河南省頂尖名校2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第三次素養(yǎng)調(diào)研理科數(shù)學(xué)試題（WORD版含答案）

河南省頂尖名校2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第三次素養(yǎng)調(diào)研理科數(shù)學(xué)試卷本試卷考試時(shí)間120分鐘，滿分150分。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合B＝{0，1，2}，C＝{－1，0，1}，非空集合A滿足AB，AC，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為A．3B．4C．7D．82．已知復(fù)數(shù)z滿足（2＋i）z＝｜4－3i｜（i為虛數(shù)單位），則z＝A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i3．某街道甲、乙、丙三個(gè)小區(qū)的太極拳愛(ài)好者人數(shù)如右側(cè)的條形圖所示．該街道體協(xié)為普及群眾健身養(yǎng)生活動(dòng)，準(zhǔn)備舉行一個(gè)小型太極拳表演．若用分層抽樣的方法從這三個(gè)小區(qū)的太極拳愛(ài)好者中抽取12名參加太極拳表演，則丙小區(qū)應(yīng)抽取的人數(shù)為A．2B．3C．4D．64．已知橢圓C：（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C的上頂點(diǎn)，若∠F1PF2＝，則b＝A．3B．5C．7D．95．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，0）和圓O：x2＋y2＝1，在圓O上任取一點(diǎn)Q，連接PQ，則直線PQ的斜率大于－的概率是A．B．C．D．6．?dāng)?shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類．螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”．小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，用以下方法畫出了如圖所示的螺旋線．具體作法是：先作邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC，分別記射線AC，BA，CB為l1，l2，l3，以C為圓心、CB為半徑作劣弧BC1交l1于點(diǎn)C1；以A為圓心、AC1為半徑作劣弧C1A1交l2于點(diǎn)A1；以B為圓心、BA1為半徑作劣弧A1B1交l3于點(diǎn)B1，…，依此規(guī)律作下去，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線．記劣弧BC1的長(zhǎng)，劣弧C1A1的長(zhǎng)，劣弧A1B1的長(zhǎng)，…依次為a1，a2，a3，…，則a1＋a2＋…＋a9＝A．B．C．D．7．已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且＝（0＜＜1），設(shè)AD與BE交于點(diǎn)P，當(dāng)變化時(shí)，記m＝·，則下列說(shuō)法正確的是A．m隨的增大而增大B．m先隨的增大而增大后隨的增大而減少C．m隨的增大而減小D．m為定值8．設(shè)是給定的平面，A和B是不在內(nèi)的任意兩點(diǎn)，則下列命題正確的是①在內(nèi)存在直線與直線AB異面②在內(nèi)存在直線與直線AB相交③存在過(guò)直線AB的平面與垂直④存在過(guò)直線AB的平面與平行A．①④B．②③C．①③D．②④9．快遞行業(yè)的高速發(fā)展極大地滿足了人們的購(gòu)物需求，也提供了大量的就業(yè)崗位，出現(xiàn)了大批快遞員．某快遞公司接到甲、乙兩批快件，基本數(shù)據(jù)如下表：快遞員小馬接受派送任務(wù)，小馬的送貨車載貨的最大容積為350立方分米，最大載重量為250千克，小馬一次送貨可獲得的最大工資額為A．150元B．170元C．180元D．200元10．已知函數(shù)則方程（x－1）f（x）＝1的所有實(shí)根之和為A．2B．3C．4D．111．已知函數(shù)（＞0），若f（x）在區(qū)間（，）上不存在零點(diǎn)，則的取值范圍是A．（0，]B．（0，]∪[，]C．（，）∪（，1]D．[，]12．已知雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)F2T交雙曲線E的左支于點(diǎn)P．若｜PF2｜＞2｜TF2｜，則雙曲線E的離心率的取值范圍是A．（2，＋∞）B．（，＋∞）C．（，）D．（2，）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于64,則展開(kāi)式中的系數(shù)是________.14．已知三棱錐中，側(cè)棱底面ABC，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_________．15．已知數(shù)列滿足，則__________.16．對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間（），使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有_____（填上所有符合要求的序號(hào)）三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)：①；②；③，解答如下的問(wèn)題（1）證明：；（2）若邊上的點(diǎn)滿足，求線段的長(zhǎng)度的最大值.18．（12分）某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量分別，，，，（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)頻率分布直方圖如圖所示．(1)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)在樣本中，按分層抽樣從質(zhì)量在，中的芒果中隨機(jī)抽取10個(gè)，再?gòu)倪@10個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)芒果都來(lái)自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率；(3)某經(jīng)銷商來(lái)收購(gòu)芒果，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，用樣本估計(jì)總體，該種植園中共有芒果大約10000個(gè)，經(jīng)銷商提出以下兩種收購(gòu)方案：方案①：所有芒果以10元/千克收購(gòu)；方案②：對(duì)質(zhì)量低于350克的芒果以3元/個(gè)收購(gòu)，對(duì)質(zhì)量高于或等于350克的芒果以5元/個(gè)收購(gòu)．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？19．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”.在如圖所示的“陽(yáng)馬”中，側(cè)棱底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若平面與平面所成的二面角為，求.20．（12分）已知拋物線，直線交于、兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求的值；(2)如圖，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線分別與軸交于、，和交于，.證明：存在實(shí)數(shù)，使得.21．（12分）已知函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若，求證：．（二）選考題，共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)），曲線：（為參數(shù)，實(shí)數(shù)）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：，（，）與交于O，A兩點(diǎn)，與交于O，B兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求a，b的值；(2)求的最大值．23.[選修4-5:不等式選講]（10分）已知，若在R上恒成立.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)實(shí)數(shù)a的最大值為m，若正數(shù)b，c滿足，求bc+c+2b的最小值.理科數(shù)學(xué)答案ABCADADCBABC13．14．15．16．②,③17．（1）選條件①：由，得，由正弦定理可得：，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以；在中，由正弦定理可得：，所以，即證；選擇條件②：由正弦定理可得：，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)整理得：，由，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，即證；選擇條件③：由已知得：，由余弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，即證；（2）由及，可得，在中，由余弦定理可得：，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得：，所以，所以當(dāng)即時(shí)，取最大值為，所以線段的長(zhǎng)度的最大值為.18．(1)由頻率分布直方圖可得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（克）；(2)由題可知質(zhì)量在，中的頻率分別為0.2，0.3，按分層抽樣從質(zhì)量在，中的芒果中隨機(jī)抽取10個(gè)，則質(zhì)量在中的芒果中有4個(gè)，質(zhì)量在中的芒果中有6個(gè)，從這10個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè)，共有種等可能結(jié)果，記事件A為“這2個(gè)芒果都來(lái)自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間”，則事件A有種等可能結(jié)果，∴；(3)方案①收入：（元）；方案②收入：由題意得低于350克的收入：（元）；高于或等于350克的收入：（元）.故總計(jì)（元），由于,故種植園選擇方案②獲利更多.19．(1)設(shè)，，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為，，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，，于是，即，又已知，而，所以平面.(2)由平面，所以是平面的一個(gè)法向量；由（1）知，平面，所以是平面的一個(gè)法向量.若面與面所成二面角的大小為，則，解得.所以，故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.20．(1)解：將代入得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，則，解得或（舍），故.(2)將代入中得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，對(duì)求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，①同理拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，②聯(lián)立①②得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，即切線與交于軸上一點(diǎn)，此時(shí)、、重合，由，則，又，則存在使得成立；當(dāng)時(shí)，切線與軸交于點(diǎn)，切線與軸交于點(diǎn)，由，得的中點(diǎn)，由得，即，又，所以，所以，，又，所以存在實(shí)數(shù)使得成立.綜上，命題成立.21．(1)由題意（其中），只需考慮函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，取時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)在存在唯一個(gè)零點(diǎn)，且．③當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，；時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則是函數(shù)在上唯一的極小值點(diǎn)，且．取時(shí)，，取時(shí)，.因此：若，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；若，即時(shí)，有唯一個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；或時(shí)，有唯一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)．(2)不等式即為（其中），先證時(shí)，．令，則，則單調(diào)遞增，所以，則．所以，故只需證明即可．即證明（其中），令，，只需證明即可．又，，則時(shí)，；時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則時(shí)，取得極大值，且，也即為最大值．由得．則時(shí)，；時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則時(shí)，取得極小