，；因此，所以.故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，熟記數(shù)量積運(yùn)算法則以及數(shù)量積的幾何意義，即可求解，屬于?？碱}型.4.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．－2

B．

C．

D．2參考答案：C，且是純虛數(shù)，，故選C.

5.設(shè)函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略6.一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為（）A． B． C．6 D．7參考答案：A【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】判斷幾何體的形狀，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積．【解答】解：由三視圖可知，該多面體是由正方體截去兩個正三棱錐所成的幾何體，如圖，正方體棱長為2，正三棱錐側(cè)棱互相垂直，側(cè)棱長為1，故幾何體的體積為：V正方體﹣2V棱錐側(cè)=．故選：A．7.復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)是(

)A．2+i

B．2-i

C．-1+i

D．-1-i參考答案：D8.“”是方程表示橢圓的

（

）

A．充分必要條件

B．充分但不必要條件

C．必要但不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C9.若函數(shù)在(2，f(2))處的切線過點(diǎn)(1，2)，則a=（

）

(A)4

(B)7(C)8

(D)參考答案：A試題分析：.,,解得.故A正確.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.10.已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,則a的取值范圍是（

）

A．(-∞,-1]

B．[1,+∞）

C．[-1，1]

D．（-∞，-1]∪[1，+∞）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l：y=x﹣1與曲線相切于點(diǎn)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)為．參考答案：（1，0）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)切點(diǎn)A（m，n），代入切線的方程和曲線方程，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，化為lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的導(dǎo)數(shù)大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，進(jìn)而得到切點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的導(dǎo)數(shù)為y′=，可得=1，即為lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的導(dǎo)數(shù)為+2m＞0，則f（m）遞增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解為m=1．可得n=0．即為A（1，0）．故答案為：（1，0）．12.已知

參考答案：113.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則。參考答案：614.過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，已知|AF|=3，|BF|=2，則p等于．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)AF|=3，|BF|=2，利用拋物線的定義可得A，B的橫坐標(biāo)，利用==，即可求得p的值．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則∵|AF|=3，|BF|=2∴根據(jù)拋物線的定義可得x1=3﹣，x2=2﹣，∵==，∴4（3﹣）=9（2﹣）∴p=．故答案為：．15.已知集合A=，B=，則=

.參考答案：16.正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則x+的最小值

．參考答案：．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．則=x+=x+=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．【解答】解：x＞0，y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．則=x+=x+=f（x），f′（x）=1+，令f′（x）=0，解得x=．則可得x∈時，f′（x）＜0；x∈時，f′（x）＞0．∴x=，y=時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值+=，故答案為：．17.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知圓的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－2ρsinθ+7=0，則圓心到直線的距離為__參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，AD是BC邊的中線，,且△ABC的面積為.(1)求的大小及的值;(2)若,求AD的長.參考答案：(1)在中,由可得,故因?yàn)?所以,解得.所以(2)由得.在中,出余弦定理得得,由正弦定理得.

∵故在中,解得19.某市環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時間x（小時）的關(guān)系為，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，記作M（a） （1）令，x∈[0，24]，試求t的取值范圍 （2）試求函數(shù)M（a） （3）市政府規(guī)定每天的綜合污染指數(shù)不得超過2，試問目前該市的污染指數(shù)是否超標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型． 【分析】（1）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可求t的取值范圍； （2）分類討論求最值，即可求函數(shù)M（a）的解析式； （3）由（Ⅱ）知M（a）的最大值，它小于2，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）由0≤x≤24得

當(dāng)即x=0時tmin=0當(dāng)即x=18時 所以t的取值范圍是… （2）令， 當(dāng)時，即時， 當(dāng)時，即時， 所以… （3）當(dāng)時，易知M（a）單調(diào)遞增，所以 當(dāng)時，由M′（a）=0得 當(dāng)時，M′（a）＞0，M（a）單調(diào)遞增 當(dāng)時，M′（a）＜0M（a）單調(diào)遞減 所以函數(shù)，所以沒有超標(biāo) 答：目前該市的污染指數(shù)沒有超標(biāo)．… 【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 20.在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，DB=DC=4，∠BDC=90°，P在線段BC上，CP=3PB，M，N分別為AD，BD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥平面MNP；（Ⅱ）若AB=4，求直線MC與平面ABC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出MN∥AB，MN⊥BC，PN⊥BC，由此能證明BC⊥平面MNP．（Ⅱ）由AB⊥QD，得QD⊥平面ABC，連接AQ，取AQ的中點(diǎn)E，連接EM，EC，得到∠MCE就是直線MC與平面ABC所成角，由此能求出直線MC與平面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵M(jìn)N是△ABD的中位線，∴MN∥AB．…（2分）又AB⊥平面PBC，∴MN⊥平面PBC．∴MN⊥BC．①…（4分）取BC的中點(diǎn)Q，連接DQ，則DQ⊥BC．由PN是△BDQ的中位線知PN∥DQ，∴PN⊥BC．②…（6分）由①②，得BC⊥平面MNP．…（7分）解：（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，∴AB⊥QD．而BC⊥QD，∴QD⊥平面ABC．…（9分）連接AQ，取AQ的中點(diǎn)E，連接EM，EC．在△AQD中，EM是中位線，∴EM∥QD．∴EM⊥平面ABC．…（10分）∴∠MCE就是直線MC與平面ABC所成角．…（11分）連接CN，則，，在Rt△MCE中，，∴直線MC與平面ABC所成角的正弦值為．…（15分）【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．21.2015年7月9日21時15分，臺風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災(zāi)，5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元．距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風(fēng)的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出如下頻率分布直方圖（如圖）：（I）小明向班級同學(xué)發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款．現(xiàn)從損失超過6000元的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐款援助，求這兩戶在同一分組的概率；（Ⅱ）臺風(fēng)后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如下表，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元30939捐款不超過500元5611合計(jì)351550

P（K2≥k）50.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：臨界值表參考公式：K2=，n=a+b+c+d．參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得，損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，即可求這兩戶在同一分組的概率；（Ⅱ）求出K2，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．【解答】解：（I）由頻率分布直方圖可得，損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，…（3分）因此，這兩戶在同一分組的概率為P==

…（6分）（II）如表：

經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元經(jīng)濟(jì)損失超過4000元合計(jì)捐款超過500元30939捐款不超過500元5611合計(jì)351550…（7分）K2=…（8分）==4.046＞3.841…（10分）所以有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否4000元有關(guān)．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖，獨(dú)立性檢驗(yàn)知識，考查古典概型，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識綜合性強(qiáng)．22.已知函數(shù)，函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）求函數(shù)的極值；（2）