高等數(shù)學(xué)(高教版)第一章多項(xiàng)式第八節(jié)課件

高等數(shù)學(xué)(高教版)第一章多項(xiàng)式第八節(jié)課件一、代數(shù)根本定理以上我們討論了在一般數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題，現(xiàn)在來(lái)看一下在復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解.復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域既然都是數(shù)域，因此前面所得的結(jié)論對(duì)它們也是成立的.但是這兩個(gè)數(shù)域又有它們的特殊性，所以某些結(jié)論就可以進(jìn)一步具體化.對(duì)于復(fù)數(shù)域，我們有下面重要的定理：代數(shù)根本定理每個(gè)次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一根.這個(gè)定理的證明在本課程中不講，將來(lái)利用復(fù)變函數(shù)論中的結(jié)論，可以很簡(jiǎn)單地證明.利用根與一次因式的關(guān)系()代數(shù)根本定理顯然可以等價(jià)地表達(dá)為：每個(gè)次數(shù)

1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式.由此可知，在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于1的多項(xiàng)式全是可約的.換句話說(shuō)，不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式.于是，因式分解定理在復(fù)數(shù)域上可以表達(dá)成：二、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理每個(gè)次數(shù)

1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.因此，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式其中1,

2,

…,s

是不同的復(fù)數(shù)，l1,l2,…,ls是正整數(shù).標(biāo)準(zhǔn)分解式說(shuō)明了每個(gè)n

次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有n

個(gè)復(fù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).三、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理下面來(lái)討論實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的分解.對(duì)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，以下的事實(shí)是根本的，即如果是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的復(fù)根，那么的共軛數(shù)也是f(x)的根.因?yàn)樵O(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,其中a0,a1,…,an

是實(shí)數(shù).由假設(shè)f()=an

n+an-1

n-1+…+0=0.兩邊取共軛數(shù)，有f()=an

n+an-1

n-1+…+a0=0,這就是說(shuō)，f()=0，也是f(x)的根.

由此可以證明實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理

每個(gè)次數(shù)1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積.證明定理對(duì)一次多項(xiàng)式顯然成立.假設(shè)定理對(duì)次數(shù)<n

的多項(xiàng)式已經(jīng)證明.設(shè)f(x)是n

次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.由f(x)有一復(fù)根.如果是實(shí)數(shù)，那么f(x)=(x-)f1(x),其中f1(x)是n-1次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.如果不是實(shí)數(shù)，那么也是f(x)的根且.于是f(x)=(x-)(x-)f2(x).顯然(x-)(x-)=x2-(+)x+是一實(shí)系數(shù)二次不可約多項(xiàng)式.從而f2(x)是n-2次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.由歸納法假設(shè)，f1(x)或f2(x)可以分解成一次與二次不可約多項(xiàng)式的乘積，因而f

(x)也可以如此分解.證畢因此，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式其中c1,…,cs,p1,…,pr,q1,…,qr

全是實(shí)數(shù)，l1,…,ls,k1,…,kr

是正整數(shù)，并且x2+pix+qi(i=1,2,…,r)是不可約的，也就是適合條件pi2-4qi<0,i=1,2,…,r.代數(shù)根本定理雖然肯定了n次方程有n個(gè)復(fù)根，但是并沒(méi)有給出根的一個(gè)具體的求法.高次方程求根的問(wèn)題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有解決.特別是在應(yīng)用方面方程求根是一個(gè)重要的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題是相當(dāng)復(fù)雜的，它構(gòu)成了計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，在這里我們就不討論了.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,