四年級(jí)三大原理包含與排除教師版

減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：A BABA (其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且"的意思。)，則 1A部分 B計(jì)算了2次，多加了1次2、再排除——AB 把多加了1次 部分 B減去包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A、B的并集 B的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去CA A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和A類元素的個(gè)數(shù)B類元素個(gè)數(shù)C類元素個(gè)數(shù)ABB類又是C類的元素個(gè)數(shù)A類又是C類的元素個(gè)數(shù)AB類、C用符號(hào)表示為： CABC B CAC 先包含——AB B、 C、 了2次，多加了1次再排除——ABC B CA部分 了3次，但是在進(jìn)行ABC B CAC計(jì)算時(shí)都被減掉了ABCBB CAC 138厘米和534厘米，焊接后這根鐵條有所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)3853487（厘米）242厘米的長(zhǎng)方形紙擺放成如圖形狀。把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘【分析】被覆蓋面積=長(zhǎng)方形面積之和部分被覆蓋面積4222212（平方厘米【例3】一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，另一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)10厘米，寬6厘米，它們中間的部分是一4厘米的正方形，求這個(gè)組合圖形的面積?！痉治觥拷M合圖形的面積=長(zhǎng)方形面積之和部分組合圖形的面積12810644140（平方厘米432人，參加軍棋比賽的有28人，有18人兩項(xiàng)比賽AACB32281842（人5（第二屆小學(xué)迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽）有100位旅客，其中有10人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有75人懂83人懂俄語(yǔ)。問既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？【分析】（法1）在100人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：1001090（人又因?yàn)橛?5907515（人從83位懂俄語(yǔ)的旅客中除去只懂俄語(yǔ)的人，剩下的831568（法2）在100人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：1001090（人 BAB B75839068（人61820幅不是五年級(jí)的?，F(xiàn)在知道五、六年級(jí)共展出22幅畫，問：其它年級(jí)共展出多少幅畫？（方法一）其中18幅不是六年級(jí)的，則15年級(jí)共展出1820幅不是五年級(jí)的，則14年級(jí)與6年級(jí)共展出20五、六年級(jí)共展出22令14x幅，則22x1820xx8，其它年級(jí)共展出8（方法二）182022281---4年級(jí)【例7】100個(gè)非零自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)有多少個(gè)AACBA圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被2B圓內(nèi)是前100個(gè)自然數(shù)中所有能被3C為前100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3前100個(gè)自然數(shù)中能被2整除的數(shù)有：100250(個(gè))由1003331知，前100個(gè)自然數(shù)中能被333由100(23)16 4知，前100個(gè)自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)有1個(gè)。所以A中有50個(gè)數(shù)，B中有33個(gè)數(shù)，C中有1個(gè)數(shù)。AB都包含C，根據(jù)包含排除法得到，能被2或350331667(個(gè))81~20092009個(gè)自然數(shù)既不能被741 7 venn因?yàn)?0097287，所以在1~2009自然數(shù)中，能被7整除的自然數(shù)有287因?yàn)?0094149，所以在1~2009自然數(shù)中，能被41整除的自然數(shù)有49因?yàn)?00974171~20097整除又能被41整除的自然數(shù)有7由容斥原理，在1~2009自然數(shù)中，能被7整除或能被41整除的自然數(shù)有287497329在1~2009自然數(shù)中，既不能被7整除又不能被41整除的自然數(shù) 3291680個(gè)【例9】50名同學(xué)面向老師站成一行。老師先讓大家從左至右按1、2、 49、50依次報(bào)數(shù)；再讓4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。問：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少第一類是標(biāo)號(hào)既不是4的倍數(shù)又不是6第二類是標(biāo)號(hào)既是4的倍數(shù)又是621504的倍數(shù)有12504226的倍數(shù)有8個(gè)5062既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)即是12的倍數(shù)有4個(gè)5012 2于是第一類同學(xué)有50128434第二類同學(xué)有4人，所以現(xiàn)在共有34438【例10】 組織棋類比賽分成圍棋中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行參加圍棋比賽的有42人，參加中國(guó)象棋比賽的有55人，參加國(guó)際象棋比賽的有33人，同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的有18人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的有10人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問參加棋類比賽的共有多少人？【分析】根據(jù)：A CABCA BB CACA 參加棋類比賽的總?cè)藬?shù)為：42553318109598（人）?！纠?1】 有三個(gè)面積各為30平方厘米的圓，兩兩的面積分別為5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米，三個(gè)圓共同的面積為3平方厘米（如圖）。三個(gè)圓共蓋住多大面積？303030568374 如圖已知甲乙丙三個(gè)圓的面積都是30甲與乙乙與丙甲與丙重合部分的面積分別為685，三個(gè)圓覆蓋的總面積為73甲甲乙【分析】由圖中關(guān)系可得：三個(gè)圓的公共部分面積應(yīng)該為733036852所以陰影部分面積為6852215空白部分面積為731558 在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除，又不能被3整除，還不能被5整除的數(shù)有多少個(gè)【分析】在1至100的自然數(shù)中，或能被2整除，或能被3整除，或能被5503320166374所以，在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除，又不能被3整除，還不能被51007426（個(gè)【例14】有三個(gè)面積各為20平方厘米的圓紙片放在桌面上。三個(gè)紙片共同的面積是8平方厘米，三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積是36平方厘米。問：圖中陰影部分的面積之和是多少？88x，則36203x82x8?；蛘?0382368平方厘米 五年級(jí)3班有46名學(xué)生參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的3.5倍，又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的組的有10x，參加朗誦小組的為7x，既參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數(shù)為2x，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)也為2x。根據(jù)列出方程4624207x2x2x10x，解得x3，所以參加朗誦小組的人數(shù)為7x21人。【例16】在游藝會(huì)上，有100名同學(xué)抽到了分別為1至100的獎(jiǎng)券。按獎(jiǎng)券號(hào)獎(jiǎng)品的規(guī)則數(shù)可以重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng)；其他號(hào)均獎(jiǎng)1支鉛筆。那么游藝會(huì)為該活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有多少支？【分析】100250，1003 1，1006 411002的倍數(shù)有503的倍數(shù)有336的倍數(shù)有16個(gè)，既不是2的倍數(shù)又不是3的倍數(shù)有10050331633個(gè)；游藝會(huì)為該活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品數(shù)為502333331232【例17】 有2000盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序標(biāo)號(hào)為123 2000，然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一下最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線拉一下200021000，2的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為1000；20003 2，3的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為666200054005的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為40020006 2，同時(shí)是2和3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為200010200，同時(shí)是2和5的倍數(shù)，即是10的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為200015 5，同時(shí)是3和5的倍數(shù)，即是15的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)，即是30的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為200030沒被拉一次的電燈盞數(shù)（不是2、3、5的倍數(shù)）只被拉兩次的電燈盞數(shù)（只是其中兩者的倍數(shù)）為333200133663所以最后亮著的燈的盞數(shù)為534468100222的倍數(shù)610的倍數(shù)15不是2、3、5【例18】 （第六屆“杯”五年級(jí)初賽）甲、乙、丙三人澆花，甲澆了68盆，乙澆了62盆，丙澆了56盆。已知共有花90盆，則三人都澆了的花至少有多少盆？【分析】甲乙丙一共澆花6862 86三人都澆的花至少有1869026盆【例19】 甲、乙、丙、丁四人共澆了100盆花，其中甲澆了30盆，乙澆了75盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，問：恰好僅被一人澆過的花至多有 甲乙丙丁

5 甲乙丙

丁

25103252720】一個(gè)班有若干個(gè)學(xué)生，其中會(huì)游泳的有3027人，會(huì)下象棋的有24人，三樣都會(huì)的有1人，那么只會(huì)兩樣的至多有幾人？【分析】一共30272481只會(huì)兩樣的至多(81323921】甲、乙、丙三人同時(shí)在讀同樣的故事書，書中有100個(gè)故事，每個(gè)人都從某一個(gè)故事開始，按順序往后讀，已知甲讀了75個(gè)故事，乙讀了60個(gè)故事，丙讀了52個(gè)故事，那么甲、乙、丙3人共同讀【分析】先考慮甲、乙兩個(gè)人，甲、乙都讀過的故事至少有756010035（個(gè)甲單獨(dú)看的故事是753540（個(gè)，乙單獨(dú)看的故事有603525（個(gè)，所以三人共同看過的故事最少有524012（個(gè)【例22】 某班有46人,其中40人會(huì)騎自行車,38人打乒乓,35人會(huì)打羽毛球,27人會(huì)游泳,這個(gè)班上【分析】一共40383527140若要四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)盡可能的少，那么每人會(huì)3項(xiàng)運(yùn)動(dòng)四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的至少有1404632人【例23】 五條同樣長(zhǎng)的線段拼成一個(gè)五角星如果每條線段上恰有2010個(gè)點(diǎn)被染成紅色那么在這個(gè)【分析】有10個(gè)交點(diǎn)部分的紅色點(diǎn)是公用點(diǎn)，因此五角星上紅色點(diǎn)最少有201051010040【例24】 最小值684310011種，最大值就是含鐵的種數(shù)43【例25】 【分析】每隔3厘米做一個(gè)記號(hào)，記號(hào)有1803159（個(gè)每隔4厘米做一個(gè)記號(hào)，記號(hào)有1804144（個(gè)因?yàn)閇3412，所以其中重合的記號(hào)有18012114（個(gè)繩子上共有59441489（個(gè)）記號(hào)，繩子被剪成89190（段【例26】 將113分別填入右圖四個(gè)圓相互分割成的13個(gè)區(qū)域，然后把每個(gè)圓內(nèi)的7個(gè)數(shù)相加，最后11 6938125方法（一）上方圓的總和1711810131262下方圓的總和101312695358；左邊圓的總和27106111395右邊圓的總和111398125462；總和62585862240方法（二）總和134(121110 桃又沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？AAB【分析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員46AB圓表示采了杏的人數(shù)。46640（人，而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)+兩種都采了的人數(shù)+只采了杏的人數(shù)，4018715（人。 二年級(jí)一班共42名同學(xué)，其中少先隊(duì)員33人。這個(gè)班男生20人，中有4人不是少先隊(duì)【分析】二年級(jí)一班共42名同學(xué)，這個(gè)班男生20人，這個(gè)班422022人中有4人不是少先隊(duì)員，中有22418人是少先隊(duì)員男生中有331815 甲、乙、丙同時(shí)給100盆花澆水。已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58，那么3人都澆【分析】甲乙丙一共澆花786858204三人都澆的花至少有20410024 （2007年3月18日第五屆小學(xué)“希望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽四年級(jí)第1試第12題）養(yǎng)牛場(chǎng)2007頭黃牛和水牛其中母牛1105頭黃牛1506頭公水牛200頭那么母黃牛 頭（方法一）因?yàn)轲B(yǎng)牛場(chǎng)有2007頭黃牛和水牛，母牛有1105頭；所以公牛有20071105902頭；因?yàn)楣Ｓ?00所以公黃牛有902200702頭；因?yàn)辄S牛有1506頭；所以母黃牛有1506702804（方法二）因?yàn)轲B(yǎng)牛場(chǎng)有2007頭黃牛和水牛，黃牛有1506頭；所以水牛有20071506501頭；因?yàn)楣Ｓ?00所以母水牛有501200301頭；因?yàn)槟概Ｓ?105頭；所以母黃牛有1105301804 （2009年3月14號(hào)第九屆杯四年級(jí)決賽第3題）某次考試，通過語(yǔ)文考試的有53人通過數(shù)學(xué)考試的有41人，通過語(yǔ)文考試但沒有通過數(shù)學(xué)考試的有34人，那么通過數(shù)學(xué)考試但沒【分析】通過語(yǔ)文考試且通過數(shù)學(xué)考試的有533419（人所以通過數(shù)學(xué)考試但沒有通過語(yǔ)文考試的有411922（人 甲乙丙三個(gè)小組學(xué)，為學(xué)校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組和乙組一共擦了60塊玻璃，那么，甲乙丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？【分析】68塊玻璃不是甲組擦的，說明這6852塊玻璃不是乙組擦的，說明這52A表示乙丙兩組擦的68B圓表示甲丙兩組擦的52塊玻璃，因?yàn)榧滓覂山M共擦了6068526060塊，這是兩個(gè)兩組擦的玻璃數(shù)，因此丙組擦了60230塊玻璃。乙組擦了683038塊玻璃，甲組擦了523022 A甲B 某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格若兩次考試中，都沒有及格的有4A26B24顯然，AB262450； B32428BABAB B5028那么兩次考試都及格的人數(shù)是22 在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，10個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中6個(gè)人帶了漢堡了芝士蛋糕。2(1)三種都帶了的有幾人?2)只帶了一種的有幾個(gè)?AABCABC（1）根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)(帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)+帶芝士蛋糕的人數(shù)(帶漢堡、雞腿的人數(shù)帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)即10664321得三種都帶了的人數(shù)為：10100（人（2）求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10(321)4（人。只帶了一種的有4人。 在1到2004所有自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)又不是3和5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)2004210022的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為1002200436683的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為66820045 45的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為40020046334，同時(shí)是2和3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為334200410 4，同時(shí)是2和5的倍數(shù)，即是10的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為200200415 9，同時(shí)是3和5的倍數(shù)，即是10 24，同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)，即是30的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為不是2、3、5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為2004100266822倍數(shù)633010的倍數(shù)155不是2、3、5【補(bǔ)充】從1 的正整數(shù)中，至少能被3、5、7之一整除的數(shù)有多少個(gè)【分析】能被3整除的數(shù) 0033333331能被5整除的數(shù) 005200000能被7整除的數(shù) 007 1同時(shí)能被3、5整除的數(shù) 00015 10同時(shí)能被5、7整除的數(shù) 0035 5同時(shí)能被3、7整除的數(shù) 0021 1同時(shí)能被3、5、7整除的數(shù) 0010