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文檔簡介
常用微分公式常用微分公式15/15~1-3~常用微分公式常用微分公式§1-3微分公式(甲)基本函數(shù)的微分公式
(1)eq\f(dxn,dx)=nxn1,nN。(2)。
(3)eq\f(dc,dx)=0,其中c為常數(shù)。(4)(sinx)/=cosx(5)(cosx)/=sinx
另一種表示:(xn)/=nxn1=eq\f(1,n)(c)/=0
證明:
(2)設(shè)a為f(x)=定義域中的任意點(diǎn),
則f/(a)=eq\f(f(x)f(a),xa)
==
==eq\f(1,n)()=eq\f(1,n)()
(4)設(shè)a為任意實(shí)數(shù),f(x)=sinx
eq\f(f(x)f(a),xa)=eq\f(sinxsina,xa)=
計(jì)算f/(a)=eq\f(f(x)f(a),xa)=()=cosa。
(1)(3)(5)自證
(乙)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算
(1)f(x)與g(x)為可微分的函數(shù)。f(x)+g(x)為可微分的函數(shù)。
且eq\f(d,dx)(f(x)+g(x))=eq\f(d,dx)(f(x))+eq\f(d,dx)(g(x))成立。
另一種表示:(f(x)+g(x))/=f/(x)+g/(x)
證明:令h(x)=f(x)+g(x),設(shè)a為h(x)定義域中的任一點(diǎn)
h/(a)=eq\f(h(x)h(a),xa)=
=(eq\f(f(x)f(a),xa)+eq\f(g(x)g(a),xa))=(eq\f(f(x)f(a),xa))+(eq\f(g(x)g(a),xa))
=f/(a)+g/(a)
例:求?
推論:eq\f(dx,d)(f1(x)+f2(x)+...+fn(x))=
(2)設(shè)f(x)為可微分的函數(shù)。cf(x)為可微分的函數(shù)。
且eq\f(d,dx)(cf(x))=ceq\f(df(x),dx),特別c=1時(shí),eq\f(d,dx)(f(x))=eq\f(df(x),dx)。
(3),另一種表示:(f(x)g(x))/=f/(x)g/(x)
(4)eq\f(d,dx)(c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x))=c1eq\f(d,dx)(f1(x))+c2eq\f(d,dx)(f2(x))+...+cneq\f(d,dx)(fn(x))
例如:(1)eq\f(d,dx)(anxn+an1xn1+...+a1x+a0)
(2)(3x52x3+4)/=?
(5)f(x),g(x)為可微分的函數(shù)。f(x)g(x)為可微分的函數(shù)。
且eq\f(d,dx)(f(x)g(x))=eq\f(d,dx)(f(x))g(x)+f(x)eq\f(d,dx)(g(x))
另一種表示:(f(x)g(x))/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)
證明:
例如:試求
下面我們要推導(dǎo)例2的一般情形:
(a)=
(b)(逐次輪流微分)
(c)如果,則可得例如:試求的導(dǎo)數(shù)。
證明。(6)若f(x),g(x)在x=a可微分,且,
則。
因此可得:若f(x)=1,則(eq\f(1,g(x)))/=例如:試求的導(dǎo)函數(shù)。
例如:求(eq\f(1,x2+x+1))/=?
例如:設(shè)為負(fù)有理數(shù),證明。
結(jié)論:若設(shè)r為有理數(shù),則。求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):
(1)(x2+2x)(x2+3x+2)(2)(x2)3(x21)(3)(x2+x+1)(4x3+x4)(x+3)
(3)eq\f(3,x3+2x+1)(4)eq\f((x+1)2,(x1)3)
Ans:(1)4x3+15x2+16x+4(2)(x2)2(5x24x3)
(3)(2x+1)(4x3+x4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+(x2+x+1)(4x3+x4)
(4)eq\f(3(3x2+2),(x3+2x+1)2)(5)eq\f((x+1)(x+5),(x1)4)
請(qǐng)利用(sinx)/=cosx,(cosx)/=sinx的結(jié)果證明:
(tanx)/=sec2x,(secx)/=secxtanx
試求下列的導(dǎo)函數(shù):
(1)x36x2+7x11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3)(x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5
Ans:(1)3x212x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)
(3)(2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+(x+1)(2x2+2)(6x+1)
(4)5(2x3+x+1)4(6x2+1)
求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。
(1)f(x)=eq\f(x3+x+1,2x2+x+3)(2)f(x)=eq\f(3x,x2+3x+1)(3)f(x)=eq\f(1,4x3+3x2+2x+1)(4)f(x)=eq\f(1,x3+2x+1)
Ans:(1)eq\f(2x4+2x3+7x24x+2,(2x2+x+3)2)(2)eq\f(3x2+3,(x2+3x+1)2)
(3)eq\f(1,(4x3+3x2+2x+1)2)(12x2+6x+2)(4)eq\f(3x22,(x3+2x+1)2)證明,
(丙)連鎖法則
(1)合成函數(shù):
(a)設(shè),則。
,
所以為x的函數(shù)。
(b)
(2)連鎖法則:既然為x的函數(shù),我們就可以討論
例:設(shè),則
利用,可得
=
上式并不是巧合,一般的情形亦是如此。
定理:(連鎖法則ChainRule)
若f(x),g(y)都是可微分的函數(shù),則合成函數(shù)亦可微分,
而且。
求?一般情形:,f(x)可微分,求=?
求f(x)=sin2x的導(dǎo)函數(shù)。Ans:2sinxcosx求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):
(1)
(2)
(3)
Ans:(1)3tan2xsec2x(2)5csc5xcot5x(3)
設(shè)n為正整數(shù)而f(x)為可微分的函數(shù),試用連鎖律去計(jì)算(f(x))n的導(dǎo)函數(shù)。
Ans:n(f(x))n1f/(x)求eq\f(d,dx)(=?Ans:eq\f(1,5)(4x3+6x1)Ans:求下列各小題y/
(1)(2)(3)
(4)(5)
Ans:(1)(2)(3)(4)(5)計(jì)算下列各小題:
(1)(xeq\r(2x1))/=?Ans:eq\f(3x1,\r(2x1))
(2)eq\f(d,dx)(eq\f(2x+1,\r(3x5)))=?Ans:eq\f(6x23,2\r(3x5)(3x5))
(3)求f(x)=eq\f(\r(x2+1),3x+1)的導(dǎo)函數(shù)。Ans:f/(x)=eq\f(x3,(3x+1)2\r(x2+1))設(shè)可微函數(shù)f(x)滿足f(eq\f(x1,x+1))=x,則f/(0)=?Ans:2試求?試求的導(dǎo)函數(shù)。Ans:求f(x)=的導(dǎo)函數(shù)。Ans:f/(x)=,求f/(3)=?設(shè)y=(x+eq\r(1+x2))10,試求eq\f(dy,dx)=?Ans:eq\f(10,\r(1+x2))(x+eq\r(1+x2))10
求斜率為2,而與曲線y=f(x)=eq\f(1,3)x3eq\f(1,2)x2+eq\f(1,3)相切之直線方程式。
Ans:4x2y+3=0,2xy3=0求過曲線y=f(x)=eq\f(1,3)x3+x22的點(diǎn),而斜率最小的切線方程式。
Ans:y+eq\f(4,3)=(1)(x+1)求通過y=x33x24x1上x=1處之切線與法線方程式。
Ans:7x+y=0,x7y50=0函數(shù)f(x)=eq\f(x21,x2+x+1)的圖形上以(0,1)為切點(diǎn)的切線斜率為。Ans:1設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與直線7xy8=0相切于點(diǎn)(2,6),而與直線xy+1=0相切,
求a,b,c之值。Ans:a=3,b=5,c=4(85日大自然)
直角坐標(biāo)上,給定一曲線:y=x33x2,自點(diǎn)P(2,5)向所作的切線方程式。
Ans:3x+y1=0,15x4y50=0
過原點(diǎn)且與曲線y=x33x21相切之直線方程式。Ans:y=3x,y=eq\f(15,4)x。設(shè)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(1,1),且與直線xy=3相切于(2,1)。求a,b,c之值
Ans:a=3,b=11,c=9設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),已知二曲線y=x2+ax+b與y=x3+c在點(diǎn)A(1,2)處相切,L為兩曲線在A點(diǎn)的公切線,試求(1)a,b,c(2)求L的方程式。
Ans:(1)a=5,b=2,c=1(2)3x+y1=0
拋物線:y=p(x)的對(duì)稱軸平行于y軸,且與x軸交于點(diǎn)(2,0),并在x=1時(shí)與函數(shù)y=x4+1的圖形相切,試求p(x)=?Ans:p(x)=6x2+16x8求y=x33x,y=x33x+32兩曲線的公切線方程式。Ans:9xy+16=0
綜合練習(xí)(1),求eq\f(dy,dx)=?(2),求f/(eq\f(1,2))=?(3)f(x)=x3(x3+5x)10,求f/(x)
Ans:(1)(2)eq\f(4\r(3),9)(3)求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):(1)(2)(3)
Ans:(1)(2)
(3)試求下列個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):(1)(2)(3)(4)(5)(6)
(7)(8)
Ans:(1)(2)(3)(4)
(5)(6)0(7)(8)(1)設(shè),若f/(1)=2,則a=?
(2)設(shè),則f/(2)=?Ans:(1)2(2)eq\f(13\r(5),10)設(shè),,求=?
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