2021-2022學(xué)年上海市長寧區(qū)延安中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年上海市長寧區(qū)延安中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（每題3分，滿分42分）每個空格填對得分，否則一律得零分.1．（3分）已知A＝{x|x為矩形}，B＝{x|x為菱形}，則A∩B＝．2．（3分）不等式的解集為．3．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣3x≤0，x∈Z}，用列舉法表示集合A為．4．（3分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{4，8}，則集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和為．5．（3分）已知實數(shù)x、y滿足﹣1＜x≤2，﹣3≤y＜5，則x﹣y的取值范圍為．6．（3分）已知集合A＝{﹣1，2m+3}，集合B＝{﹣|2m+1|，m2}，且A＝B，則實數(shù)m＝．7．（3分）已知正數(shù)x、y滿足x+y＝3，則x﹣的最大值是．8．（3分）已知條件α：m＜x≤2m+5，條件β：0≤x≤1，若α是β的必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為．9．（3分）已知a＞0，a≠1，x∈R，且a2x＝2，則的值為．10．（3分）已知集合A＝{x|ax﹣2＝0，a∈R}，集合B＝{x|x2+x﹣2＝0}，且A∩B＝A，則實數(shù)a的所有可能取值組成的集合為．11．（3分）已知關(guān)于x的不等式≤0的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是．12．（3分）已知a＞0，b＞0，a+b＝2，則在下列不等式①ab≤1；②a2+b2≥2；③+≤；④+≥2；⑤a3+b3≥3中恒成立的是.（寫出所有正確命題的序號）13．（3分）對實數(shù)x、y定義運算⊕：x⊕y＝x（2﹣y），若關(guān)于t的不等式（t﹣a）⊕（t+a）＜1對任意實數(shù)t都成立，則實數(shù)a的取值范圍是．14．（3分）設(shè)集合S為實數(shù)集R的非空子集，若對任意x∈S，y∈S，都有（x+y）∈S，（x﹣y）∈S，（xy）∈S，則稱集合S為“完美集合”．給出下列命題：①若S為“完美集合”，則一定有0∈S；②“完美集合”一定是無限集；③集合A＝{x|x＝a+b，a∈Z，b∈Z}為“完美集合”；④若S為“完美集合”，則滿足S?T?R的任意集合T也是“完美集合”．其中真命題是.（寫出所有正確命題的序號）二、選擇題（每題3分，滿分12分）每題有且只有一一個正確答案，選對得3分，否則一律得零分.15．（3分）若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是（）A． B．a(chǎn)2＞b2 C．a(chǎn)|c|＞b|c| D．16．（3分）命題“存在x∈R，使得x2﹣2x+5≤0”的否定是（）A．存在x∈R，使得x2﹣2x+5≥0 B．對任意x∈R，都有x2﹣2x+5＞0 C．存在x∈R，使得x2﹣2x+5＞0 D．對任意x∈R，都有x2﹣2x+5≤017．（3分）若關(guān)于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，則對任意實常數(shù)k，總有（）A．2∈M，0∈M B．2?M，0?M C．2∈M，0?M D．2?M，0∈M18．（3分）已知m、n是非零常數(shù)，不等式m（x+1）（x﹣3）≥0的解集為A，不等式n（x+1）（x﹣3）＞0的解集為B，則“mn＜0”是“A∪B＝R”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件三、解答題（本大題共有5題，滿分46分）解答下列各題，必須寫出必要的步驟.19．（8分）求不等式組的解集．20．（8分）設(shè)a＞b＞0，比較與的大?。?1．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m2﹣1）x2+（2m﹣1）x+1＝0（m∈R）的兩個實根是x1、x2．（1）求+的取值范圍；（2）是否存在m，使得|x1﹣x2|＝？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．22．（10分）如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過點C．已知AB長為4米，AD長為3米．（1）要使矩形花壇AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）當(dāng)AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出此最小值．23．（10分）若實數(shù)x、y、t滿足|x﹣t|＞|y﹣t|，則稱x比y遠離t．（1）若x2﹣1比2遠離3，求實數(shù)x的取值范圍；（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，判斷命題“（a+b）3比4a2b+4ab2遠離8ab”的真假，并說明理由．

2021-2022學(xué)年上海市長寧區(qū)延安中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（每題3分，滿分42分）每個空格填對得分，否則一律得零分.1．（3分）已知A＝{x|x為矩形}，B＝{x|x為菱形}，則A∩B＝{x|x為正方形}．【分析】矩形的幾何特征是有一個角為直角的平行四邊形，菱形的幾何特征是鄰邊相等的平行四邊形，故兩集合的交集中元素的幾何特征是有一個角是直角且鄰邊相等的平行四邊形，由此可得．【解答】解：∵A＝{x|x為矩形}，∴其元素的幾何特征是有一個角為直角的平行四邊形，∵B＝{x|x為菱形}，∴其元素的幾何特征是鄰邊相等的平行四邊形，由交集的性質(zhì)，A∩B中元素的特征是有一個角是直角且鄰邊相等的平行四邊形，這樣的圖形是正方形，故A∩B＝{x|x為正方形}故答案為{x|x為正方形}【點評】本題考點是交集及其運算，考查背景是四邊形，此是一個集合的運算與平面幾何相結(jié)合的題型，以集合的方式考查幾何圖形的性質(zhì)．2．（3分）不等式的解集為[﹣2，1）．【分析】原不等式等價于，解不等式組可得．【解答】解：原不等式等價于，解得，即﹣2≤x＜1故原不等式的解集為：[﹣2，1）故答案為：[﹣2，1）【點評】本題考查分式不等式的解集，把分式不等式化為不等式組是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．3．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣3x≤0，x∈Z}，用列舉法表示集合A為{0，1，2，3}．【分析】根據(jù)集合的表示方法即可求出．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x≤0，x∈Z}＝{x|0≤x≤3}＝{0，1，2，3}．故答案為：{0，1，2，3}．【點評】本題考查了集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題．4．（3分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{4，8}，則集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和為28．【分析】根據(jù)新定義，求解出z的所有元素，再求所有元素之和．【解答】解：有題意：{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)A＝{1，2}，B＝{4，8}，那么：當(dāng)x＝1時：y＝4或8，可得z：4、8，當(dāng)x＝2時：y＝4或8，可得z：8、16，故得z的所有元素：4、8、16，即集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素為：4、8、16，元素之和為：16+4+8＝28．故答案為：28．【點評】本題考查集合的基本運算，新定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．5．（3分）已知實數(shù)x、y滿足﹣1＜x≤2，﹣3≤y＜5，則x﹣y的取值范圍為（﹣6，5]．【分析】由不等式的性質(zhì)直接求解即可．【解答】解：因為﹣1＜x≤2，﹣3≤y＜5，所以﹣5＜﹣y≤3，所以﹣6＜x﹣y≤5，即x﹣y的取值范圍為（﹣6，5]．故答案為：（﹣6，5]．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（3分）已知集合A＝{﹣1，2m+3}，集合B＝{﹣|2m+1|，m2}，且A＝B，則實數(shù)m＝﹣1．【分析】由A＝B，列方程組，能求出實數(shù)m．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，2m+3}，集合B＝{﹣|2m+1|，m2}，且A＝B，∴，解得實數(shù)m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查集合相等的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（3分）已知正數(shù)x、y滿足x+y＝3，則x﹣的最大值是﹣1．【分析】根據(jù)題意可得x＝3﹣y，則x﹣＝3﹣（y+），再利用基本不等式求出最大值即可．【解答】解：由x+y＝3，得x＝3﹣y，所以x﹣＝3﹣（y+）≤3﹣2＝﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)y＝，即y＝2時等號成立，所以x﹣的最大值為﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（3分）已知條件α：m＜x≤2m+5，條件β：0≤x≤1，若α是β的必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為[﹣2，0）．【分析】問題轉(zhuǎn)化為[0，1]?（m，2m+5]可解決此題．【解答】解：問題轉(zhuǎn)化為[0，1]?（m，2m+5]，∴，解得：m∈[﹣2，0）．故答案為：[﹣2，0）．【點評】本題考查必要條件應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（3分）已知a＞0，a≠1，x∈R，且a2x＝2，則的值為．【分析】先利用立方和公式化簡所求式子，再代入已知條件即可求出結(jié)果．【解答】解：∵a3x+a﹣3x＝（ax+a﹣x）（a2x﹣1+a﹣2x），∴＝a2x﹣1+a﹣2x＝2﹣1+＝，故答案為：．【點評】本題主要考查了立方和公式，考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．10．（3分）已知集合A＝{x|ax﹣2＝0，a∈R}，集合B＝{x|x2+x﹣2＝0}，且A∩B＝A，則實數(shù)a的所有可能取值組成的集合為{0，﹣1，2}．【分析】由A∩B＝A得A?B，然后對A＝?，A＝{1}，A＝{﹣2}三種情況進行分類討論進行求解．【解答】解：A＝{x|ax﹣2＝0，a∈R}＝{x|ax＝2}，集合B＝{x|x2+x﹣2＝0}＝{1，﹣2}，由A∩B＝A得A?B，當(dāng)A＝?時，滿足題意，此時a＝0，當(dāng)A＝{1}時，a＝2，當(dāng)A＝{﹣2}時，a＝﹣1，故實數(shù)a的所有可能取值組成的集合{0，﹣1，2}．故答案為：{0，﹣1，2}．【點評】本題主要考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，不要漏掉對集合A為空集的考慮，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．11．（3分）已知關(guān)于x的不等式≤0的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是[0，4）．【分析】∵x2﹣3x+7＝（x﹣）2+＞0，關(guān)于x的不等式≤0的解集為空集，可得kx2﹣kx+1≤0解集為空集，可求得k的取值范圍．【解答】解：∵x2﹣3x+7＝（x﹣）2+＞0，關(guān)于x的不等式≤0的解集為空集，可得kx2﹣kx+1≤0解集為空集，當(dāng)k＝0時，不等式為：1≤0滿足題意；當(dāng)k≠0時，，解得：k∈（0，4）綜上，k的取值范圍是[0，4）．【點評】本題考查一元二次不等式解法，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．12．（3分）已知a＞0，b＞0，a+b＝2，則在下列不等式①ab≤1；②a2+b2≥2；③+≤；④+≥2；⑤a3+b3≥3中恒成立的是①②④.（寫出所有正確命題的序號）【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式分別進行判斷即可．【解答】解：①∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴2＝a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號，∴ab≤1，∴①正確，②∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴a2+b2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號，∴②正確，③∵＝a+b+2＝2+2≤2+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號，∴+≤2，∴③錯誤，④∵a＞0，b＞0，a+b＝2，且ab≤1，∴+≥2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號，∴④正確，⑤當(dāng)a＝b＝1時，滿足a＞0，b＞0，a+b＝2，但a3+b3＝2，∴⑤錯誤．故答案為：①②④．【點評】本題主要考查基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．13．（3分）對實數(shù)x、y定義運算⊕：x⊕y＝x（2﹣y），若關(guān)于t的不等式（t﹣a）⊕（t+a）＜1對任意實數(shù)t都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（0，2）．【分析】把不等式（t﹣a）⊕（t+a）＜1對任意實數(shù)t都成立，化為t2﹣2t﹣a2+2a+1＞0對任意實數(shù)t都成立，利用Δ＜0即可求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵x⊕y＝x（2﹣y），∴（t﹣a）⊕（t+a）＜1對任意實數(shù)t都成立?（t﹣a）[2﹣（t+a）]＜1對任意實數(shù)t都成立，即t2﹣2t﹣a2+2a+1＞0對任意實數(shù)t都成立，∴Δ＝4﹣4（﹣a2+2a+1）＜0，化為a2﹣2a＜0，解得a∈（0，2）故答案為：（0，2）．【點評】本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了一元二次不等式的解法，是中檔題．14．（3分）設(shè)集合S為實數(shù)集R的非空子集，若對任意x∈S，y∈S，都有（x+y）∈S，（x﹣y）∈S，（xy）∈S，則稱集合S為“完美集合”．給出下列命題：①若S為“完美集合”，則一定有0∈S；②“完美集合”一定是無限集；③集合A＝{x|x＝a+b，a∈Z，b∈Z}為“完美集合”；④若S為“完美集合”，則滿足S?T?R的任意集合T也是“完美集合”．其中真命題是①③.（寫出所有正確命題的序號）【分析】根據(jù)“完美集合”的定義逐項判斷即可．【解答】解：對于①，當(dāng)x＝y(tǒng)時，有x﹣y＝0∈S，故一定有0∈S，故①對；對于②，例如S＝{0}為“完美集合”，為有限集，故②錯；對于③，設(shè)，a，b，m，n∈Z，顯然x+y，x﹣y∈A，而xy＝＝，故③對；對于④，取S＝{0}，T＝{0，1}，顯然T不是“完美集合”，故④錯誤．故答案為：①③．【點評】本題考查集合的性質(zhì)以及命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．二、選擇題（每題3分，滿分12分）每題有且只有一一個正確答案，選對得3分，否則一律得零分.15．（3分）若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是（）A． B．a(chǎn)2＞b2 C．a(chǎn)|c|＞b|c| D．【分析】本題中a，b，c∈R，a＞b，三個參數(shù)的關(guān)系不定，故可以采用排除法對四個選項依次判斷，排除錯誤的，得出正確選項．【解答】解：A選項不對，當(dāng)a＞0＞b時不等式不成立，故排除；B選項不對，當(dāng)a＝0，b＝﹣1時不等式不成立，故排除；C選項不對，當(dāng)c＝0時，不等式不成立，故排除；D選項正確，由于，又a＞b故故選：D．【點評】本題考查不等式與不等式關(guān)系，考查不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)作出正確判斷得出正確選項，本題易因考慮不全面選錯答案，如武斷認為a＞b得出致使出錯．16．（3分）命題“存在x∈R，使得x2﹣2x+5≤0”的否定是（）A．存在x∈R，使得x2﹣2x+5≥0 B．對任意x∈R，都有x2﹣2x+5＞0 C．存在x∈R，使得x2﹣2x+5＞0 D．對任意x∈R，都有x2﹣2x+5≤0【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．【解答】解：命題為特稱命題，則命題的否定為對任意x∈R，都有x2﹣2x+5＞0，故選：B．【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．17．（3分）若關(guān)于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，則對任意實常數(shù)k，總有（）A．2∈M，0∈M B．2?M，0?M C．2∈M，0?M D．2?M，0∈M【分析】本題考慮2、0是否在不等式的解集中，可以代入驗證，也可以求出不等式的解集再進行判斷．原不等式是關(guān)于x的一次不等式【解答】解：方法1：代入判斷法，將x＝2，x＝0分別代入不等式中，判斷關(guān)于k的不等式解集是否為R；方法2：求出不等式的解集：（1+k2）x≤k4+4；故選：A．【點評】本題考查含參數(shù)的不等式的解集問題，難度一般．18．（3分）已知m、n是非零常數(shù)，不等式m（x+1）（x﹣3）≥0的解集為A，不等式n（x+1）（x﹣3）＞0的解集為B，則“mn＜0”是“A∪B＝R”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義、一元二次不等式的解法以及集合并集的運算進行分析求解即可．【解答】解：①當(dāng)mn＜0時，若m＜0，則n＞0，此時A＝[﹣1，3]，B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），所以A∪B＝R；當(dāng)m＞0，n＜0時，此時A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），B＝（﹣1，3），所以A∪B＝R，所以“mn＜0”是“A∪B＝R”的充分條件；②當(dāng)A∪B＝R時，若m＜0，此時A＝[﹣1，3]，當(dāng)n＜0時，B＝（﹣1，3），不滿足題意，當(dāng)n＞0時，B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），符合題意，此時mn＜0；若m＞0，此時A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），當(dāng)n＞0時，B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），不符合題意；當(dāng)n＜0時，B＝（﹣1，3），滿足題意，此時mn＜0；所以“mn＜0”是“A∪B＝R”的必要條件．綜上所述，“mn＜0”是“A∪B＝R”的充要條件．故選：C．【點評】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，一元二次不等式的解法，集合之間關(guān)系的運用問題，也考查了邏輯推理與運算能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共有5題，滿分46分）解答下列各題，必須寫出必要的步驟.19．（8分）求不等式組的解集．【分析】根據(jù)絕對值不等式與分式不等式解法可解決此題．【解答】解：由|3x﹣1|＞5得3x﹣1＜﹣5或3x﹣1＞5，解得x＜﹣或x＞2；由≥2得﹣2≥0，得≥0，即≥0，解得1＜x≤5，∴不等式組的解集是：（2，5]．【點評】本題考查含絕對值不等式與分式不等式的不等式組的解法，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．20．（8分）設(shè)a＞b＞0，比較與的大?。痉治觥恳驗閮蓚€數(shù)都大于0，所以可以用作商比較其大小．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，a2＞b2，∴＞0，＞0．兩數(shù)作商÷＝＝＝1+＞1，∴＞．【點評】熟練掌握當(dāng)兩個數(shù)都大于0時可以用作商比較其大小的方法是解題的關(guān)鍵．21．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m2﹣1）x2+（2m﹣1）x+1＝0（m∈R）的兩個實根是x1、x2．（1）求+的取值范圍；（2）是否存在m，使得|x1﹣x2|＝？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）由一元二次方程有兩個根，則Δ＞0，求出m的范圍，再利用韋達定理求解即可，（2）由（1）中結(jié)論，對所求式子進行變形，再求解．【解答】解：（1）由題意知，Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4＝5﹣4m?0，∴，∵m2﹣1≠0，∴m≠±1，∴m的取值范圍是，由題意，∴，又，∴，∴，所以的取值范圍是[﹣）∪（﹣1，3）∪（3，+∞）．（2）＝＝，∴，若，則m2﹣1＜0，即m∈（﹣1，1），∴5﹣4m＝1，即m＝1?（﹣1，1），故不存在．【點評】本題考查一元二次方程及韋達定理求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．22．（10分）如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過點C．已知AB長為4米，AD長為3米．（1）要使矩形花壇AMPN的面