專題54平面向量的綜合應(yīng)用教學(xué)案教師版紙間書屋

專題 平面向量的綜合應(yīng)知識點 向量在平面幾何中的應(yīng)a，bcosθ＝|a||b|(θa，b角)a，b|a|＝a2＝設(shè)向 運 還知識點二知識點 向量與相關(guān)知識的交考點一a，b，c， sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，則角A的取值范圍為

【答案】【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A2sinBcosA＝2AcosA

cosA≠0sinB＝2sinAb＝2acos 1 1

2b 2 2

2bc

＝2c＝2b 【解析】(1)由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，10 BC BC＝56.因為 sin45°sin在△BCD中，CD＝BC2＋DB2－2BC·DBcos45°＝510－4

，得(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，而 AB＋AC2－1002，所

【特別提醒】4sinAcos2A－3cos(B＋C)＝sin3A＋3(1)A【解析】(1)∵4sinAcos2A－3cos(B＋C)＝sin3A＋∴4sinAcos2A＋3cosA＝sin3A＋∴2sin2AcosA＋3cosA＝sin2AcosA＋cos2AsinA＋3，sin2AcosA－cos2AsinA＋3cosA＝3，sin(2A－A)＋3cosA＝ 3∴sinA＋3cosA＝3sin＋3＝2

A∈，2，∴A＋3＝3 ＝3，∴＝3∵△ABC

3－B∈，2 在△ABC中，由正弦定理得2＝csin sin 2sin

2sin3 3∴c＝sinB

sin ＝tan 1B∈6，2，∴tanB∈(0， 3 △ABC＝2bcsinA＝2c，∴S△ABC∈2，2故△ABC面積的取值范圍為3，23 考點 【典例2】(2018·高考)如圖，在平面四邊形ABCD中AE·BE＝ADAE·BE

【答案】

則 3，C(0，3)．2，2E(0，y)(0≤y≤ 3AE＝(－1，y)BE＝－2，y2 3 32 ∴AE·BE＝2＋y－2y＝y(tǒng)－4∴當 3

＝AE·BE有最小值16＝

πA.A.B. D．2－【答案】的半徑長，因此|a－b|的最小值為3－1。【變式2】(2017·卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，―→ PA·(PB＋PC)的最小值是 33【答案】

，PB，，PB，＝，＝

3－y)

(－1－x，－y)

―→

―→＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－

3

·(PB＋PC

2－2， ＝―→ ＝PA·(PBPC)取得最小值，為－2考點三

3（2018-2019）OF分別為橢圓43＝1

為橢圓上的任意一點，則AD·FP的最大值 【答案】

00＝1y2＝310 4 FP＝(x0＋1，y0)OP

OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋310＝0＋x

(x0

4 4因為－2≤x0≤2，故當

OP·FP6【變式3】(2017·卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與 相切的圓上．若AP＝λAB＋μAD，則λ＋μ的最大值為 25 25【答案】

A為坐標原點，AB，ADx軸，y ＝，所以圓C：(x－1)＋(y－2)

因為P在圓C上，所以 2 2 ＋5cos ＋5sin