安徽省阜陽市雙廟中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

安徽省阜陽市雙廟中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(

)A．2

B．3 C．5

D．6參考答案：C2.如圖:圖①、圖②、圖③、圖④分別包含1、5、13和25個(gè)互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第n個(gè)圖包含的單位正方形的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)圖①、圖②、圖③、圖④分別包括1，5，13，和25個(gè)互不重疊的單位正方形，尋找規(guī)律，可得第個(gè)圖包含個(gè)互不重疊的單位正方形，求和即可得到答案。【詳解】設(shè)第個(gè)圖包含個(gè)互不重疊的單位正方形，圖①、圖②、圖③、圖④分別包括1，5，13，和25個(gè)互不重疊的單位正方形，，，，，由此類推可得：經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件。故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理能力，解題的關(guān)鍵是研究相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系得出遞推公式，再由累加法法得出第項(xiàng)的表達(dá)式，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出答案，屬于中檔題。3.已知橢圓，若其長(zhǎng)軸在軸長(zhǎng)，且焦距為，則等于（

）． A． B． C． D．參考答案：D由題意可知，，，解得．故選．4.下列命題中，真命題是（

）A．若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直B．若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的平行線，那么這兩個(gè)平面相互平行C．若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于平面內(nèi)的任意直線D．若一條直線同時(shí)平行于兩個(gè)不重合的平面，則這兩個(gè)平面平行參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)線面的位置關(guān)系【試題解析】因?yàn)锳是一個(gè)定理，當(dāng)然正確。而B、C、D均與定理有不同的地方，都能找到反例，都不正確。所以，只有A正確

故答案為：A5.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（）A． B． C．3 D．1參考答案：B【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部的概念得出答案即可．【解答】解：，其虛部為：．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念、利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)．解題的關(guān)鍵是要牢記對(duì)于分式類型的復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)要分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)！6.在四邊形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為（

）A．平行四邊形

B．矩形

C．梯形

D．菱形參考答案：C7.等差數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于（

）A.30

B.45

C.90

D.186參考答案：C略8.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.2參考答案：A【分析】由垂直關(guān)系得出漸近線的斜率，再轉(zhuǎn)化為離心率的方程即可．【詳解】∵雙曲線的一條漸近線與直線垂直，∴，，，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線，掌握兩直線垂直的充要條件是解題基礎(chǔ)．9.已知命題p：?x∈N,2x>1000，則￢p為()A．?x∈N,2x≤1000

B．?x∈N,2x>1000C．?x∈N,2x≤1000

D．?x∈N,2x<1000參考答案：A10.在數(shù)列{an}中，=1，，則的值為(

)A．17

B．19

C．21

D．23參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列命題：①直線l的方向向量為=（1，﹣1，2），直線m的方向向量=（2，1，﹣），則l與m垂直；②直線l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），則l⊥α；③平面α、β的法向量分別為=（0，1，3），=（1，0，2），則α∥β；④平面α經(jīng)過三點(diǎn)A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1．其中真命題的是

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）參考答案：①④【考點(diǎn)】平面的法向量．【分析】①根據(jù)直線l、m的方向向量與垂直，得出l⊥m；②根據(jù)直線l的方向向量與平面α的法向量垂直，不能判斷l(xiāng)⊥α；③根據(jù)平面α、β的法向量與不共線，不能得出α∥β；④求出向量與的坐標(biāo)表示，再利用平面α的法向量，列出方程組求出u+t的值．【解答】解：對(duì)于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直線l與m垂直，①正確；對(duì)于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l(xiāng)∥α或l?α，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴與不共線，∴α∥β不成立，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，∵點(diǎn)A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；則u+t=1，④正確．綜上，以上真命題的序號(hào)是①④．故答案為：①④．12.直線x﹣ysinθ+1=0（θ∈R）的傾斜角范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】I2：直線的傾斜角．【分析】由直線的傾斜及和斜率的關(guān)系，以及正切函數(shù)的值域可得．【解答】解：設(shè)直線x﹣ysinθ+1=0的傾斜角為α，當(dāng)時(shí)，則sinθ=0，符合題意，當(dāng)時(shí)，sinθ≠0，可得直線的斜率k=，又∵0＜α＜π，∴或．綜上滿足題意的傾斜角范圍為：故答案為：13.若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_________．參考答案：略14.函數(shù)f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在區(qū)間（﹣∞，4]上遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣3]【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】f（x）是二次函數(shù)，所以對(duì)稱軸為x=1﹣a，所以要使f（x）在區(qū)間（﹣∞，4]上遞減，a應(yīng)滿足：4≤1﹣a，解不等式即得a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1﹣a；∵f（x）在區(qū)間（﹣∞，4]上遞減；∴4≤1﹣a，a≤﹣3；∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]．故答案為：（﹣∞，﹣3]．15.已知直線：和直線：，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和距離之和的最小值是

．參考答案：216.下列四個(gè)命題：①當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=；②已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1；③拋物線y=ax2（a≠0）的準(zhǔn)線方程為y=；④已知雙曲線，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）．其中正確命題的序號(hào)是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）參考答案：①②③④【分析】對(duì)于①，先救出直線恒過的定點(diǎn)，再求出符合條件的拋物線方程，判斷得①正確；②中根據(jù)漸近線方程求得a和b的關(guān)系進(jìn)而根據(jù)焦距求得a和b，橢圓方程可得．③把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得拋物線的準(zhǔn)線方程．④根據(jù)離心率的范圍求得m的取值范圍判斷④正確．【詳解】①整理直線方程得（x+2）a+（1﹣x﹣y）=0，可知直線（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒過定點(diǎn)P（﹣2，3），故符合條件的方程是，則①正確；②依題意知=2，a2+b2=25，得a=，b=2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故可知結(jié)論②正確．③拋物線方程得x2=y，可知準(zhǔn)線方程為，故③正確．④離心率1＜e=＜2，解得﹣12＜m＜0，又m＜0，故m的范圍是﹣12＜m＜0，④正確，故其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是：4故選：D．【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．17.設(shè)向量=（1，x），=（﹣2，2﹣x），若∥，則x=

．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】根據(jù)即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可求出x的值．【解答】解：∵；∴1?（2﹣x）﹣（﹣2）?x=0；解得x=﹣2．故答案為：﹣2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A（﹣1，0），B（1，0），圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，|CP|=1（從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等），動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M．（I）求曲線M的方程；（Ⅱ）設(shè)直線BC與曲線M的另一交點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)A在以線段CD為直徑的圓上時(shí)，求直線BC的方程．參考答案：【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（I）由題意，可得曲線M是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（挖去與x軸的交點(diǎn)），從而可得求曲線M的方程；（Ⅱ）設(shè)與直線BC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消x，利用韋達(dá)定理，結(jié)合=0，即可求直線BC的方程．【解答】解：（I）由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，所以曲線M是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（挖去與x軸的交點(diǎn)），所以a=2，c=1，所以b=，所以曲線M：（y≠0）為所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）注意到直線BC的斜率不為0，且過定點(diǎn)B（1，0），設(shè)直線BC的方程為x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，消x得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，所以y1+y2=﹣，y1y2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因?yàn)?（my1+2，y1），=（my2+2，y2），所以=（my1+2）（my2+2）+y1y2=注意到點(diǎn)A在以CD為直徑的圓上，所以=0，即m=±，﹣﹣﹣﹣﹣所以直線BC的方程或?yàn)樗螅仼?9.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí),求不等式的解集；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)(2)【分析】（1）把代入，利用分類討論法去掉絕對(duì)值求解；（2）先求的最小值，然后利用這個(gè)最小值不小于2可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為當(dāng)時(shí)，不等式為，即，有；當(dāng)時(shí)，不等式為，即，有；當(dāng)時(shí)，不等式為，即，有；綜上所述，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集為.（2），即.當(dāng)時(shí)，不恒成立；當(dāng)時(shí)，，有，即.當(dāng)時(shí)，有，即綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法及恒成立問題，絕對(duì)值不等式的解法一般是利用分類討論來解決.20.已知數(shù)列{an}滿足，，（1）當(dāng)時(shí)，求證{}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等比關(guān)系的確定．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；換元法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）通過對(duì)變形可知an+1﹣=（an﹣），利用即得結(jié)論；（2）通過（1）及等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵，∴an+1﹣=（an﹣），又∵，∴