2021-2022學(xué)年廣東省深圳市光明高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年廣東省深圳市光明高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于（）A．﹣2﹣2i B．2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i2．（5分）已知A（1，1），B（﹣2，2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則+＝（）A．（﹣1，3） B．（3，﹣1） C．（1，1） D．（﹣2，2）3．（5分）在某段時(shí)間內(nèi)，甲地下雨的概率為0.3，乙地下雨的概率為0.4，假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否下雨之間沒有影響，則這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩地都不下雨的概率為（）A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.424．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a＝2，b＝，B＝，則A＝（）A． B． C．或 D．或5．（5分）已知||＝5，||＝4，且?＝﹣12，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C．﹣ D．6．（5分）先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，則第一次點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．7．（5分）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則（）A． B． C． D．8．（5分）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD為邊長為的等邊三角形，點(diǎn)P為邊BD上一動點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．[﹣6，0] B． C． D．[﹣7，0]二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）（多選）9．（5分）已知為非零平面向量，則下列說法正確的有（）A． B． C．若，則 D．（多選）10．（5分）口袋里裝有1紅、2白、3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中任取2球，事件A＝“取出的兩球同色”，B＝“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的2球中至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一個(gè)白球”，下列判斷中正確的是（）A．事件A與D為對立事件 B．事件B與C是互斥事件 C．事件C與E為對立事件 D．事件P（C∪E）＝1（多選）11．（5分）△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．下列四個(gè)論斷正確的是（）A．若A＞B，則sinA＞sinB B．cos（B+C）＝cosA C．若，則 D．B＝60°，c＝4，b＝2，此三角形無解（多選）12．（5分）學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為n且支出在[20，60）元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．估計(jì)眾數(shù)為45 B．估計(jì)平均數(shù)為43 C．支出在[50，60）的頻率為0.25 D．估計(jì)中位數(shù)是三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）設(shè)x∈R，若復(fù)數(shù)z＝（x+1）+（3x﹣2）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則x的取值范圍是．14．（5分）某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一1500人、高二1200人、高三1800人中抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三抽取的人數(shù)是．15．（5分）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若2csinB＝（2a+c）tanC，，則ac的最小值為．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1﹣ai（a∈R），復(fù)數(shù)z2＝3+4i．（1）若z1+z2∈R，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若是純虛數(shù)，求|z1|．18．（12分）甲有大小相同的兩張卡片，標(biāo)有數(shù)字2、4；乙有大小相同的卡片四張，分別標(biāo)有1、2、3、4．（1）求乙隨機(jī)抽取的兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率；（2）甲、乙分別取出一張卡，比較數(shù)字，數(shù)字小者獲勝，求乙獲勝的概率．19．（12分）已知．（1）若，且，求實(shí)數(shù)m，n的值；（2）若n＝1，且與的夾角為60°，求實(shí)數(shù)m的值．20．（12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）若△ABC的面積為，求a；（2）若AC邊上的中線，求sinA的值．21．（12分）在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大?。唬á颍┤魋inB+sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．22．（12分）某濱海城市沙灘風(fēng)景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游玩的旅客．某飲品店通過公開競標(biāo)的方式獲得賣現(xiàn)制飲品的業(yè)務(wù)．為此先根據(jù)前一年沙灘開放的160天的進(jìn)入沙灘的人數(shù)做前期的市場調(diào)查，來模擬飲品店開賣之后的利潤情況．考慮沙灘承受能力有限，超過1.4萬人即停止預(yù)約，以下表格是160天內(nèi)進(jìn)入沙灘的每日人數(shù)的頻數(shù)分布表．人數(shù)（萬）[0，0.2）[0.2，0.4）[0.4，0.6）[0.6，0.8）[0.8，1.0）[1.0，1.2）[1.2，1.4]頻數(shù)（天）88162424a32（1）繪制160天內(nèi)進(jìn)入沙灘的每日人數(shù)的頻率分布直方圖，并求a和這組數(shù)據(jù)的65%分位數(shù)；（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，每10個(gè)進(jìn)入沙灘的游客當(dāng)中平均有1人會購買飲品，X（單位：個(gè)）為該沙灘的人數(shù)（X為10的倍數(shù)，如有8006人，則X取8000）．每杯飲品的售價(jià)為15元，成本為5元，當(dāng)日未出售飲品當(dāng)垃圾處理．若該店每日準(zhǔn)備1000杯飲品，記Y為該店每日的利潤（單位：元），求Y和X的函數(shù)關(guān)系式．以頻率估計(jì)概率，求該店在160天的沙灘開放日中利潤不低于7000元的概率．

2021-2022學(xué)年廣東省深圳市光明高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于（）A．﹣2﹣2i B．2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．2．（5分）已知A（1，1），B（﹣2，2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則+＝（）A．（﹣1，3） B．（3，﹣1） C．（1，1） D．（﹣2，2）【分析】根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，以及O是坐標(biāo)原點(diǎn)以及即可求出的坐標(biāo)．【解答】解：∵B（﹣2，2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)；∴．故選：D．【點(diǎn)評】考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，以及向量加法的幾何意義．3．（5分）在某段時(shí)間內(nèi)，甲地下雨的概率為0.3，乙地下雨的概率為0.4，假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否下雨之間沒有影響，則這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩地都不下雨的概率為（）A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42【分析】設(shè)A表示事件“甲地下雨”，B表示事件“乙地下雨”，由題意可得甲、乙兩地都不下雨的概率P＝P（）＝P（）P（）＝（1﹣P（A））（1﹣P（B）），即可得出．【解答】解：設(shè)A表示事件“甲地下雨”，B表示事件“乙地下雨”，由題意可得甲、乙兩地都不下雨的概率P＝P（）＝P（）P（）＝（1﹣P（A））（1﹣P（B））＝（1﹣0.3）×（1﹣0.4）＝0.42，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了相互獨(dú)立與對立事件的概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a＝2，b＝，B＝，則A＝（）A． B． C．或 D．或【分析】由已知利用正弦定理即可計(jì)算得解sinA的值，結(jié)合A的范圍即可求解A的值．【解答】解：∵a＝2，b＝，B＝，∴由正弦定理，可得：sinA＝＝＝，∵A∈（0，π），a＜b，A為銳角，∴A＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知||＝5，||＝4，且?＝﹣12，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C．﹣ D．【分析】由已知利用數(shù)量積求與的夾角，再由投影向量的概念求解．【解答】解：設(shè)與的夾角為θ，則cosθ＝＝＝﹣，∴向量在上的投影向量為||cosθ?＝5×（﹣）×＝﹣．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查由數(shù)量積求夾角，考查投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，則第一次點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【分析】利用古典概型概率公式求解．【解答】解：先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)一共有6×6＝36種結(jié)果，第一次點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共15種結(jié)果，所以第一次點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)的概率為＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了古典概型，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的加法法則運(yùn)算即可得到答案．【解答】解：由題意：D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，可得：…①…②∵，代入①中可得：…③由②③消去可得：．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查向量的加法法則的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD為邊長為的等邊三角形，點(diǎn)P為邊BD上一動點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．[﹣6，0] B． C． D．[﹣7，0]【分析】根據(jù)題意可計(jì)算出AB的長，由此建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示向量的坐標(biāo)，計(jì)算，結(jié)合二次函數(shù)的知識求得結(jié)果．【解答】解：由題意可知，△BCD為等邊三角形，則有∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，在Rt△ABD中，；如圖以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則有，由于∠DBC＝60°，故可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)x＝0時(shí)，取得最大值為0，所以，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）（多選）9．（5分）已知為非零平面向量，則下列說法正確的有（）A． B． C．若，則 D．【分析】根據(jù)“為非零平面向量”看判斷ABC；根據(jù)平面向量數(shù)量積意義可判斷D．【解答】解：∵為非零平面向量，∴AB對；∵為非零平面向量，∴?＝???（﹣）＝0，∴﹣＝或⊥（﹣），∴C不對；∵（）是與向量共線的向量，（）是與向量共線的向量，∴D錯(cuò)．故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）口袋里裝有1紅、2白、3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中任取2球，事件A＝“取出的兩球同色”，B＝“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的2球中至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一個(gè)白球”，下列判斷中正確的是（）A．事件A與D為對立事件 B．事件B與C是互斥事件 C．事件C與E為對立事件 D．事件P（C∪E）＝1【分析】由對立事件與互斥事件的定義及事件的運(yùn)算依次求解判斷即可．【解答】解：∵事件A＝“取出的兩球同色”，D＝“取出的兩球不同色”，∴件A與D為對立事件，故A對，事件BC＝“取出的2球?yàn)橐粋€(gè)黃球，一個(gè)白球”，故事件B與C不是互斥事件，故B錯(cuò)，事件CE＝“取出的2球有且只有一個(gè)白球”，故事件C與E不是對立事件，故C錯(cuò)，事件C∪E為必然事件，故P（C∪E）＝1，故D對，故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查了事件的運(yùn)算及對立事件與互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．下列四個(gè)論斷正確的是（）A．若A＞B，則sinA＞sinB B．cos（B+C）＝cosA C．若，則 D．B＝60°，c＝4，b＝2，此三角形無解【分析】由三角形的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算即可．【解答】解：對于A，由正弦定理結(jié)合大角對大邊得A＞B?a＞b?sinA＞sinB，故A選項(xiàng)正確；對于B：cos（B+C）＝cosπ﹣A）＝﹣cosA，故B錯(cuò)誤；對于C：由正弦定理有＝，所以＝，∴tanB＝1，∴，故C正確；C項(xiàng)：csinB＝4×＝2＞b，故這樣的三角形不存在，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查三角形的性質(zhì)，考查正弦定理，屬基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為n且支出在[20，60）元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．估計(jì)眾數(shù)為45 B．估計(jì)平均數(shù)為43 C．支出在[50，60）的頻率為0.25 D．估計(jì)中位數(shù)是【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形面積之和為1求出第4組的頻率，再根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的定義求解．【解答】解：對于A，因?yàn)閇40，50）區(qū)間的頻率最大，所以眾數(shù)的估計(jì)值為＝45，故A正確，對于B，∵1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3，∴平均數(shù)的估計(jì)值為25×0.1+35×0.24+45×0.36+55×0.3＝43.6，故B錯(cuò)誤，對于C，支出在[50，60）的頻率為0.3，故C錯(cuò)誤，對于D，∵0.1+0.24＜0.5，0.1+0.24+0.36＝0.7＞0.5，∴中位數(shù)落在區(qū)間[40，50）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.1+0.24+（x﹣40）×0.036＝0.5，解得x＝，故D正確，故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）設(shè)x∈R，若復(fù)數(shù)z＝（x+1）+（3x﹣2）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則x的取值范圍是（﹣1，）．【分析】化復(fù)數(shù)z為a+bi的形式，由實(shí)部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：∵復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z＝（x+1）+（3x﹣2）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，∴，解得﹣1＜x＜．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣1，）．故答案為：（﹣1，）．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查一元二次不等式組的解法，是基礎(chǔ)題．14．（5分）某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一1500人、高二1200人、高三1800人中抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三抽取的人數(shù)是20．【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解．【解答】解：采用分層抽樣的方法從高一1500人、高二1200人、高三1800人中抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三抽取的人數(shù)是50×＝20．故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查高三抽取的人數(shù)的求法，考查分層抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（5分）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3．【分析】根據(jù)題意，分析可得，解可得x的值，先求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出方差，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，x，5，10，其中x≠5，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，所以，解得x＝4，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．所以該組數(shù)據(jù)的方差為，即標(biāo)準(zhǔn)差為3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，注意求出x的值，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若2csinB＝（2a+c）tanC，，則ac的最小值為12．【分析】由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求cosB，進(jìn)而可得B的值，利用正弦定理化簡已知等式可得ac＝2b，又由余弦定理，基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)?csinB＝（2a+c）tanC，由正弦定理可得2sinCsinB＝（2sinA+sinC）tanC＝（2sinA+sinC），又sinC≠0，所以2sinBcosC＝2sinA+sinC＝2sin（B+C）+sinC＝2sinBcosC+2cosBsinC+sinC，∴2cosBsinC+sinC＝0，可得2cosB＝﹣1，∴cosB＝﹣，∴由B∈（0，π），可得B＝，因?yàn)閎sinAsinC＝sinB＝2sinBsinB，所以bac＝2b×b，所以ac＝2b，又由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2+ac，所以（）2≥2ac+ac＝3ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號成立，所以ac≥12，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號成立．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理，余弦定理以及三角恒等變換的公式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，本題把sinB變形為2××sinB＝2sinBsinB是關(guān)鍵，屬中檔題．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1﹣ai（a∈R），復(fù)數(shù)z2＝3+4i．（1）若z1+z2∈R，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若是純虛數(shù)，求|z1|．【分析】（1）由已知利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減化簡，再由虛部為0求得a值；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，由實(shí)部為0且虛部不為0求得a值，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求|z1|．【解答】解：（1）∵z1＝1﹣ai（a∈R），z2＝3+4i，∴z1+z2＝4+（4﹣a）i，由，得4﹣a＝0，即a＝4；（2）由＝是純虛數(shù)，得，即，∴|z1|＝||＝．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題．18．（12分）甲有大小相同的兩張卡片，標(biāo)有數(shù)字2、4；乙有大小相同的卡片四張，分別標(biāo)有1、2、3、4．（1）求乙隨機(jī)抽取的兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率；（2）甲、乙分別取出一張卡，比較數(shù)字，數(shù)字小者獲勝，求乙獲勝的概率．【分析】（1），（2）的方法一樣，分別列舉出所有的基本事件，再找到滿足條件的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）乙隨機(jī)抽取的兩張卡片的數(shù)字的基本事件（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種，其中兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的基本事件（1，3），（2，4）共2種，根據(jù)古典概型的概率公式得乙隨機(jī)抽取的兩張卡片的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為P＝＝．（2）甲乙分別取出一張卡的基本事件（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共8種，乙的數(shù)字小的基本事件有（2，1），（4，1），（4，2）（4，3）共4種，根據(jù)古典概型的概率公式得乙獲勝的概率P＝＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了古典概型的概率問題，關(guān)鍵是一一列舉出基本事件，不重不漏，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）已知．（1）若，且，求實(shí)數(shù)m，n的值；（2）若n＝1，且與的夾角為60°，求實(shí)數(shù)m的值．【分析】（1）由題意利用兩個(gè)向量垂直、平行的性質(zhì)，求得m、n的值．（2）由題意利用兩個(gè)向量的夾角公式，求得m的值．【解答】解：（1）若，則﹣2×1+1×m＝0，解得m＝2．因?yàn)?，且，所以?×n＝2×3，解得n＝﹣6，所以m＝2，n＝﹣6．（2）若n＝1，則，.，．因?yàn)榕c的夾角為60°，所以．解得，所以，m的值為或．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的運(yùn)算、向量平行的坐標(biāo)表示、向量夾角的計(jì)算等知識，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）若△ABC的面積為，求a；（2）若AC邊上的中線，求sinA的值．【分析】（1）由同角基本關(guān)系式求出sinB，再結(jié)合面積公式、解出a的值；（2）先在△DBE中利用余弦定理求出BE，BC，然后在△ABC中利用正弦定理求出結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)閏osB＝，B∈（0，π），故，又S△ABC＝，c＝，故；（2）取BC的中點(diǎn)E，連接DE，在△DBE中，BD2＝BE2+DE2﹣2BE?DE?cos∠BED，即BE＝1，BC＝2，在△ABC中，因?yàn)椋?，結(jié)合，解得．【點(diǎn)評】本題考查三角形的面積公式、正余弦定理等知識，同時(shí)考查方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題．21．（12分）在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)化成邊，求得a，b和c關(guān)系式，代入余弦定理中求得cosA的值，進(jìn)而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c關(guān)系式利用正弦定理轉(zhuǎn)化成角的正弦，與sinB+sinC＝1聯(lián)立求得sinB和sinC的值，進(jìn)而根據(jù)C，B的范圍推斷出B＝C，可知△ABC是等腰的鈍角三角形．【解答】解：（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c即a2＝b2+c2+bc由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA故，∵A∈（0，π）∴A＝120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A＝sin2B+sin2C+sinBsinC．變形得＝（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC＝1，得