人教B版必修第一冊2.1.2一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系作業(yè)

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系(25分鐘·50分)一、單項選擇題(每題5分，共20分)1．將方程3x2－6x＋2＝0配方正確的選項是()A．3(x－1)2＝5B．3(x－1)2＝1C．3(x－2)2＝10D．3(x－2)2＝14【解析】選B.由3x2－6x＋2＝0得3(x2－2x＋1)＝3－2?3(x－1)2＝1.2．關(guān)于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有實數(shù)根，那么a滿意()A．a(chǎn)≥－4且a≠0B．a(chǎn)＞4且a≠0C．a(chǎn)≥4D．a(chǎn)≠0【解析】選A.由于關(guān)于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有實數(shù)根，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0,Δ＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))2－4a×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))≥0))，解得a≥－4且a≠0.3．m，n是方程2x2－x－2＝0的兩個實數(shù)根，那么eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值為()A．－1B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．1【解析】選C.由m，n是方程2x2－x－2＝0的兩個實數(shù)根，那么m＋n＝eq\f(1,2)，mn＝－1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(m＋n,mn)＝eq\f(\f(1,2),－1)＝－eq\f(1,2).4．關(guān)于x的一元二次方程2x2＋ax－2a＋1＝0的兩個實數(shù)根的平方和為4，那么實數(shù)a的值為(A．4B．－10C．2D．－10或2【解析】選C.方程有實根，那么Δ＝a2－8(－2a＋1)≥0，解得a≤－8－6eq\r(2)或a≥－8＋6eq\r(2)，設(shè)方程的兩根為x1，x2，那么x1＋x2＝－eq\f(a,2)，x1x2＝eq\f(－2a＋1,2)，所以xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(a2,4)＋2a－1＝4，解得a＝2(a＝－10舍去).【名師點睛】此題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題中利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2，x1x2，然后利用x1＋x2，x1x2去化簡求值，這里有一個前提條件：方程有實解，因此有個隱含條件：Δ≥0，由此求出參數(shù)的范圍，只有在這個范圍內(nèi)的參數(shù)值才是所求解．二、多項選擇題(每題5分，共10分，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)5．關(guān)于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下說法正確的選項是()A．當(dāng)m＝0時，方程只有一個實數(shù)根B．當(dāng)m＝1時，方程有兩個相等的實數(shù)根C．當(dāng)m＝－1時，方程沒有實數(shù)根D．當(dāng)m＝2時，方程有兩個不相等的實數(shù)根【解析】選AB.當(dāng)m＝0時，方程化為－4x＋5＝0，解得x＝eq\f(5,4)，此時方程只有一個實數(shù)根，A正確；當(dāng)m＝1時，方程化為x2－4x＋4＝0，由于Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，所以此時方程有兩個相等的實數(shù)根，B正確；當(dāng)m＝－1時，方程化為－x2－4x＋6＝0，由于Δ＝(－4)2－4×(－1)×6＞0，所以此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，C錯誤；當(dāng)m＝2時，方程化為2x2－4x＋3＝0，由于Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，所以此時方程無實數(shù)根，D錯誤．6．關(guān)于x的方程x2－ax＋2a＝0的兩根的平方和為45，那么a的值可能為(A．－9B．－5C．5D．9【解析】選BD.設(shè)方程的兩根為x1，x2，由題意，得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝45.所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45.由于x1＋x2＝a，x1x2＝2a所以a2－2×2a＝解得a1＝－5，a2＝9.又由于Δ＝a2－8a當(dāng)a＝－5時，Δ>0，此時方程有兩實數(shù)根．當(dāng)a＝9時，Δ>0，此時方程有兩實數(shù)根．三、填空題(每題5分，共10分)7．方程4x2－12x＝3的解為________．【解析】由于4x2－12x＝3，所以4x2－12x－3＝0，由于a＝4，b＝－12，c＝－3，所以Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×(－3)＝192>0所以x＝eq\f(－〔－12〕±\r(192),2×4)＝eq\f(12±8\r(3),8)＝eq\f(3±2\r(3),2).答案：x＝eq\f(3±2\r(3),2)【補(bǔ)償訓(xùn)練】一元二次方程x2－2x－1＝0的解集是()A．{1}B．{1＋eq\r(2)，－1－eq\r(2)}C．{1＋eq\r(2)，1－eq\r(2)}D．{－1＋eq\r(2)，－1－eq\r(2)}【解析】選C.方程x2－2x－1＝0，移項得：x2－2x＝1，配方得：x2－2x＋1＝2，即(x－1)2＝2，開方得：x－1＝±eq\r(2)，解得：x＝1＋eq\r(2)或x＝1－eq\r(2)，所以原方程的解集為{1＋eq\r(2)，1－eq\r(2)}．8．假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程eq\f(1,2)x2－2kx＋1－4k＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么代數(shù)式(k－2)2＋2k(1－k)的值為________．【解析】由于關(guān)于x的一元二次方程eq\f(1,2)x2－2kx＋1－4k＝0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ＝(－2k)2－4×eq\f(1,2)×(1－4k)＝0，整理得，2k2＋4k－1＝0，即k2＋2k＝eq\f(1,2)，所以(k－2)2＋2k(1－k)＝k2－4k＋4＋2k－2k2＝－k2－2k＋4＝－(k2＋2k)＋4＝－eq\f(1,2)＋4＝3eq\f(1,2).答案：3eq\f(1,2)四、解答題(共10分)9．(2022·撫順高一檢測)關(guān)于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝(1)假設(shè)方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)假設(shè)方程兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿意xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝31＋x1x2，求實數(shù)m的值．【解題指南】(1)利用判別式的意義得到(2m＋3)2－4(m2＋2)≥0(2)依據(jù)題意x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2，由條件得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝31＋x1x2，再利用完全平方公式得(x1＋x2)2－3x1x2－31＝0，所以(2m＋3)2－3(m2＋2)－31＝0，然后解關(guān)于m的方程，最終利用m的范圍確定滿意條件的m的值．【解析】(1)依據(jù)題意得(2m＋3)2－4(m2＋2)≥0，解得m≥－eq\f(1,12)；(2)依據(jù)題意x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝31＋x1x2，即(x1＋x2)2－3x1x2－31＝0，所以(2m＋3)2－3(m2＋2)－31＝0，整理得m2＋12m－28＝0，解得m1＝－14，m2＝2，而m≥－eq\f(1,12)，所以m＝2.(20分鐘·40分)1．(5分)α，β是一元二次方程x2－4x－3＝0的兩實根，那么代數(shù)式(α－3)(β－3)的值是()A．7B．1C．5D．－6【解析】選D.由于α，β是一元二次方程x2－4x－3＝0的兩實根，所以α＋β＝4，αβ＝－3，所以(α－3)(β－3)＝αβ－3(α＋β)＋9＝－3－3×4＋9＝－6.【補(bǔ)償訓(xùn)練】假設(shè)α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的兩個不相等的根，那么α2－3β的值是()A．3B．15C．－3D．－【解析】選B.由于α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的兩個不相等的根，所以α2＋3α－6＝0，即α2＝6－3α，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：α＋β＝－3，所以α2－3β＝6－3α－3β＝6－3(α＋β)＝6－3×(－3)＝15.2．(5分)(多項選擇題)(2022·濰坊高一檢測)關(guān)于x的方程x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－3))x＋m＝0，那么以下結(jié)論中正確的選項是()A．方程有一個正根一個負(fù)根的充要條件是m∈{m|m<0}B．方程有兩個正根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}C．方程無實數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}D．當(dāng)m＝3時，方程的兩個實數(shù)根之和為0【解析】選選項中，方程有一個正根一個負(fù)根，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－3))2－4m>0,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))<0))，即m<0；同時m<0時方程有一個正根一個負(fù)根；m<0是方程有一個正根一個負(fù)根的充要條件．B選項中，方程有兩個正根，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－3))2－4m≥0,－\f(b,2a)＝\f(3－m,2)>0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))>0))即0<m≤1；同時0<m≤1時方程有兩個正根；0<m≤1是方程有兩個正根的充要條件．C選項中，方程無實數(shù)根，那么Δ＝(m－3)2－4m<0即1<m<9而m>1時方程可能無實根也可能有實根；故m>1是方程無實數(shù)根的必要條件．D選項中，m＝3時，x2＋3＝0，知方程無實根．3．(5分)(2022·北京高一檢測)一元二次方程x2＋3x－1＝0的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝__________；|x1－x2|＝__________．【解析】由題意，Δ＝b2－4ac＝9＋4＝13＞0由根與系數(shù)的關(guān)系可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(3,1)＝－3,x1·x2＝－1))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))2－4x1x2)＝eq\r(13).答案：－3eq\r(13)【補(bǔ)償訓(xùn)練】關(guān)于x的一元二次方程x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m－1))x＋m2＝0有兩個實數(shù)根x1和x2，當(dāng)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝0時，m的值為________．【解題指南】依據(jù)一元二次方程有解的條件，Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m－1))2－4m2≥0解出m的范圍，再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出x1＋x2，x1x2，結(jié)合條件即可求出滿意題意的m值．【解析】由題意得Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m－1))2－4m2≥0，解得m≤eq\f(1,4).由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－(2m－1)，x1x2＝m2由xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.假設(shè)x1＋x2＝0，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m－1))＝0，解得m＝eq\f(1,2).由于eq\f(1,2)>eq\f(1,4)，可知m＝eq\f(1,2)不合題意，舍去；假設(shè)x1－x2＝0，即x1＝x2，由Δ＝0，得m＝eq\f(1,4).故當(dāng)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝0時，m＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)4．(5分)等腰三角形的三邊長分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－8x＋n－2＝0的兩根，那么n的值為________．【解析】當(dāng)2為底邊長時，那么a＝b，a＋b＝8，所以a＝b＝4.由于4，4，2能圍成三角形，所以n－2＝4×4，解得n＝18.當(dāng)2為腰長時，a，b中有一個為2，那么另一個為6.由于6，2，2不能圍成三角形，所以此種狀況不存在．答案：185．(10分)(2022·海淀高一檢測)關(guān)于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0有兩個實數(shù)根．(1)假設(shè)k＝1，且方程的兩根為x1和x2，求eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)的值．(2)假設(shè)方程兩根的平方和為11，求實數(shù)k的值．【解析】(1)當(dāng)k＝1時，方程為x2＋3x－1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1＋x2＝－3，x1x2＝－1，那么eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－3,－1)＝3.(2)依據(jù)題意設(shè)方程的兩根為x1，x2，所以x1＋x2＝－(2k＋1)，x1x2＝k2－2由于Δ＝(2k＋1)2－4(k2－2)＝4k＋9≥0，所以k≥－eq\f(9,4)，由于xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝(x1＋x2)2－2x1x2＝11，所以(2k＋1)2－2(k2－2)＝11，解得k＝1或－3(舍去).綜上所述，實數(shù)k的值為1.6．(10分)關(guān)于x的方程mx2－(m－1)x－1＝0.(1)求證：對于任意實數(shù)m，方程總有實數(shù)根；(2)假設(shè)x1，x2是原方程的兩根，且eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝2x1x2＋1，求m的值(m≠0).【解析】(1)當(dāng)m＝0時，方程化為x－1＝0，即x＝1，方程有一個實根；當(dāng)m≠0時，Δ＝[－(m－1)]2－4m×(－1)＝(m＋1)2≥0綜上，對于任意實數(shù)m，方程總有實數(shù)根．(2)由于x1，x2是方程mx2－(m－1)x－1＝0的兩根，所以x1＋x2＝eq\f(m－1,m)，x1x2＝－eq\f(1,m).又由于eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝2x1x2＋1，所以eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))2－2x1x2,x1x2)＝2x1x2＋1，所以eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－1,m)))2－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m))),－\f(1,m))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))＋1，整理得m2＋m－1＝0，解得m＝eq\f(－1＋\r(5),2)或m＝eq\f(－1－\r(5),2).在“①A∩R＝?，②A恰有兩個子集，③A∩eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))≠?〞這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在以下橫線中，求解以下問題．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(mx2－2x＋1＝0))))，(1)假設(shè)1∈A，求實數(shù)