2022年上海市崇明區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

第1頁（共1頁）2022年上海市崇明區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．】1．（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，則A∩B＝．2．（4分）已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3﹣a，5，6的平均數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a的值等于．3．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），則sinα＝．4．（4分）若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則＝．5．（4分）在（1+2x）6的二項(xiàng)展開式中，x4項(xiàng)的系數(shù)是．（用數(shù)值表示）6．（4分）已知變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝x﹣2y的最大值等于．7．（5分）已知圓錐的母線長等于2，側(cè)面積等于2π，則該圓錐的體積等于．8．（5分）已知直線l的參數(shù)方程為（t是參數(shù)），則點(diǎn)（1，0）到直線l的距離等于．9．（5分）設(shè)y＝f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1）時(shí)，，其中a∈R．若，則f（a）＝．10．（5分）已知平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)、、，n∈N*．記Sn為△AnBn?n外接圓的面積，則＝．11．（5分）某學(xué)校每天安排4項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加．學(xué)校規(guī)定：（1）每位學(xué)生每天最多選擇1項(xiàng)；（2）每位學(xué)生每項(xiàng)一周最多選擇1次．學(xué)校提供的安排表如下：時(shí)間周一周二周三周四周五課后服務(wù)音樂、閱讀、體育、編程口語、閱讀、編程、美術(shù)手工、閱讀、科技、體育口語、閱讀、體育、編程音樂、口語、美術(shù)、科技若某學(xué)生在一周內(nèi)共選擇了閱讀、體育、編程3項(xiàng)，則不同的選擇方案共有種．（用數(shù)值表示）12．（5分）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）【每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．】13．（5分）如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B． C．|a|＞|b| D．14．（5分）“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件15．（5分）已知無窮等比數(shù)列{an}中a1＝2，|a2|＜2，它的前n項(xiàng)和為Sn，則下列命題正確的是（）A．?dāng)?shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{Sn}是遞減數(shù)列 C．?dāng)?shù)列{Sn}存在最小項(xiàng) D．?dāng)?shù)列{Sn}存在最大項(xiàng)16．（5分）設(shè)集合，，，，其中a，b∈R，給出下列兩個(gè)命題：命題q1：對任意的a，P1是P2的子集；命題q2：對任意的b，Q1不是Q2的子集．下列說法正確的是（）A．命題q1是真命題，命題q2是假命題 B．命題q1是假命題，命題q2是真命題 C．命題q1、q2都是真命題 D．命題q1、q2都是假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．】17．（14分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長等于4，點(diǎn)E是棱DD1的中點(diǎn)．（1）求直線A1E與直線B1C所成的角；（2）若底面ABCD上的點(diǎn)P滿足PD1⊥平面A1EC1，求線段DP的長度．18．（14分）已知．（1）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f（A）＝0，且，求BC邊長的最小值．19．（14分）環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車正成為人們購車的熱門選擇．某型號(hào)的電動(dòng)汽車在國道上進(jìn)行測試，國道限速80km/h．經(jīng)多次測試得到該汽車每小時(shí)耗電量M（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如表所示：v0104060M0132544007200為了描述國道上該汽車每小時(shí)耗電量M與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③M3（v）＝300logav+b．（1）當(dāng)0≤v≤80時(shí)，請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車從A地行駛到B地，其中高速上行駛200km，國道上行駛30km，若高速路上該汽車每小時(shí)耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關(guān)系滿足N（v）＝2v2﹣10v+200（80≤v≤120），則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？20．（16分）已知雙曲線Γ：x2﹣y2＝4，雙曲線Γ的右焦點(diǎn)為F，圓C的圓心在y軸正半軸上，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓C與雙曲線Γ的右支交于A、B兩點(diǎn)．（1）當(dāng)△OFA是以F為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求△OFA的面積；（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，求直線AB的方程；（3）求證：直線AB與圓x2+y2＝2相切．21．（18分）已知集合M＝{x|1≤x≤m，x∈Z}（Z是整數(shù)集，m是大于3的正整數(shù)）．若含有m項(xiàng)的數(shù)列{an}滿足：任意的i，j∈M，都有ai∈M，且當(dāng)i≠j時(shí)有ai≠aj，當(dāng)i＜m時(shí)有|ai+1﹣ai|＝2或|ai+1﹣ai|＝3，則稱該數(shù)列為P數(shù)列．（1）寫出所有滿足m＝5且a1＝1的P數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}為P數(shù)列，證明：{an}不可能是等差數(shù)列；（3）已知含有100項(xiàng)的P數(shù)列{an}滿足a5，a10，?，a5k，?，a100（k＝1，2，3，?，20）是公差為d（d＞0）等差數(shù)列，求d所有可能的值．

2022年上海市崇明區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．】1．（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，則A∩B＝{0，1}．【分析】求出集合A，利用交集定義能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}．故答案為：{0，1}．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（4分）已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3﹣a，5，6的平均數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a的值等于2．【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念計(jì)算即可．【解答】解：＝（4+2a+3﹣a+5+6）＝4，解得：a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了平均數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．3．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），則sinα＝．【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），所以sinα＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解．【解答】解：，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）在（1+2x）6的二項(xiàng)展開式中，x4項(xiàng)的系數(shù)是240．（用數(shù)值表示）【分析】由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得含x4項(xiàng)的系數(shù)．【解答】解：（1+2x）6的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1＝?（2x）r，令r＝4，可得含x4項(xiàng)的系數(shù)是×24＝240，故答案為：240．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）已知變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝x﹣2y的最大值等于1．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，A（1，0），由z＝x﹣2y，得y＝，由圖可知，當(dāng)直線y＝過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．7．（5分）已知圓錐的母線長等于2，側(cè)面積等于2π，則該圓錐的體積等于．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S側(cè)＝πrl，代入得r＝1，根據(jù)圖形結(jié)合勾股定理得h＝，再代入錐體體積公式V＝，能求出該圓錐的體積．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h，∵圓錐的母線長等于2，側(cè)面積等于2π，∴，解得r＝1，∴h＝＝，∴該圓錐的體積為V＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的側(cè)面積、體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（5分）已知直線l的參數(shù)方程為（t是參數(shù)），則點(diǎn)（1，0）到直線l的距離等于．【分析】根據(jù)題意，將直線的方程變形為直線的一般式方程，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線l的參數(shù)方程為（t是參數(shù)），其普通方程為4（x﹣1）＝3（y﹣2），即4x﹣3y+2＝0，則點(diǎn)（1，0）到直線l的距離d＝＝；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查直線的參數(shù)方程，注意將參數(shù)方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）設(shè)y＝f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1）時(shí)，，其中a∈R．若，則f（a）＝．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的周期性可得f（﹣）＝f（﹣），f（）＝f（），結(jié)合函數(shù)的解析式求出a的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，y＝f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，則f（﹣）＝f（﹣），f（）＝f（），又由當(dāng)x∈[﹣1，1）時(shí)，，則有﹣+a＝|﹣|，解可得a＝，則f（a）＝f（）＝|﹣|＝；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的求值，涉及函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)、、，n∈N*．記Sn為△AnBn?n外接圓的面積，則＝π．【分析】由過三點(diǎn)的外接圓來確定圓的半徑，從而得到Sn，再利用極限運(yùn)算法則能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)過、、這三點(diǎn)的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，則，∴，∵△AnBn?n外接圓的半徑為，∴Sn＝＝[]＝[]，∴＝＝＝π．故答案為：π．【點(diǎn)評】本題考查圓的性質(zhì)、極限運(yùn)算法則、系數(shù)等定法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．11．（5分）某學(xué)校每天安排4項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加．學(xué)校規(guī)定：（1）每位學(xué)生每天最多選擇1項(xiàng)；（2）每位學(xué)生每項(xiàng)一周最多選擇1次．學(xué)校提供的安排表如下：時(shí)間周一周二周三周四周五課后服務(wù)音樂、閱讀、體育、編程口語、閱讀、編程、美術(shù)手工、閱讀、科技、體育口語、閱讀、體育、編程音樂、口語、美術(shù)、科技若某學(xué)生在一周內(nèi)共選擇了閱讀、體育、編程3項(xiàng)，則不同的選擇方案共有14種．（用數(shù)值表示）【分析】根據(jù)題意，由表可知周一至周四都可選閱讀，周一，周三和周四可選體育，周一，周二和周四可選編程，由此分4種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由表可知周一至周四都可選閱讀，周一，周三和周四可選體育，周一，周二和周四可選編程，故分4種情況討論：當(dāng)周一選閱讀，若體育選周三，編程有2種方法，若體育選周四，編程有1種方法，共3種選法，當(dāng)周二選閱讀，若編程選周一，體育有2種方法，若編程選周四，體育有2種方法，共4種選法，當(dāng)周三選閱讀，若體育選周一，編程有2種方法，若體育選周四，編程有2種方法，共4種選法，當(dāng)周四選閱讀，若體育選周一，編程有1種方法，若體育選周三，編程有2種方法，共3種選法，再由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的選課方案共有3+4+4+3＝14種．故答案為：14．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是（，2]．【分析】分x，y的正負(fù)討論可得出方程對應(yīng)的曲線，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系求解即可．【解答】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足足，當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，方程為的圖象為雙曲線在第一象限的部分；當(dāng)x＞0，y＜0時(shí)，方程為的圖象為橢圓在第四象限的部分；當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，方程為的圖象不存在；當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，方程為的圖象為雙曲線在第三象限的部分；在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象如圖所示，表示點(diǎn)（x，y）到直線x﹣2y+＝0的距離的倍，根據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為y＝±x，令z＝x﹣2y+，即y＝x﹣+，與雙曲線漸近線平行，觀察圖象可得，當(dāng)過點(diǎn)（x，y）且斜率為的直線與橢圓相切時(shí)，點(diǎn)（x，y）到直線x﹣2y+＝0的距離最大，即當(dāng)直線z＝x﹣2y+與橢圓相切時(shí)，z最大．聯(lián)立方程組，得2x2﹣（2z﹣2）x+z2﹣2z+1＝0，Δ＝（2z﹣2）2﹣4×2×（z2﹣2z+1）＝0，解得z＝±2．又因?yàn)闄E圓的圖象只有第四象限的部分，所以z＝+2．又直線x﹣2y+＝0與x﹣2y＝0的距離為1，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離大于1，所以z＞．綜上所述，＜z≤+2，所以＜|z|≤+2，即的取值范圍是（，2]．故答案為：（，2]．【點(diǎn)評】本題考查了曲線與方程，考查了直線與橢圓，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）【每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．】13．（5分）如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正確的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B． C．|a|＞|b| D．【分析】直接利用不等式的性質(zhì)和賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：對于A：由于a＜0，b＞0，當(dāng)a＝﹣3，b＝1時(shí)，不等式不成立，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)a＝﹣3，b＝1時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)a＝﹣1，b＝3時(shí)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D：由于a＜0，b＞0，故，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，賦值法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】利用向量相等的概念，結(jié)合充要條件的定義得到答案．【解答】解：若成立，由向量相等得到兩向量的長度方向都相同，即有||＝||，反之，若||＝||成立，若兩向量的方向不同則推不到，所以是||＝||的充分非必要條件，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查充要條件的有關(guān)定義，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知無窮等比數(shù)列{an}中a1＝2，|a2|＜2，它的前n項(xiàng)和為Sn，則下列命題正確的是（）A．?dāng)?shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{Sn}是遞減數(shù)列 C．?dāng)?shù)列{Sn}存在最小項(xiàng) D．?dāng)?shù)列{Sn}存在最大項(xiàng)【分析】對AB，舉公比為負(fù)數(shù)的反例判斷即可，對CD，設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，分q＞0和q＜0兩種情況討論，再得出結(jié)論即可．【解答】解：對AB，當(dāng)公比為﹣時(shí)，a2＝﹣1，a2＝﹣1，此時(shí)S1＝2，S2＝1，S3＝，此時(shí){Sn}既不是遞增也不是遞減數(shù)列；對CD，設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，當(dāng)q＞0時(shí)，因?yàn)閨a2|＜2，故2q＜2，故0＜q＜1，此時(shí)＝﹣，易得Sn隨n的增大而增大，故{Sn}存在最小項(xiàng)S1，不存在最大項(xiàng)；當(dāng)q＜0時(shí)，因?yàn)閨a2|＜2，故﹣2q＜2，故﹣1＜q＜0，Sn＝﹣，因?yàn)閨q|＜1，故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，隨著n的增大而增大，此時(shí)＜無最大值，當(dāng)n＝2時(shí)有最小值S2＝2+2q；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨著n的增大而減小，故＞無最小值，有最大值S1＝2，綜上，當(dāng)q＜0時(shí)，因?yàn)?+2q＜＜2，故當(dāng)n＝2時(shí)有最小值S2＝2+2q，當(dāng)n＝1時(shí)有最大值S1＝2，綜上所述，數(shù)列{Sn}存在最小項(xiàng)，不一定有最大項(xiàng)，故C正確；D錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系的問題，對學(xué)生的思維遷移能力要求較高，屬于中檔題．16．（5分）設(shè)集合，，，，其中a，b∈R，給出下列兩個(gè)命題：命題q1：對任意的a，P1是P2的子集；命題q2：對任意的b，Q1不是Q2的子集．下列說法正確的是（）A．命題q1是真命題，命題q2是假命題 B．命題q1是假命題，命題q2是真命題 C．命題q1、q2都是真命題 D．命題q1、q2都是假命題【分析】根據(jù)不等式的特征，可判斷命題q1，利用判別式，可得集合Q1、Q2的關(guān)系，從而判斷命題q2．【解答】解：由于x2+ax+2＝x2+ax+1+1，即x2+ax+1＞0時(shí)，x2+ax+2＞0一定成立，故P1是P2的子集，因此命題q1是真命題．令x2+x+b＝0，Δ＝1﹣4×1×b＜0?b＞；令x2+2x+b＝0，Δ＝4﹣4×1×b＜0?b＞1．從而可知，當(dāng)b＞1時(shí)，Q1＝Q2＝R，此時(shí)，Q1是Q2的子集，故命題q2是假命題．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了對命題真假的判斷，也考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．】17．（14分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長等于4，點(diǎn)E是棱DD1的中點(diǎn)．（1）求直線A1E與直線B1C所成的角；（2）若底面ABCD上的點(diǎn)P滿足PD1⊥平面A1EC1，求線段DP的長度．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式能求出直線A1E與直線B1C所成的角；（2）假設(shè)在底面ABCD上存在點(diǎn)P，使得PD1⊥平面A1EC1，設(shè)P（a，b，0），求出向量，，的坐標(biāo)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)求出a，b，由此能求出線段DP的長度．【解答】解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1（4，0，4），E（0，0，2），B1（4，4，4），C（0，4，0），∴＝（﹣4，0，﹣2），＝（﹣4，0，﹣4），設(shè)直線A1E與直線B1C所成角為，∴cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos，∴直線A1E與直線B1C所成的角為arccos．（2）假設(shè)在底面ABCD上存在點(diǎn)P滿足PD1⊥平面A1EC1，設(shè)P（a，b，0），∵C1（0，4，4），D1（0，0，4），∴＝（﹣4，4，0），＝（0，4，2），＝（a，b，﹣4），由PD1⊥平面A1EC1，得：，解得a＝2，b＝2，∴P（2，2，0），∴＝（2，2，0），||＝＝2，∴線段DP的長度為2．【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角、線面垂直的性質(zhì)、向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18．（14分）已知．（1）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f（A）＝0，且，求BC邊長的最小值．【分析】（1）先由三角恒等變換求f（x），然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間即可；（2）由余弦定理結(jié)合重要不等式求解即可．【解答】解：（1）已知，則f（x）＝，由，k∈Z，解得，k∈Z，即函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；（2）△ABC的內(nèi)角A滿足f（A）＝0，則2sin（2A﹣）﹣2＝0，又2A，則，即A＝，又，則AB×，即AB×AC＝6，由余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2×AC×AB×cosA可得：BC2≥2×AC×AB﹣AC×AB＝AC×AB＝6，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝AB時(shí)取等號(hào)，即BC邊長的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查了三角恒等變換，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及余弦定理，屬基礎(chǔ)題．19．（14分）環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車正成為人們購車的熱門選擇．某型號(hào)的電動(dòng)汽車在國道上進(jìn)行測試，國道限速80km/h．經(jīng)多次測試得到該汽車每小時(shí)耗電量M（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如表所示：v0104060M0132544007200為了描述國道上該汽車每小時(shí)耗電量M與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③M3（v）＝300logav+b．（1）當(dāng)0≤v≤80時(shí)，請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車從A地行駛到B地，其中高速上行駛200km，國道上行駛30km，若高速路上該汽車每小時(shí)耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關(guān)系滿足N（v）＝2v2﹣10v+200（80≤v≤120），則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？【分析】（1）對于③M3（v）＝300logav+b，當(dāng)v＝0時(shí)，它無意義，故不符合題意；對于②，該函數(shù)為減函數(shù)，故不符合題意，故選①，再利用待定系數(shù)法即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）對于③M3（v）＝300logav+b，當(dāng)v＝0時(shí)，它無意義，故不符合題意，對于②，該函數(shù)為減函數(shù)，故不符合題意，故選①，由表中數(shù)據(jù)可得，，解得，∴M（v）＝．（2）高速路段長200km，所用時(shí)間為h，則所耗電量為f（v）＝?N（v）＝?（2v2﹣10v+200）＝400v+﹣2000＝400（v+）﹣2000，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，f（v）在[80，120]上單調(diào)遞增，∴f（v）min＝f（80）＝400（80）﹣2000＝30500Wh，國道路段30km，所用時(shí)間為h，則所耗電量為g（v）＝?M（v）＝（）＝﹣60v+4500，∵0≤v≤80，∴當(dāng)v＝40時(shí)，g（x）min＝g（40）＝3300Wh，∴當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為80km/h，在國道上的行駛速度為40km/h時(shí)，該車從A地行駛到B地的總耗電量最少，最少為30500+3300＝33800Wh．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對勾函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．20．（16分）已知雙曲線Γ：x2﹣y2＝4，雙曲線Γ的右焦點(diǎn)為F，圓C的圓心在y軸正半軸上，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓C與雙曲線Γ的右支交于A、B兩點(diǎn)．（1）當(dāng)△OFA是以F為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求△OFA的面積；（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，求直線AB的方程；（3）求證：直線AB與圓x2+y2＝2相切．【分析】（1）根據(jù)題意求得，由三角形面積公式即可求得答案；（2）設(shè)圓C的方程為x2+（y﹣b）2＝b2，由點(diǎn)A的坐標(biāo)求得b，聯(lián)立Γ：x2﹣y2＝4求得B點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案；（3）設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立Γ：x2﹣y2＝4，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，再聯(lián)立可得y1y2＝2，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，可得x2+y2＝2的圓心到直線AB的距離等于半徑，可證明結(jié)論．【解答】解：（1）由題意△OFA是以F為直角頂點(diǎn)的直角三角形，，所以，所以△OFA的面積；（2）設(shè)圓C的方程為x2+（y﹣b）2＝b2，由題意，5+（b﹣1）2＝b2，所以b＝3，故圓C的方程為x2+（y﹣3）2＝9，由，得：y2﹣3y+2＝0，所以y1＝1，y2＝2，故A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，所以直線AB的方程為：；（3）證明：設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），圓C的方程為x2+（y﹣b）2＝b2（b＞0），由，得：（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣2＝0，由題意，得：，且，由，得：y2﹣by+2＝0，所以y1y2＝2，所以，即，所以m2＝2k2+2，因?yàn)樵c(diǎn)O到直線AB的距離，所以直線AB與圓x2+y2＝2相切．【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于