內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市第二中學(xué)2023年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題理試題

內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市第二中學(xué)2023年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題[理]試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作斜率為的直線交C的右支于點(diǎn)A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+12．已知函數(shù)（表示不超過x的最大整數(shù)），若有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．4．如圖所示，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）A． B．C． D．5．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．36 B．72 C． D．6．關(guān)于函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．② C．②③ D．③7．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）①②③④⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)．近代無(wú)窮乘積式、無(wú)窮連分?jǐn)?shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值的計(jì)算精度也迅速增加．華理斯在1655年求出一個(gè)公式：，根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的，若判斷框內(nèi)填入的條件為，則正整數(shù)的最小值是A． B． C． D．9．運(yùn)行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．201710．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等差數(shù)列公差（）A．2 B． C．3 D．411．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．12．設(shè)，均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________．14．已知x，y＞0，且，則x+y的最小值為_____．15．在的展開式中，的系數(shù)為________．16．已知，，，且，則的最小值為___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€l過右焦點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．18．（12分）某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時(shí)，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個(gè)工人獨(dú)立維修A元件需要時(shí)間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個(gè)數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個(gè)數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個(gè)數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個(gè)數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個(gè)維修工人每天維修元件A的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個(gè)，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）19．（12分）如圖，設(shè)橢圓：，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率是．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求面積的最小值，以及取到最小值時(shí)直線的方程．20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）對(duì)及，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點(diǎn)，則，整理計(jì)算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.2、A【解析】

根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則等價(jià)為有且僅有3個(gè)根，即與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)和的圖象如圖，當(dāng)a=1時(shí)，與有無(wú)數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，即，時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)，要使與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線處在過和之間，即，故選：A．【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.3、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設(shè)球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，，故是直角三角形，設(shè)，則有，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因?yàn)殡u蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點(diǎn)距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時(shí)，可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫出題目通過球心和最低點(diǎn)的截面，然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.5、A【解析】

根據(jù)是與的等比中項(xiàng)，可求得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足，，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.6、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí)，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，而，當(dāng)時(shí)，再求值域.【詳解】因?yàn)椋盛馘e(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，易知，故當(dāng)時(shí)，，故③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.7、B【解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.8、B【解析】

初始：，，第一次循環(huán)：，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：，，此時(shí)，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是，所以正整數(shù)的最小值是3，故選B．9、D【解析】

依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環(huán)．輸出1．選D．10、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.12、B【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，均為非零的平面向量，存在?fù)數(shù)，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時(shí)，滿足，但此時(shí)，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點(diǎn)睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).14、1【解析】

處理變形x+y＝x（）+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x，y＞0，且，則x+y＝x（）+y1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝4，y＝2，取得最小值1．故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查利用均值不等式求解最值，關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件，注意考慮等號(hào)成立的條件.15、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式定理，求出含的系數(shù)和含的系數(shù)，相乘即可.【詳解】的展開式中，所求項(xiàng)為：，的系數(shù)為.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由，先將變形為，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解：因?yàn)?，，，且，所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡(jiǎn)和運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，得到，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到，從而求得，進(jìn)而求得橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論，寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】（1）由離心率為，可得，，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為，因與直線相切，則有，即，，，故而橢圓方程為．（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，由于；②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，，，則；③當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，由及，得，有，∴，，，，∴，綜上所述：．【點(diǎn)睛】該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，求向量數(shù)量積，在解題的過程中，注意對(duì)直線方程的分類討論，屬于中檔題目.18、（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當(dāng)P（a≤X≤b）取到最大值時(shí)，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結(jié)果，判斷至少增加2人．【詳解】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時(shí),a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計(jì)算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中等題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最小值為9，.【解析】

（Ⅰ）由已知求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程為，設(shè)，把直線方程代入拋物線方程，化為的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得，同理求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是可得，將面積表示為參數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【詳解】（Ⅰ）∵橢圓：，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，∴，又∵橢圓的離心率是，∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）過點(diǎn)的直線的方程設(shè)為，設(shè)，，聯(lián)立得，∴，，∴．過且與直線垂直的直線設(shè)為，聯(lián)立得，∴，故，∴，面積．令，則，，令，則，即時(shí)，面積最小，即當(dāng)時(shí)，面積的最小值為9，此時(shí)直線的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，拋物線中弦長(zhǎng)的求解，涉及三角形面積范圍問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬綜合困難題.20、（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】

詳解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)