廣東省清遠(yuǎn)市小三江中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省清遠(yuǎn)市小三江中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A

B.C

D.參考答案：D略2.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則(

)．A．單調(diào)遞減

B．f(x)在在單調(diào)遞減C．單調(diào)遞增

D．f(x)在單調(diào)遞增參考答案：A3.下列各組函數(shù)中，f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是（

）A.與

B.f(x)=x與C.f(x)=x與

D.與g(x)=x+2參考答案：C4.已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若，則A等于()A.30° B.60° C.60°或120° D.30°或150°參考答案：D【分析】根據(jù)正弦定理把邊化為對(duì)角的正弦求解.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，邊角互換是正弦定理的重要應(yīng)用，注意增根的排除.5.已知三個(gè)互不相等實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，那么關(guān)于的方程A，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B，一定有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C,一定沒有實(shí)數(shù)根

D，一定有實(shí)數(shù)根參考答案：D6.在△ABC中，acosA=bcosB，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形參考答案：C【考點(diǎn)】GZ：三角形的形狀判斷．【分析】利用正弦定理將acosA=bcosB中等號(hào)兩邊的邊轉(zhuǎn)化為該邊所對(duì)角的正弦，化簡(jiǎn)整理即可．【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，∴由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC為等腰或直角三角形，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與二倍角的正弦的應(yīng)用，屬于中檔題．7.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（） A． 1＜a＜2 B． ＜a＜2 C． 1＜a≤ D． ≤a＜2參考答案：C考點(diǎn)： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；分段函數(shù)的應(yīng)用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 若f（x）=在區(qū)間上為增函數(shù)，則每一段上均為增函數(shù)，且在x=時(shí)，前一段的函數(shù)值不大于后一段的函數(shù)值，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍解答： 若函數(shù)f（x）=，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得：1＜a≤，故選：C點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，熟練掌握分段函數(shù)單調(diào)性的特征是解答的關(guān)鍵．8.（5分）若函數(shù)y=ax+b﹣1（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過二、三、四象限，一定有（） A． 0＜a＜1且b＜0 B． a＞0且b＞0 C． 0＜a＜1且b＞0 D． a＞1且b＜0參考答案：A考點(diǎn)： 指數(shù)函數(shù)的圖像變換．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 觀察到函數(shù)是一個(gè)指數(shù)型的函數(shù)，不妨作出其圖象，從圖象上看出其是一個(gè)減函數(shù)，并且是由某個(gè)指數(shù)函數(shù)向下平移而得到的，故可得出結(jié)論．解答： 如圖所示，圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上（縱截距小于零），即a0+b﹣1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故選A．點(diǎn)評(píng)： 考查指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題由函數(shù)的圖象可以看出其變化趨勢(shì)，由圖象特征推測(cè)出參數(shù)的范圍．9.已知△ABC中，，，，那么角A等于（

）A.135° B.45° C.135°或45° D.90°參考答案：B【分析】先由正弦定理求出，進(jìn)而得出角，再根據(jù)大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角確定角．【詳解】由正弦定理得：，，∴或，∵，∴，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用以及大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用。10.在等比數(shù)列中，，則等于A.

B.

C.

D

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=.參考答案：2n+1-3,n≥1因?yàn)閍n+1=2an+3,所以an+1+3=2an+3+3=2(an+3),即數(shù)列{an+3}是以a1+3=4為首項(xiàng),公比q=2的等比數(shù)列,所以數(shù)列的通項(xiàng)an+3=4×2n-1=2n+1,n≥1.所以an=2n+1-3,n≥1.答案:2n+1-3,n≥112.設(shè)函數(shù)，則使成立的取值范圍是

參考答案：13.已知點(diǎn)在映射“”作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，若點(diǎn)在映射作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________參考答案：14.（5分）已知＜α＜，cos（+α）=﹣，則sinα=

．參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：依題意，利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式可求得sin（+α）==，再利用兩角差的正弦即可求得sinα的值．解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15.已知一個(gè)正方形的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為___________.參考答案：16.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，，則圖中陰影部分所表示的集合是________.參考答案：【分析】圖中陰影部分所表示的集合為．【詳解】∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，是常見考題。17.已知，則_______.參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)揚(yáng)州某公司生產(chǎn)的新產(chǎn)品的成本是2元/件，售價(jià)是3元/件，年銷售量為10萬件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x(萬元)時(shí)，產(chǎn)品的銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表：x…12…5…y…1.51.8…1.5…(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果利潤(rùn)＝銷售總額－成本費(fèi)－廣告費(fèi)，試寫出年利潤(rùn)S(萬元)與廣告費(fèi)x(萬元)的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)廣告費(fèi)x為多少萬元時(shí)，年利潤(rùn)S最大．參考答案：(1)由于y是x的二次函數(shù)，所以可設(shè)函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x≥0)；由于點(diǎn)(1,1.5)、(2,1.8)、(5,1.5)在函數(shù)圖象上，所以所以所求函數(shù)的解析式為．(2)當(dāng)投入廣告費(fèi)x萬元時(shí)，產(chǎn)品的銷量是10y萬件，成本2元/件，售價(jià)3元/件，每件獲得利潤(rùn)1元，共獲利10y(3－2)＝10y萬元，由題意得＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋(x≥0)．當(dāng)x＝時(shí)，Smax＝.即當(dāng)投入2.5萬元廣告費(fèi)時(shí)，年利潤(rùn)最大．19.函數(shù)的定義域?yàn)?0，1（為實(shí)數(shù)）．⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；⑵若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，求的取值范圍；⑶求函數(shù)在x∈(0，1上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)的值參考答案：（1）值域?yàn)?/p>

(2）在上恒成立，所以在上恒成立，所以。(3）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，所以，取最大值，無最小值。當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，取最小值，無最大值。當(dāng)時(shí)，所以為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以，取最小值，無最大值。

20.設(shè)圓上的點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且與直線x﹣y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2，求圓的方程．參考答案：【分析】設(shè)出圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)還在圓上得到圓心在這條直線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐標(biāo)代入圓的方程得到②；由圓與直線x﹣y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2，利用垂徑定理得到弦的一半，圓的半徑，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者聯(lián)立即可求出a、b和r的值，得到滿足題意的圓方程．【解答】解：設(shè)所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，∵點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)A′仍在這個(gè)圓上，∴圓心（a，b）在直線x+2y=0上，∴a+2b=0，①（2﹣a）2+（3﹣b）2=r2．②又直線x﹣y+1=0截圓所得的弦長(zhǎng)為2，圓心（a，b）到直線x﹣y+1=0的距離為d==，則根據(jù)垂徑定理得：r2﹣（）2=（）2③解由方程①、②、③組成的方程組得：或∴所求圓的方程為（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．【點(diǎn)評(píng)】此題要求學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用垂徑定理及對(duì)稱知識(shí)化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)注意滿足題意的圓方程有兩個(gè)．21.(12分)如圖，四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC，CE與平面ABE所成的角為45°.(1)證明：AD⊥CE；(2)求二面角A-CE-B的正切值.參考答案：證明：(1)如圖，取BC的中點(diǎn)H,連接HD交CE于點(diǎn)P，連接AH、AP.∵AB=AC,

∴AH^BC又∵平面ABC⊥平面BCDE，∴AH^平面BCDE，

∴AH^CE，又∵,

∴Rt△HCD∽R(shí)t△CDE∴∠CDH=∠CED,

∴HD^CE

∴CE⊥平面AHD

∴AD⊥CE.

……6分(2)由(1)CE⊥平面AHD,

∴AP⊥CE,

又HD^CE∴∠APH就是二面角A-CE-B的平面角,

過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，連接CG、EG.

∵BE⊥BC,且BE⊥AH，

∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥CG,

∴CG⊥平面ABE,∴∠CEG就是CE與平面ABE所成的角，即∠CEG=45°，又CE=,∴CG=EG=.

又BC=2,

∴∠ABC=60°,

∴AB=BC=AC=2

∴AH=

又HD=,

∴HP==,∴tan∠APH==3

……12分22.（本小題滿分12分）對(duì)定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x)，y=g(x)，定義一個(gè)函數(shù)h(x)：.（Ⅰ）若，，寫出函數(shù)h(x)的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)的