幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究-學位論文

幾何畫板與動態(tài)型中考題的整合研究PAGEPAGE65中文摘要隨著幾何畫板在數學解題上的廣泛應用，學生在理解動態(tài)型題目過程中能輕松將抽象的數學語言轉化為具體圖像表達，但學生只是看到教師的演示，缺少自己動手操作的過程。本文以全國各省市近三年典型動態(tài)型中考試題為例，把題目主要分為旋轉、翻折、平移三大類。借助幾何畫板制作出相應的解題課件，師生能親自動手操作，從而更好地分析這三類變換的解題特點。本文結合幾何畫板課件，展現完整的探究過程，讓師生在動態(tài)中體驗這三類變換的變與不變，獲得清晰的解題思路。并記錄了詳細的課件制作步驟，圖文并茂，可作為簡易教程供教師參考。關鍵詞：旋轉，平移，翻折，幾何畫板，中考題，動態(tài)展示，簡易教程ABSTRACTWiththeGeometer'sSketchpadinmathematicsproblemsolvingonawiderangeofapplications,thestudentscaneasilytranslatetheabstractmathematicallanguageintospecificimageexpressioninordertounderstandthedynamicsubjectprocess.Butthestudentsjusttoseetheteacher'sdemonstrationwiththelackoftheirownoperationprocess.Inthispaperasthevariousprovincesandcitiesnationwidethetypicaldynamictypeseniorhighschoolentranceexaminationquestionsinrecentthreeyearsforexample,thesubjectismainlydividedintorotation,folding,translation.Usinggeometricsketchpadtoproducecorrespondingsolvingcourseware,teachersandstudentscanhands-onoperation,therebybetteranalysthesethreekindsoftransformexercises.InthispapertheGeometer'sSketchpadcoursewaredisplaysafullinvestigationprocess,makingteachersandstudentsexperiencethechangedandunchangedofthisthreekindoftransformationsinadynamictypeandgetaclearthinking.Thispaperrecordthedetailsofthestepsofmakingcoursewareillustrately.Anditcanbeusedasasimpletutorialforteachers.Keywords:rotation,translation,folding,theGeometer'sSketchpad,seniorhighschoolentranceexaminationproblem,dynamicdisplay,simpletutorial 目錄1．引言 42.翻折類問題 42.1例1（2009年鄂州市） 42.1.1動態(tài)體現 52.1.2探究過程展現 52.1.3關鍵制作步驟： 72.1.4滿分解答 102.2例2（2009年福州市） 122.2.1動態(tài)體現 122.2.2探究過程展現 132.2.3關鍵制作步驟 172.2.4滿分解答 243旋轉類問題 263.1例3（2009年山東德州） 273.1.1動態(tài)體現 273.1.2探究過程展現 273.1.3課件制作步驟要點 303.1.4滿分解答 343.2例4（2010湖南常德市） 353.2.1動態(tài)體現 353.2.2探究過程展現 353.2.3課件制作步驟要點 383.2.4滿分解答 424．平移類問題 444.1例5(2010四川眉山) 444.1.1動態(tài)體驗 454.1.2探究過程展現 454.1.3課件制作步驟要點 484.1.4滿分解答 514.2例6（2009年浙江義烏）（平移與旋轉結合） 524.2.1動態(tài)體現 524.2.2探究過程展現 534.2.3關鍵制作步驟 564.2.4滿分解答 631．引言平移、旋轉和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據確定的法則，對給定的圖形(或其一部分)施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系。這類實體的特點是：結論開放，研究目標不確定，注重考查學生的猜想、探索能力，因此時常使學生無從下手。而幾何畫板具有動態(tài)演示交互、計算精確等特點，非常適合于解決平移、旋轉和翻折這三大類動態(tài)型問題。本文結合幾何畫板課件，通過展現完整的探究過程，，輕松突破了以上難點。通過幾何畫板這個工具，一來能讓我們直觀地感知題目條件，快速清晰地理解題意；二來提供一個實驗探究平臺，利用它學生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發(fā)現的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經驗背景，從而更有助于學生對題目的理解和證明，使學生從過去的"聽數學"轉變?yōu)楝F在的"做數學"。2.翻折類問題翻折：翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180o后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線就是對稱軸。解這類題抓住翻折前后兩個圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。2.1例1（2009年鄂州市）如圖27所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO為邊作矩形CMNO(1)試比較EO、EC的大小，并說明理由。(2)令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由。(3)在(2)的條件下，若CO＝1，CE＝，Q為AE上一點且QF＝，拋物線y＝mx2+bx+c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式。(4)在(3)的條件下，若拋物線y＝mx2+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似?若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標?若不存在，請說明理由。2.1.1動態(tài)體現請打開幾何畫板文件名“翻折1”2.1.2探究過程展現該題的主要變量是矩形OABC的大小，主要不變量是△AOE的翻折。（1）翻折的動態(tài)演示。點擊“翻折”按鈕，可觀察到翻折的動態(tài)過程。點擊“返回”按鈕，可看到三角形返回的過程。同時下面設置了兩個按鈕，可隨意改變矩形OABC的大小。圖2-1(2)對于第一問：試比較EO、EC的大小，并說明理由。這是翻折后的圖形，此時可以觀察到EO的長度≥EC的長度。如圖2-1-2點擊“改變C”或者“改變A”按鈕，改變點F在BC上的位置。再度觀察EO與EC的長度。在這個過程中會發(fā)現：當點F越來越靠近點C時，CE與EO的長度會越來越接近。只有當點F與點C重合時，EO與EC的長度相等，其他情況EO的長度>EC的長度。如圖2-1-2.3。圖2-1-2.2圖2-(3)對于第二問：令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由。用幾何畫板操作時，我發(fā)現題目有2個地方都出錯了。第一處錯得地方是該比值：，分母是四邊形CNMN應改為四邊形CNMO.第二處錯誤的地方是：按照題目讓CM＝｜CF—EO｜是不行的。算出來的m不是一個定值，它會隨著矩形OABC的改變而改變。如圖2-1-2.4與圖2-1-2.5。圖2-1-2.4圖2-因此CM＝｜CF—EO｜肯定是不對的。那么CM到底等于多少呢？直覺告訴我，CM=｜CE—EO｜.果然，試驗了一下成功了。任意改變矩形OABC的大小，m始終等于1。如圖2-1-2.6與圖2-1圖2-1-2.6圖2-1如果不是有了幾何畫板的探究，不管是學生還是老師，也許將耗費很多的時間在該題上依舊一無所獲。所以用幾何畫板去探究題目，不僅直觀，而且是檢驗題目的正確性的一個很好的工具。因此用幾何畫板解題是很有必要的。(4)第三問、第四問，略。2.1.3關鍵制作步驟：（1）建立直角坐標系，分別在橫軸與縱軸上取一段線段，再在上面分別取一點，分別命名為C和A。建立點C和點A的動畫點。這樣就能隨意改變矩形ABCO的大小。成功構造出變量。如圖2-1-3.1。圖2-1（2）為了確定折痕的位置，如圖2-1-3.2所示，設OE=x,BC=b，CO=a,則解得x=OE=。圖2-1-則以O為圓心，為半徑作圓，交OC于點E.如圖2-1-3.3所示，找出折痕點E。圖2-1-（3）連接AE，連接EF，OF，則△AEF是△AEO沿著線段AE翻折得到的。如圖2-1-3.4。圖2-1-（4）如圖2-1-3.5，以OF的中點G為圓心，OG為半徑作圓。在圓上取點I，連接EI,IA.分別作I移動到點O得動畫，命名為“返回”。作I移動到F的動畫，命名為“翻折”。此步驟是為了構造出翻折效果。而這一步的關鍵是找到一個大小適中的圓。圖2-1-（5）如圖2-1-3.6，隱藏圓與線段OF，度量出CE與EO的長度。從而能使學生第一時間直觀感知CE與EO的相對大小，可讓學生從結論出發(fā)，思考解答思路。完成第一問。圖2-1-（6）制作第二問：計算出|CE-EO|的大小。且以C為原點，|CE-EO|的長度為半徑作圓。作直線CF，交圓于點M。過M作CF的垂線交x軸于N。作正方形CFGH.如圖2-1-3.7。圖2-1-（7）構造四邊形CMNO與四邊形CFGH，度量出其面積比m,完成。如圖2-1-3.8。

圖2-1-滿分解答（1）EO＞EC，理由如下：由折疊知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF為斜邊，∴EF＞EC，故EO＞EC（2）m為定值∵S四邊形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)S四邊形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC)·CO∴（3）∵CO=1，∴EF=EO=∴cos∠FEC=∴∠FEC=60°，∴∴△EFQ為等邊三角形，作QI⊥EO于I，EI=，IQ=∴IO=∴Q點坐標為∵拋物線y=mx2+bx+c過點C(0，1)，Q，m=1∴可求得，c=1∴拋物線解析式為（4）由（3），當時，＜AB∴P點坐標為∴BP=AO方法1：若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下：①時，∴K點坐標為或②時，∴K點坐標為或故直線KP與y軸交點T的坐標為方法2：若△BPK與△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，過P作PR⊥y軸于R，則∠RTP=60°或30°①當∠RTP=30°時，②當∠RTP=60°時，∴2.2例2（2009年福州市）已知：如圖12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5cm，CD＝6cm，∠DCB＝60°，∠ABC＝90°。等邊三角形MPN（N為不動點）的邊長為cm，邊MN和直角梯形ABCD的底邊BC都在直線上，NC＝8cm。將直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得到圖形①，翻折二次得圖形②，如此翻折下去。（1）將直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長a≥2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？（2）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，這時等邊三角形的邊長a至少應為多少？（3）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形面積的一半，這時等邊三角形的邊長應為多少？2.2.1動態(tài)體現請打開幾何畫板文件名“翻折2”。2.2.2探究過程展現該題的主要變量是：等邊三角形MNP的大小，主要不變量是：直角梯形ABCD的大小。對于第一問：將直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長a≥2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？（1）如圖2-2-2.1，圖2-2-2.2。在GH直線上.移動點H或選中H點按“左右鍵”，即可改變等邊三角形PMN的邊長，因為GH的長度就是等邊三角形PMN的邊長大小。同時可觀察到當a>2cm時，重疊部分的面積不會改變。從而為學生解題提供結論性的幫助。圖2-2-圖2-2-（2）如圖2-2-2.3與圖2-2-2.4?？梢园l(fā)現當a=2時，三角形的邊PM與梯形的斜邊重合。因此a=2是一個臨界點，當a<2時，重疊面積小于等邊三角形的面積。因此題目要求a≥2cm就是這個原因。圖2-2-圖2-2-對于第二問:將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，這時等邊三角形的邊長a至少應為多少？（3）移動點H，或選中點H按“左右鍵”，以改變等邊三角形的大小，觀察重疊部分的變化?；蛘咭苿印澳繕它c”按鈕，會觀察到臨界點，此時讀取a的值為10cm。如圖2-2-2.5，圖2-2-2.6，圖2-2-2.7。圖2-2-圖2-2-圖2-2-對于第三問：將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形面積的一半，這時等邊三角形的邊長應為多少？（4）移動點H，或選中點H按“左右鍵”?？筛淖兊冗吶切蔚拇笮?，直到重疊部分面積=梯形面積的一半，讀取a的值。容易發(fā)現當a=6.58cm時，重疊部分面積=梯形面積的一半。如圖2-2-當a<6.58時，重疊部分面積<梯形面積的一半。如圖2-2-2.9。當a>6.58時，重疊部分面積>梯形面積的一半。如圖2-2-2.10。圖2-2-圖2-2-圖2-2-2.2.3關鍵制作步驟（1）建立平面直角坐標系，以C為原點，按題目要求畫出直角梯形。如圖2-2-3.1。圖2-2-（2）雙擊y軸，是y軸成為對稱軸。作直角梯形ABCD的反射圖形A’B’CD’。如圖2-2-3.2。圖2-2-（3）制作翻折效果。在y軸上找一點M，CM<CB.度量出CM與CB的坐標距離。以C為中心，CB為長軸、CM為短軸構造橢圓。先寫出橢圓的解析式，.如圖2-2-3.3。圖2-2-（4）在橢圓上找一點H，連接CH。過點H作HO垂直于CB且HO等于AB，且過點O作CH的平行線，且使OP=AD。連接CP。如圖2-2-圖2-2-（5）隱藏橢圓，制作動畫按鈕。先制作隱藏直角梯形A’B’CD’按鈕，再制作“H→B’”的按鈕，然后制作顯示直角梯形A’B’CD’按鈕，最后先后選中它們，制作順序3個動作。圖2-2-（6）將剛才的“順序3個動作”更名為“翻折1”。同樣方法制作“返回1”按鈕。如圖2-2-圖2-2-（7）用同樣地方法，構造第二個橢圓。此時的橢圓的位置比之前的橢圓對比，應該向左移動5個單位。因此函數解析式為。接著制造會動的梯形。如圖2-2-3圖2-2-（8）按上述方法制作“翻折2”與“返回2”按鈕。完成翻折效果圖。如圖2-2-3.8圖2-2-（9）對于第一問：將直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長a≥2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？構造線段GH,H點可在直線上運動從而改變GH的長度。使a=GH的長度，構造等邊三角形。如圖2-2-3.9。圖2-2-（10）構造三角形IC’N的內部，度量出它的面積。完成第一問。如圖2-2-圖2-2-（11）對于第二問。構造出梯形ABCD第三次翻折得到的圖。如圖2-2-圖2-2-（12）移動點H，發(fā)現當GH≥10cm時，等邊三角形包圍了梯形。如圖圖2-2-3.12，圖2-2-3.13。因此在直線GH上再找一個點M，移動M，使GM=10cm。制造“H→M”的按鈕，更名為“目標”。隱藏點M。完成第二問。如圖2-2-3.14。圖2-2-3.12圖2-2-3.13圖2-2-3（13）度量出直角梯形ABCD的面積的一半。再度量出翻折3次后的梯形與等邊三角形的面積。完成。如圖2-2-3.圖2-2-32.2.4滿分解答解：（1）圖2-2-4.1如圖2-2-4.1。因為CB=5，=10，CN=8所以=2又因為∠DCB=60°且∠=60°所以△為正三角形.所以△的高為h=所以=×2×=（2）圖2-2-4.2在直角梯形ABCD中因為CD=6，∠DCB=60°所以AB=3cm當直角梯形在第三次翻折后，剛好跟等邊三角形的PM邊有一個交點時能滿足重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，設這個交點為K，如圖2-2-4.2。在Rt△中，tan30°==3×=3所以MN=++=3+5+2=10cm

（3）=×（2+5）×3=當M與重合時，交于V.如圖2-2-4.3。圖2-2-4.3則=＞S梯形ABCD．圖2-2-4.4所以MC’＜5，設MC’=x，則有h'=x，如圖2-2-4.4。所以令=xx=解得x=因為=2所以等邊三角形MNP的邊長a為（+2）cm一平面圖形經過翻折后成為空間圖形,由于位置關系變了,有些元素在位置關系的變化中發(fā)生了變化,有些元素的數量關系并不改變。翻折類題型的解法的關鍵是要抓住這些變動著的量和保持不變的量之間的關系，搞清楚變化的量在翻折過程中的空間關系的位置變化。利用幾何畫板進行翻折類題型的動態(tài)展示，更清晰地看清平面圖形翻折過程中的動態(tài)變化。變化的量在變化的過程中通過幾何畫板有一個很直觀的動態(tài)展示，能更好地理解題目。3旋轉類問題旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉，這個定點叫做旋轉中心，圖形轉動的角叫做旋轉角。旋轉特征：圖形旋轉時，圖形中的每一點旋轉的角都相等，都等于圖形的旋轉角。這是圖形變換最基本的一種，我選取了比較有代表性的2009年山東德州中考第23題為例子，詳解如下：3.1例3（2009年山東德州）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45o，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）FBAFBADCEG第23題圖②FBADCEG第23題圖①FBACE第23題圖③3.1.1動態(tài)體現請打開幾何畫板文件名“旋轉1”3.1.2探究過程展現該題的主要變量是：△BEF的大小，主要不變量是：線段EG與線段GC的位置。（1）對于第一問：求證：EG=CG；點擊“動點E”按鈕，可改變線段BE的長度，從而改變△BEF的大小。如圖3-1-2.1和圖3-1-2.2。在這個過程中，EG與GC的長度雖然隨時改變，但能清晰地觀察到EG與GC的長度始終相等。從課件中讓學生初步感知到“變”與圖3-1圖3-1（2）對于第二問：將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45o，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．點擊“逆時針旋轉”按鈕，即能讓學生看到△BEF整個旋轉過程。如圖3-1-2.3到圖3-1-2.4。學生能全程看到線段EG和線段GC的長度始終不變，從而進一步思考原因。觀察后按圖3-1-2.3圖3-1（3）除此之外，可點擊“E點運動”按鈕，隨意改變線段BE的長度再行觀察。如圖3-1圖3-1（3）對于第三問：將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？如圖3-1-2.6至3-1-2.8。點擊“任意角度旋轉點E”按鈕，即可對△BEF進行任意角度旋轉，此時可隨時觀察到EG與GC各自的長度雖然改變，但始終相等。點擊圖3-1-2.6圖3-1圖3-1（4）跟前兩問一樣，點擊“動點E”按鈕，可隨意改變線段BE的長度，進而改變△BEF的大小，進行再次觀察。（5）當然，可以將三個小問整合在同一個圖中展現出來。如圖3-1圖3-13.1.3課件制作步驟要點（1）畫出正方形ABCD，與對角線BD，作BD的中點I，構造線段BI，在BI上作一個點E。然后隱藏點I。如圖3-1-3.1。圖3-1（2）制作點E的動畫點。使點E在線段BI上來回運動。這樣便構造會改變大小的△BEF.圖3-1（3）按照題目的條件畫出下圖。但很快發(fā)現這樣△BEF是不能夠旋轉的。圖3-1（4）為使△BEF能夠繞點B旋轉，以點B為圓心，分別以BE與BF的長度為半徑畫圓。在小圓上作點N，過點N作BN的垂線，交大圓于O。如圖3-1-3.4。圖3-1（5）作點N移動到點E的操作按鈕，命名為“三角形返回”。圖3-1（6）作小圓與AB的交點P，作點N移動到點P的操作按鈕，命名為“逆時針旋轉”。圖3-1（7）作點N的動畫點，使點N能在小圓上逆時針旋轉任意角度。將按鈕更名為“任意角度旋轉”。圖3-1（8）隱藏該隱藏的，將點N，O更名為點E與點F。圖3-1（9）連接FD，作FD的中點G，連接EG與GC。度量出EG與GC的長度。完成。圖3-13.1.4滿分解答解：（1）證明：在Rt△FCD中，∵G為DF的中點，∴CG=FD同理，在Rt△DEF中，EG=FD∴CG=EG（2）（1）中結論仍然成立，即EG=CG證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．FBADCEGMNFBADCEGMNN圖②（一）∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG∴AG=CG在△DMG與△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN在Rt△AMG與Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG∴AG=EGFBADCEFBADCEGM圖②（二）證法二：延長CG至M,使MG=CG，連接MF，ME，EC在△DCG與△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB∴在Rt△MFE與Rt△CBE中，FBADCE圖③G∵FBADCE圖③G∴△MFE≌△CBE∴∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°∴△MEC為直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC．∴（3）（1）中的結論仍然成立，即EG=CG．其他的結論還有:EG⊥CG3.2例4（2010湖南常德市）如圖10，若四邊形ABCD、四邊形CFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE.(1)當正方形GFED繞D旋轉到如圖11的位置時，AG=CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(2)當正方形GFED繞D旋轉到如圖12的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M.①求證：AG⊥CH;ABCDEABCDEF圖10GAD圖11FEBCGADBCEFHM圖123.2.1動態(tài)體現請打開幾何畫板文件名“旋轉2”3.2.2探究過程展現該題的主要變量是：正方形ABCD與正方形DEFG的大小,以及正方形DEFG的位置。主要不變量是：CE與AG的構造。對于第一問：當正方形GFED繞D旋轉到如圖11的位置時，AG=CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.（1）如圖3-2-2.1和圖3-2-2.2。點擊“轉動圖3-2-2.1圖3-2（2）也可以拉動點C或點P改變正方形ABCD與正方形DEFG的大小再行觀察。線段PV的長度為正方形DEFG的邊長。如下圖。圖3-2-2.3圖3-2對于第二問第①小題：當正方形GFED繞D旋轉到如圖12的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M.①求證：AG⊥CH（3）點擊“移動到目標”按鈕，則正方形移動到目標位置。停止后觀察∠AHC大小。如圖3-2-2.5，可觀察到∠AHC=90°，即AG⊥CH。圖3-2（4）對于第②小題：當AD=4，DG=時，求CH的長。點擊“第三問”按鈕，會發(fā)現正方形ABCD與DGFE的大小發(fā)生改變，使AD=4，DG=。此時可觀察HC的坐標距離為5.06.如圖3-2-2.6。圖3-23.2.3課件制作步驟要點（1）建立平面直角坐標系，構造正方形ABCD。此時點A與點C能在軸上運動，改變正方形ABCD的大小。圖3-2（2）在x軸上任意找一點V，過V點構造x軸的垂線，在垂線上找一點P，度量VP的坐標距離，以此為半徑，點D為圓心構造圓，交AD于I。這樣便能通過改變VP的程度，改變正方形EDFG的大小。圖3-2（3）以ID為邊構造正方形。圖3-2（4）連接對角線DD’，以D為圓心，DD’為半徑構造圓，交AD于J。在圓上找一點F，連接DF。圖3-2（5）構造FD的中點L,過L作中垂線，以D為圓心，DI為半徑構造圓，交中垂線于點G與點E。連接DG、GF、DE、EF。圖3-2（6）隱藏該隱藏的，連接AG與CE，并度量出AG與CE的長度。完成第一問。圖3-2（7）構造F→J的按鈕，命名為“移動到目標”。按下按鈕，使F、J重合。構造直線CE，叫AD于M，交AG于H。構造線段EH，使之為虛線。度量出∠AHC的大小。完成第二問。圖3-2（8）構造點Q（4,0）與R（11，）,則BR=4，RV=.構造按鈕使C移動到Q，P移動到R。度量出CH的坐標距離。完成。圖3-23.2.4滿分解答ABCDEABCDEFG圖11四邊形、四邊形是正方形，∴ ∠∠.∴∠90°-∠∠BACDEFBACDEFG12圖12HPM∴. （2）①類似（1）可得△△， ∴∠1＝∠2 又∵∠＝∠. ∴∠∠＝. 即 ②解法一:過作于, 由題意有,∴，則∠1＝. 而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.∴，即. 在Rt中，＝＝ 而∽,∴,即∴. 再連接，顯然有, ∴所求的長為BACDBACDEFG12圖12HPM過作于, 由題意有,∴,而以CD為底邊的三角形CDG的高=PD=1,,∴4×1+4×4=×CH+4×1.∴=注：本題算法較多。\o"旋轉"旋轉不改變圖形的形狀與大小，只是位置發(fā)生變化，使圖中的相關條件發(fā)生了新的聯系，這類題型的解法的關鍵還是要抓住這些變動著的量和保持不變的量之間的關系，搞清楚變化的量在旋轉過程中的平面關系的位置變化。利用幾何畫板可以更直觀觀察圖形在旋轉時發(fā)生變化的量的動態(tài)變化過程，變化的量發(fā)生了怎樣的變化，能更清晰地理解題目。4．平移類問題平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移?！耙欢ǖ姆较颉狈Q為平移方向，“一定的距離”稱為平移距離。平移特征：圖形平移時，圖形中的每一點的平移方向都相同，平移距離都相等。4.1例5(2010四川眉山)如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（，0）、（0，4），拋物線經過B點，且頂點在直線上．（1）求拋物線對應的函數關系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N．設點M的橫坐標為t，MN的長度為l．求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點M的坐標．4.1.1動態(tài)體驗請打開幾何畫板文件名“平移1”4.1.2探究過程展現該題的主要變量是：線段AD的大小。主要不變量是：Rt△CDE的形狀、大小，拋物線的圖像。（1）對于第一問，根據題意可求出拋物線的解析式為。（2）對于第二問，點擊“向右平移”按鈕，Rt△DCE向右平移，得到四邊形ABCD為菱形。平移后可觀察AB與DA的長度即可知，AB=DA。如圖4-1-2圖4-1-2.1圖4-1（3）點擊“返回”按鈕即可返回。這時兩三角形重合。圖4-1（4）觀察右方C點的坐標，可發(fā)現當四邊形ABCD為菱形時，把C點的橫坐標代入函數的解析式，得到的數值剛好等于C點的縱坐標。從而得知C點落在拋物線上。這時D點同樣也可知落在拋物線上。如圖4-1-2.5，可與圖4-1-圖4-1圖4-1（4）對于第三問，點擊“第三問”按鈕，會顯示出點M、N、動點V，與l與t之間的函數圖像。可以得知是一段拋物線。如下圖。圖4-1（5）發(fā)現第三問是在第二問的條件下提出的（而題目并沒有這么說）。因為如果不是在第二問的條件下提出則有兩個變量。一個是點M的位置變化，一個是點D的變化（即Rt△CDE的位置變化）。那是前者還是后者呢？如果是后者，它的軌跡如圖4-1-2.圖4-1（5）點擊“移動M”按鈕，或選中N點，上下拉動之，便可改變M點的位置，追蹤軌跡。圖4-1（6）發(fā)現當M點的橫坐標為3.5時，MN的值最大，也就是l的值最大。如圖4-1-2.9。可結合圖4-1-2.10，圖4-1圖4-1圖4-14.1.3課件制作步驟要點（1）根據題意，容易找出拋物線的解析式為：并構造函數。畫出Rt△AOB與Rt△DCE。其中Rt△DCE能在x軸上左右移動。如圖4-1-3.1圖4-1-3（2）為使平行四邊形ABCD成為菱形，以A為原點，AB為半徑構造圓，⊙A與x軸的交點為A’。制造“D→A’”的移動按鈕，命名為“向右平移”。制造“D→A”的移動按鈕，命名為“返回”。如圖4-1-3圖4-1-3（3）度量出C點與D點的坐標。再分別度量出與,計算出。如圖4-1-3.3。圖4-1-3(4)在拋物線的右邊任意找一個點M，過點M作y軸的平行線，交DC于點N。度量出M的橫坐標xA，并度量出MN的坐標距離。以xA為橫坐標，MN的坐標距離為縱坐標構造點V。先后選中點N與點V，構造其軌跡，得到一小段開口向下的拋物線。如圖4-1-3.4.圖4-1-3(5)制作點N在線段CD上的動畫按鈕，速度為慢速。將其命名為“移動M”。完成。圖4-1-34.1.4滿分解答解：（1）由題意，可設所求拋物線對應的函數關系式為∴∴∴所求函數關系式為：（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴∵四邊形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）．當時，當時，∴點C和點D在所求拋物線上．（3）設直線CD對應的函數關系式為，則解得：．∴∵MN∥y軸，M點的橫坐標為t，∴N點的橫坐標也為t．則，，∴∵，∴當時，，此時點M的坐標為（，）．4.2例6（2009年浙江義烏）（平移與旋轉結合）如圖，在△OAB中，OA＝OB，點A坐標為（－3eq\r(,3)，3），點B在x軸負半軸上．（1）將△OAB沿x軸向右平移a個單位后，點A恰好落在反比例函數y＝EQ\F(6eq\r(,3),x)的圖象上，求a的值；（2）將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜90°）．①當α＝30°時，點B恰好落在反比例函數y＝EQ\F(k,x)的圖象上，求k的值；OABxy②點A、B能否同時落在①中的反比例函數的圖象上，若能，求αOABxy4.2.1動態(tài)體現請打開幾何畫板文件名“平移2”。4.2.2探究過程展現對于第一問：將△OAB沿x軸向右平移a個單位后，點A恰好落在反比例函數y＝EQ\F(6eq\r(,3),x)的圖象上，求a的值；（1）點擊“向右平移”按鈕，可看到△OAB向右平移，使A點落在函數y=/x上的過程。,當A點落在圖像上時，函數圖象會自動加粗。如圖4-2-2.2。在這個過程中可觀察|-|的值，動畫停止后的值即為a的值，約為8.66.圖4-2-2.1圖4-2-2.2（2）點擊“返回”按鈕，三角形即按原路返回。如圖4-2-2.3。圖4-2-2.3對于第二問：將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜90°）．①當α＝30°時，點B恰好落在反比例函數y＝EQ\F(k,x)的圖象上，求k的值；（3）點擊“逆時針旋轉30°”按鈕。使△OAB旋轉到目標位置。此時會出現一個反函數圖像及解析式，還有一個“原因”按鈕。圖4-2-2.4圖4-2-2.5（4）如圖4-2-2.6。點擊“原因”按鈕，會看到求出該函數的原因：因為∠BOA剛好與旋轉的角度相等，都為30°。因此OA'與OB重合，B'與A關于y軸對稱，即B’點坐標為（，-3），從而求出k=×(-3)=.圖4-2-2.6（5）如圖4-2-2.7，點擊“返回”按鈕，函數圖象、原因會消失，即可恢復到最初。圖4-2-2.7對于第三問：②點A、B能否同時落在①中的反比例函數的圖象上，若能，求α角的大??；若不能，請說明理由．（6）點擊“移動到目標”按鈕，會看到A'與B'落在y=/x上。此時A’與B’點會變綠，代表已落在函數圖像上。此時觀察到∠BOB'旋轉的角度，即為α的度數。圖4-2-2.8圖4-2-2.9（7）如圖4-2-2.10，點擊“返回”按鈕即可返回。圖4-2-關鍵制作步驟（1）按題目所示，畫出等腰三角形OAB。圖4-1-3.1（2）構造x軸上得動點B’，再構造△OAB的全等三角形O’A’B’。圖4-1-3.2圖4-1-3.3（3）繪制函數y＝EQ\F(6eq\r(,3),x)。圖4-1-3.4（4）繪制點E（2,3），該點落在函數y＝EQ\F(6eq\r(,3),x)，A點向右平移必經該點。圖4-1-3.5（6）生成點A’移動到點E及點A的動畫。圖4-1-3.6（7）在x軸上任選一點H，度量出其橫坐標xH,算出f(xH)。構造點I（xH，f(xH)）。先后選中點H，點I，構造其軌跡。圖4-1-3.7（8）構造隱藏、顯示按鈕，當需要時，顯示或隱藏軌跡。圖4-1-3.8（9）“隱藏軌跡”、“向右平移”、“顯示軌跡”三個按鈕組成“順序三個動作”按鈕。圖4-1-3.9（10）將“順序三個動作”按鈕改名為“向右平移”。隱藏其上三個按鈕。同樣方法制作出“返回”按鈕，其包括了“隱藏軌跡”、“移動A’A”兩個按鈕。圖4-1-3.10(11)度量出點A與點A’的橫坐標的差的絕對值。完成第（1）問。圖4-1-3.11(12)以O為圓心，OB為半徑作圓。在圓上任意選一點B’，以B點為圓心，AB為半徑畫圓，與大圓交于A’。連接OB’,OA’,A’B’.圖4-1-3.12(13)隱藏圓，以O為旋轉中心，使B逆時針旋轉30°到B”。構造按鈕，使點B’移動到B”。圖4-1-3.13(14)顯示旋轉30°后的B’坐標及A的坐標。發(fā)現B’與A點關于y軸對稱。再度量一下BOA與BOB’的大小。它們剛好相等。則B’點的準確坐標值為（，-3）.根據B’坐標求出k值為，畫出函數。圖4-1-3.14(15)制定“隱藏”與“顯示”按鈕。圖4-1-3.15(16)隱藏不必要的按鈕。按鈕更名為“逆時針旋轉30°”、“返回”。圖4-1-3.16

(17)對于第三問。在第二問的基礎上，刪去“逆時針旋轉30°”按鈕。作出點E（，-3），F（-3，）。生成移動按鈕“移動到目標”使B’點移動到點F和“返回”按鈕，使B’點移動到點B。圖4-1-3.17(18)生成隱藏與顯示點E與點F的按鈕，與“移動到目標”組合成系列按鈕“順序3個動作”。圖4-1-3.18(19)再次生成隱藏點E與點F的按鈕，與“返回”按鈕組合成系列按鈕“順序2個動作”。圖4-1-3.19(20)隱藏不需要的按鈕，度量出∠BOB’的度數。完成了整一道題。圖4-1-滿分解答（1）（2）∵∴∴∴(3)①∵∴相應B點的坐標是∴.②能。當時，相應,點的坐標分別是，經檢驗：它們都在的圖像上∴5.結語5.1變與不變本文以“變與不變”作為線索貫穿全文。只有明確變量與不變量，才能夠把握問題的本質，抓住課件制作的關鍵。比如，翻折1：變量是矩形OABC的大小，不變量是△AEF的翻折。如果制作出的課件，矩形的大小不可改變，則所有的量都會固定下來，它只是一個靜態(tài)的，固化的圖片，用幾何畫板來研究就顯得沒有任何意義。因此，制作幾何畫板課件最關鍵的是抓住題目中的變與不變，明確主動與被動的關系。5.2簡易教程本文的定位除了是一個解題研究，還是一個幾何畫板的簡易教程。本文的內容篇幅介于詳細教程與簡短論文之間，許多操作細節(jié)并未一一寫出，但已給出關鍵制作步驟，根據以上步驟，讀者定能了解到課件所有效果的獲得，從而為日后幾何畫板課件的制作提供思路和操作上的幫助。比如，平移2：當△平移到點落在圖像上。該效果的達成是通過構成“隱藏軌跡”，“向右平移”，“顯示軌跡”三個按鈕按順序組成的。如圖5-2.1。圖5-2.1再比如，翻折1：在矩形ABCD的大小會改變的情況下，如何構造折痕AE，這是一個難點。筆者先設出OC邊上翻折的邊OE的長度，利用翻折的定義列出方程，把它用矩形的兩條邊長a，b表示出來，這樣構造出的折痕就依附著矩形而生存，翻折的三角形才能跟著矩形的變化而變化。如圖5-2.2。圖5-2.25.3突破了“人為操作的不精確”什么叫“人為操作的不精確”呢？比如說，平移2：制作△能在x軸左右移動，而且可以看得出點有可能落在的圖像上，但是通過人為操作很難判定點是否已準確地落在的圖像上，這就是人為操作的不精確。那么如何突破這種“不精確”呢，使目標一移便達到精確位置。我們的一般思維是通過幾何畫板的幾何構造幫助我們找到相應的精確點或精確值。但教師在制作課件時，常常需要反其道而行，先通過計算出具體精確的數值，然后把其代表的點找出，找出后，構造目標點移動到精確點的按鈕即可。如圖5-3.1及圖5-3.1。圖5-3.1圖5-3.2參考文獻[1]馬學斌,舒耀俐,彭翕成.挑戰(zhàn)中考數學壓軸題[M].華東師范大學出版社,2011.1~274

[2]邱衛(wèi)平.三種幾何變換的主要作用[J].中學數學雜志.2008,(04)：20~22

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