常用微分公式

常用微分公式常用微分公式15/15~1-3~常用微分公式常用微分公式§1-3微分公式(甲)基本函數(shù)的微分公式

(1)eq\f(dxn,dx)=nxn1，nN。(2)。

(3)eq\f(dc,dx)=0，其中c為常數(shù)。(4)(sinx)/=cosx(5)(cosx)/=sinx

另一種表示：(xn)/=nxn1=eq\f(1,n)(c)/=0

證明：

(2)設(shè)a為f(x)=定義域中的任意點，

則f/(a)=eq\f(f(x)f(a),xa)

==

==eq\f(1,n)()=eq\f(1,n)()

(4)設(shè)a為任意實數(shù)，f(x)=sinx

eq\f(f(x)f(a),xa)=eq\f(sinxsina,xa)=

計算f/(a)=eq\f(f(x)f(a),xa)=()=cosa。

(1)(3)(5)自證

(乙)導(dǎo)數(shù)的四則運算

(1)f(x)與g(x)為可微分的函數(shù)。f(x)+g(x)為可微分的函數(shù)。

且eq\f(d,dx)(f(x)+g(x))=eq\f(d,dx)(f(x))+eq\f(d,dx)(g(x))成立。

另一種表示：(f(x)+g(x))/=f/(x)+g/(x)

證明：令h(x)=f(x)+g(x)，設(shè)a為h(x)定義域中的任一點

h/(a)=eq\f(h(x)h(a),xa)=

=(eq\f(f(x)f(a),xa)+eq\f(g(x)g(a),xa))=(eq\f(f(x)f(a),xa))+(eq\f(g(x)g(a),xa))

=f/(a)+g/(a)

例：求？

推論：eq\f(dx,d)(f1(x)+f2(x)+...+fn(x))=

(2)設(shè)f(x)為可微分的函數(shù)。cf(x)為可微分的函數(shù)。

且eq\f(d,dx)(cf(x))=ceq\f(df(x),dx)，特別c=1時，eq\f(d,dx)(f(x))=eq\f(df(x),dx)。

(3)，另一種表示：(f(x)g(x))/=f/(x)g/(x)

(4)eq\f(d,dx)(c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x))=c1eq\f(d,dx)(f1(x))+c2eq\f(d,dx)(f2(x))+...+cneq\f(d,dx)(fn(x))

例如：(1)eq\f(d,dx)(anxn+an1xn1+...+a1x+a0)

(2)(3x52x3+4)/=？

(5)f(x)，g(x)為可微分的函數(shù)。f(x)g(x)為可微分的函數(shù)。

且eq\f(d,dx)(f(x)g(x))=eq\f(d,dx)(f(x))g(x)+f(x)eq\f(d,dx)(g(x))

另一種表示：(f(x)g(x))/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)

證明：

例如：試求

下面我們要推導(dǎo)例2的一般情形：

(a)=

(b)(逐次輪流微分)

(c)如果，則可得例如：試求的導(dǎo)數(shù)。

證明。(6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且，

則。

因此可得：若f(x)=1，則(eq\f(1,g(x)))/=例如：試求的導(dǎo)函數(shù)。

例如：求(eq\f(1,x2+x+1))/=？

例如：設(shè)為負(fù)有理數(shù)，證明。

結(jié)論：若設(shè)r為有理數(shù)，則。求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：

(1)(x2+2x)(x2+3x+2)(2)(x2)3(x21)(3)(x2+x+1)(4x3+x4)(x+3)

(3)eq\f(3,x3+2x+1)(4)eq\f((x+1)2,(x1)3)

Ans：(1)4x3+15x2+16x+4(2)(x2)2(5x24x3)

(3)(2x+1)(4x3+x4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+(x2+x+1)(4x3+x4)

(4)eq\f(3(3x2+2),(x3+2x+1)2)(5)eq\f((x+1)(x+5),(x1)4)

請利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=sinx的結(jié)果證明：

(tanx)/=sec2x，(secx)/=secxtanx

試求下列的導(dǎo)函數(shù)：

(1)x36x2+7x11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3)(x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5

Ans：(1)3x212x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)

(3)(2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+(x+1)(2x2+2)(6x+1)

(4)5(2x3+x+1)4(6x2+1)

求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

(1)f(x)=eq\f(x3+x+1,2x2+x+3)(2)f(x)=eq\f(3x,x2+3x+1)(3)f(x)=eq\f(1,4x3+3x2+2x+1)(4)f(x)=eq\f(1,x3+2x+1)

Ans：(1)eq\f(2x4+2x3+7x24x+2,(2x2+x+3)2)(2)eq\f(3x2+3,(x2+3x+1)2)

(3)eq\f(1,(4x3+3x2+2x+1)2)(12x2+6x+2)(4)eq\f(3x22,(x3+2x+1)2)證明，

(丙)連鎖法則

(1)合成函數(shù)：

(a)設(shè)，則。

，

所以為x的函數(shù)。

(b)

(2)連鎖法則：既然為x的函數(shù)，我們就可以討論

例：設(shè)，則

利用，可得

=

上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。

定理：(連鎖法則ChainRule)

若f(x),g(y)都是可微分的函數(shù)，則合成函數(shù)亦可微分，

而且。

求？一般情形：，f(x)可微分，求=?

求f(x)=sin2x的導(dǎo)函數(shù)。Ans：2sinxcosx求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：

(1)

(2)

(3)

Ans：(1)3tan2xsec2x(2)5csc5xcot5x(3)

設(shè)n為正整數(shù)而f(x)為可微分的函數(shù)，試用連鎖律去計算(f(x))n的導(dǎo)函數(shù)。

Ans：n(f(x))n1f/(x)求eq\f(d,dx)(=？Ans：eq\f(1,5)(4x3+6x1)Ans：求下列各小題y/

(1)(2)(3)

(4)(5)

Ans：(1)(2)(3)(4)(5)計算下列各小題：

(1)(xeq\r(2x1))/=？Ans：eq\f(3x1,\r(2x1))

(2)eq\f(d,dx)(eq\f(2x+1,\r(3x5)))=？Ans：eq\f(6x23,2\r(3x5)(3x5))

(3)求f(x)=eq\f(\r(x2+1),3x+1)的導(dǎo)函數(shù)。Ans：f/(x)=eq\f(x3,(3x+1)2\r(x2+1))設(shè)可微函數(shù)f(x)滿足f(eq\f(x1,x+1))=x，則f/(0)=？Ans：2試求？試求的導(dǎo)函數(shù)。Ans：求f(x)=的導(dǎo)函數(shù)。Ans：f/(x)=，求f/(3)=？設(shè)y=(x+eq\r(1+x2))10，試求eq\f(dy,dx)=？Ans：eq\f(10,\r(1+x2))(x+eq\r(1+x2))10

求斜率為2，而與曲線y=f(x)=eq\f(1,3)x3eq\f(1,2)x2+eq\f(1,3)相切之直線方程式。

Ans：4x2y+3=0，2xy3=0求過曲線y=f(x)=eq\f(1,3)x3+x22的點，而斜率最小的切線方程式。

Ans：y+eq\f(4,3)=(1)(x+1)求通過y=x33x24x1上x=1處之切線與法線方程式。

Ans：7x+y=0，x7y50=0函數(shù)f(x)=eq\f(x21,x2+x+1)的圖形上以(0,1)為切點的切線斜率為。Ans：1設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與直線7xy8=0相切于點(2,6)，而與直線xy+1=0相切，

求a,b,c之值。Ans：a=3,b=5,c=4(85日大自然)

直角坐標(biāo)上，給定一曲線：y=x33x2，自點P(2,5)向所作的切線方程式。

Ans：3x+y1=0，15x4y50=0

過原點且與曲線y=x33x21相切之直線方程式。Ans：y=3x，y=eq\f(15,4)x。設(shè)拋物線y=ax2+bx+c過點(1,1)，且與直線xy=3相切于(2,1)。求a,b,c之值

Ans：a=3，b=11，c=9設(shè)a,b,c為實數(shù)，已知二曲線y=x2+ax+b與y=x3+c在點A(1,2)處相切，L為兩曲線在A點的公切線，試求(1)a,b,c(2)求L的方程式。

Ans：(1)a=5，b=2，c=1(2)3x+y1=0

拋物線：y=p(x)的對稱軸平行于y軸，且與x軸交于點(2,0)，并在x=1時與函數(shù)y=x4+1的圖形相切，試求p(x)=？Ans：p(x)=6x2+16x8求y=x33x，y=x33x+32兩曲線的公切線方程式。Ans：9xy+16=0

綜合練習(xí)(1)，求eq\f(dy,dx)=?(2)，求f/(eq\f(1,2))=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10，求f/(x)

Ans：(1)(2)eq\f(4\r(3),9)(3)求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(1)(2)(3)

Ans：(1)(2)

(3)試求下列個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)(6)

(7)(8)

Ans：(1)(2)(3)(4)

(5)(6)0(7)(8)(1)設(shè)，若f/(1)=2，則a=?

(2)設(shè)，則f/(2)=?Ans：(1)2(2)eq\f(13\r(5),10)設(shè)，，求=?