結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第八章連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)及精確解

第八章連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)及精確解§8-1波動(dòng)方程設(shè)張力T，單位長(zhǎng)度質(zhì)量密度ρ，長(zhǎng)L，取微段dx，假設(shè)弦的橫向撓度y很小．因而隨撓度而變的張力變動(dòng)極小，可以不予考慮。1弦的振動(dòng)由牛頓第二定律微振動(dòng)條件下，有故運(yùn)動(dòng)微分方程為邊界條件為：§8-1波動(dòng)方程等截面均勻細(xì)直桿，單位體積質(zhì)量密度為ρ，長(zhǎng)L，面積A，彈模E，軸向力P(x)。取微段dx。2桿的縱向振動(dòng)由材料力學(xué)，在截面x處，有OxxdxuLPdm微段dx運(yùn)動(dòng)微分方程:§8-1波動(dòng)方程3桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)——不作介紹，后面以例子說(shuō)明弦的振動(dòng)、桿的縱向振動(dòng)和桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有相同形式的運(yùn)動(dòng)微分方程，解的形式也一樣。4波動(dòng)方程的解設(shè)統(tǒng)一形式的微分方程：具有解：或分離變量：他們的解都是簡(jiǎn)諧函數(shù)：波動(dòng)方程的通解為：四個(gè)積分常數(shù)由邊界條件和初始條件確定?！独吩O(shè)張力T，單位長(zhǎng)度質(zhì)量密度ρ，長(zhǎng)L。求：固有頻率及振型。解：弦的振動(dòng)：邊界條件：第r階振型為：第1階振型第2階振型第1階振型第2階振型第3階振型某特大橋結(jié)構(gòu)豎向彎曲振型圖－第1階

某特大橋結(jié)構(gòu)豎向彎曲振型圖－第2階

123m中承式鋼管混凝土拱橋橋面L/4位置跳車(chē)時(shí)各測(cè)點(diǎn)豎向加速度響應(yīng)譜圖－L/4和L/2測(cè)點(diǎn)190m中承式鋼管混凝土拱橋橋面L/4位置跳車(chē)時(shí)各測(cè)點(diǎn)豎向加速度響應(yīng)譜圖－L/8、L/4、3L/8和L/2測(cè)點(diǎn)《例》已知：L，扭矩T0，t=0時(shí)釋放。求：t>0時(shí)的運(yùn)動(dòng)。解：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：T0Lox式中：θ(x)為扭轉(zhuǎn)角，

ρ為單位體積質(zhì)量密度，G為剪切彈模。邊界條件：x＝L處，端點(diǎn)應(yīng)力（應(yīng)變）為零，由于即：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率：一階固有頻率：一階振型函數(shù)為：任意階振型i的響應(yīng)為：總響應(yīng)：初始條件：(1)t=0，各點(diǎn)速度為零，即(2)t=0，軸的靜扭轉(zhuǎn)角，于是有：各種邊界條件和初始條件：①弦：②桿：§8-2梁的彎曲振動(dòng)具有對(duì)稱(chēng)面的等截面細(xì)直梁，EI，ρ(kg/m)，取微段dx由材料力學(xué)有：QqdxMdx取q為慣性分布載荷，有類(lèi)似波動(dòng)方程，有(1)簡(jiǎn)支梁情況(鉸支－鉸支)(2)固支梁情況(固支－固支)(3萄)懸臂弱梁情弦況(固支披－自塞由)(4)自由－障自由邊恰界條件(5固)固支－溪鉸支邊伶界條件(6)鉸支－浴自由邊豈界條件(7)附加質(zhì)刻量、附績(jī)加彈簧奧的梁[例1]簡(jiǎn)支怠梁情昏況代入得求解要得[例1]簡(jiǎn)支梁皆情況簡(jiǎn)支傳梁第r階固有插頻率和裳振型分踩別為[例2]懸臂方梁情蒸況代入次得求解確得[例2]懸臂梁踐情況因?yàn)镃和D不能稍同時(shí)吊為零現(xiàn)，否婚則A和B也為零欠，是零皂解，不卵是我們執(zhí)希望的坡解。C和D非零夫解的堤條件芽是：妹矩陣捕系數(shù)慶行列趙式為停零，伯由此導(dǎo)可以摘得到航：此式是求傳解系罷統(tǒng)頻釣率的忘方程環(huán)，為趴超越伶方程醒。[例2]懸臂梁金情況固有頻盈率求解蕩可以采獲用圖解貝法或其互他方法憑，圖解越法得到論的固有謊頻率與βL的關(guān)系接為：β1Lβ2Lβ3Lβ4Lβ5Lβ6L1.8754.6947.85510.99614.13717.279§8-杜3主振熱型疊誰(shuí)加法梁的橫帝向振動(dòng)終通解為允：具有丈分布勉載荷教作用嬌的梁西橫向機(jī)振動(dòng)蠶微分御方程步為：兩邊屋乘以Φj(x斗)d災(zāi)x并對(duì)全狀梁積分簽，得：(1扭)和(2)式積分迷相減，碼得：由梁的自由橫向振動(dòng)微分方程，有實(shí)際易上，延對(duì)于澤鉸支追、固球支和潛自由宗邊界只條件叼，有當(dāng)i≠j時(shí)，ωi≠ωj，于是慘有：當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，ωi＝ωj，有泰：振動(dòng)微散分方程(*縣)式可改碑寫(xiě)為(將式(1炮)與(2)代入)：取歸辜一化郵模態(tài)洽質(zhì)量Mi＝1，則：可按霧單自饒由度明系統(tǒng)盡方法頸求解很。注意幸初始撒條件替的確籠定：§8鐘-4具有拉揪力的梁束的橫向舉振動(dòng)具有邪對(duì)稱(chēng)梁面的跑等截抵面細(xì)腹直梁犬，拉查力T，EI，ρ(k辛g/諷m)，取浮微段dxQMdxTTθxy可以得風(fēng)到兩個(gè)曾常微分川方程：對(duì)于紛兩端默鉸支屆的邊短界條展件，癢有：由(5)與(7)得：A＝B＝0另外劫式(8牙)可以輛改寫(xiě)但為：由(6)與(9)得：振型宅為：對(duì)于最兩端賴(lài)固定罵的邊砌界條疑件，駛經(jīng)過(guò)蔬推導(dǎo)雖，有捆頻率弄方程式中鈴：T－吊篩桿的倉(cāng)拉力(N初)，L－吊屠桿長(zhǎng)(m)，ρ－吊順桿的狼質(zhì)量佛密度(k倍g/籃m)，ω－吊桿阿的固有睛頻率(ra遼d/燥s)，EI－吊桿命的彎曲賀剛度(N塞m2某)。該式是仍超越函木數(shù)方程鑄，不能蛋從測(cè)得豬的頻率貫直接解供出吊桿墓的拉力橡，但可女以采用顫對(duì)分法簽或迭代背法進(jìn)行施求解，辟此時(shí)，講給定拉售力及其菌它參數(shù)粱可以求捆出吊桿岡的前幾晃階固有靠頻率，耀并將計(jì)撒算結(jié)果文與測(cè)量榆的吊桿假前幾階渠固有頻籮率進(jìn)行準(zhǔn)比較，牢若誤差安較大，研則重新撇給定拉桑力或修串改其它洗參數(shù)，逗直到計(jì)母算結(jié)果初與測(cè)試蝴結(jié)果吻保合較好伐為止。若吊到桿彎座曲剛屆度和遼質(zhì)量暫密度盾不能趴確切協(xié)知道夸又如妨何？一般過(guò)地，溉橋梁宅會(huì)有訴多對(duì)乖吊桿屈拉力碎需要權(quán)測(cè)量李，對(duì)過(guò)這些經(jīng)吊桿躲拉力敬測(cè)量還采用省整體宜誤差科極小逢化的益方法短將可常能得課到較揪好的歪測(cè)量鄰結(jié)果弦。假設(shè)需斃要測(cè)量櫻拉力的款吊桿數(shù)番為N，由于佩各桿材遞料特性張及幾何蝕特性基報(bào)本相同采，故可適設(shè)各桿頁(yè)的彎曲校剛度和楚質(zhì)量密施度均相某同，要膊通過(guò)該列式的求洪解使N根吊桿鎮(zhèn)計(jì)算得展到的固賺有頻率掙與測(cè)試綿頻率吻留合較好父，可使鮮下式具股有極小翠值：這實(shí)喝際上伙是一解個(gè)優(yōu)搏化問(wèn)集題，同