矩陣位移法哈工大結(jié)構(gòu)力學(xué)

關(guān)于矩陣位移法哈工大結(jié)構(gòu)力學(xué)第1頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.概述結(jié)點(diǎn)：桿件交匯點(diǎn)、剛度變化點(diǎn)、支承點(diǎn)。有時(shí)也取荷載作用點(diǎn)。圖中1、2、3、4點(diǎn)均為結(jié)點(diǎn)。

單元：兩結(jié)點(diǎn)間的等直桿段。圖中1-3、2-4、3-4為

單元。編碼：黑的結(jié)點(diǎn)編號(hào)稱整體碼。紅的1、2局限于單元，稱

局部碼。坐標(biāo)：蘭的坐標(biāo)稱

整體坐標(biāo)。紅的x、y局限于單元，稱局部坐標(biāo)1342xy121122yx右手系①②③

將結(jié)構(gòu)分解為桿件集合，為進(jìn)行分析，事先需做下面稱為離散化的工作第2頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于如下所示的結(jié)構(gòu)，離散化時(shí)需先做以下的工作第3頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.單元?jiǎng)偠确匠袒驹恚涸趶椥孕∽冃螚l件下，疊加原理成立。已有知識(shí)：轉(zhuǎn)角位移方程、單跨梁形常數(shù)和載常數(shù)。目的：像位移法一樣，通過(guò)“一拆、一合”來(lái)解決結(jié)構(gòu)分析。為此，必須首先掌握單元的特性。第4頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用疊加原理單元?jiǎng)偠确匠唐矫胬瓑?(桁架)單元第5頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月EE連續(xù)梁?jiǎn)卧茂B加原理單元?jiǎng)偠确匠虅偠染仃嚨刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載矩陣第6頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不考慮軸向變形的平面梁柱單元q(x)根據(jù)形、載常數(shù)，利用疊加原理可得梁柱單元的單元?jiǎng)偠确匠虨榈?頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃?應(yīng)熟記)是轉(zhuǎn)角位移方程的矩陣表示單元桿端位移矩陣第8頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣向上滿跨均布荷載q作用逆時(shí)針滿跨均布力偶m作用根據(jù)單跨梁的載常數(shù)，可得第9頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)軸向變形的平面自由式梁柱單元單元?jiǎng)偠染仃嚳筛鶕?jù)疊加原理得到拉壓梁柱這一結(jié)果對(duì)應(yīng)的桿端位移矩陣如何？單元等效結(jié)點(diǎn)荷載可同理疊加得到補(bǔ)充第10頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)

根據(jù)反力互等定理，單元?jiǎng)偠染仃囈欢ㄊ菍?duì)稱矩陣。

除連續(xù)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囃?，其它三種單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惖摹?/p>

解釋一：從數(shù)學(xué)上看，因?yàn)榇嬖谙嚓P(guān)的行、列，所以對(duì)應(yīng)的行列式為零，矩陣不可逆。

解釋二：從物理概念上看，因?yàn)闂U端相當(dāng)于沒(méi)有約束（均可位移），自由體系在平衡外力作用下，可以產(chǎn)生慣性運(yùn)動(dòng)，所以無(wú)法由平衡的外荷唯一地確定位移。

剛度矩陣元素kij的物理意義為：?jiǎn)卧獌H發(fā)生第個(gè)j桿端單位位移時(shí)，在第個(gè)i桿端位移對(duì)應(yīng)的約束上所需施加的桿端力。第11頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題

在搞清單元特性后，像位移法一樣，需將單元拼裝回去。在結(jié)點(diǎn)處位移自動(dòng)滿足協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上，令全部結(jié)點(diǎn)平衡，即可建立求解位移的方程，這是下一節(jié)將討論的內(nèi)容。

除連續(xù)梁外，一般結(jié)構(gòu)單元不全同方位，為保證協(xié)調(diào)和平衡，應(yīng)將桿端位移和桿端力都轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一的，對(duì)整體坐標(biāo)的量，因此要先解決坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題。下面先討論自由式梁?jiǎn)卧霓D(zhuǎn)換問(wèn)題。第12頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月力的轉(zhuǎn)換位移的轉(zhuǎn)換將局部量向整體量方向投影，可得將整體量向局部量方向投影，可得第三、六兩個(gè)量不存在轉(zhuǎn)換問(wèn)題。第13頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果記結(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單元桿端位移坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為因此位移力第14頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月剛度方程的轉(zhuǎn)換力轉(zhuǎn)換剛度方程位移轉(zhuǎn)換如果記整體坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚍閯t整體坐標(biāo)單元?jiǎng)偠确匠虨榫植孔鴺?biāo)第15頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)梁?jiǎn)卧枰M(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換嗎？連續(xù)梁的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，所以不需要轉(zhuǎn)換。第16頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月桁架單元如何進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換？力的轉(zhuǎn)換位移的轉(zhuǎn)換第一種做法第17頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二種做法位移擴(kuò)展為剛度矩陣改為轉(zhuǎn)換矩陣第18頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)成900時(shí)，局部單剛和整體單剛間有何關(guān)系？局部坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嘥o47第19頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.整體分析以圖示簡(jiǎn)例來(lái)說(shuō)明

圖中有兩套編號(hào)，紅的是單元桿端編號(hào)，黑的是結(jié)構(gòu)整體編號(hào)。4-1)結(jié)點(diǎn)示意121221①②③

圖中藍(lán)色的表示結(jié)點(diǎn)荷載（已知），紅色的表示桿端力（未知的），、分別①、②單元桿端力子矩陣。對(duì)1、4結(jié)點(diǎn)“荷載”含有未知反力。2第20頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4-2)結(jié)點(diǎn)平衡

由示意圖可見(jiàn)，結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)的平衡方程為121221①②③2134第21頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若記2134則平衡方程為式中(I)、0分別為單位和零矩陣。第22頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若引入矩陣記號(hào)則結(jié)點(diǎn)平衡方程可改寫(xiě)作

這一結(jié)論雖然是由一個(gè)例子得到的，但是顯然對(duì)一切結(jié)構(gòu)都是成立的。問(wèn)題在于不同結(jié)構(gòu)，(A)矩陣是不同的。①②③第23頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4-3)桿端位移用結(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示121221①②③仍以上述簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明若記

由結(jié)點(diǎn)、桿端位移的協(xié)調(diào)條件，可得()、()的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

式中(A)T是前面力關(guān)系(A)的轉(zhuǎn)置，因此(A)T稱為位移轉(zhuǎn)換矩陣。第24頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4-4)整體剛度方程——結(jié)點(diǎn)平衡121221①②③若記引入位移轉(zhuǎn)換關(guān)系，則第25頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

這就是整體剛度方程，它的物理實(shí)質(zhì)是結(jié)點(diǎn)平衡。(K)稱作結(jié)構(gòu)剛度矩陣（或整體剛度矩陣），(P)稱作綜合等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣，它由兩部分組成:

Pd

直接結(jié)點(diǎn)荷載矩陣由結(jié)點(diǎn)荷載組成

PE

等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣由單元荷載組成綜合等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣整體(總體)剛度矩陣整體(總體)剛度方程第26頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元個(gè)數(shù)③②①4-5)整體剛度矩陣的建立121221①②③

若將(A)按單元分成圖示三個(gè)子矩陣

則第27頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月121221①②③

由此可見(jiàn)，整體剛度矩陣可由各單元整體剛度矩陣裝配累加得到。為說(shuō)明如何裝配，先將單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行分割整體結(jié)點(diǎn)碼

則由矩陣乘法可證明，(A)I(k)I(A)iT的結(jié)果是，將剛度矩陣子矩陣按整體結(jié)點(diǎn)碼r、s

送整體剛度矩陣相應(yīng)位置。這一裝配規(guī)則稱為“對(duì)號(hào)入座”。第28頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月整體結(jié)點(diǎn)碼剛度矩陣對(duì)號(hào)入座集裝規(guī)則第29頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4-6)任意結(jié)構(gòu)情況

上面結(jié)論是通過(guò)具體例子（全剛結(jié)點(diǎn)平面剛架）得到的，由理論分析可證明，任意結(jié)構(gòu)其結(jié)論同此例。1)結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)

如果按結(jié)點(diǎn)順序，對(duì)結(jié)點(diǎn)非零位移進(jìn)行依次編號(hào)，這一序號(hào)稱作結(jié)點(diǎn)位移碼。為便于計(jì)算機(jī)處理并減少結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階次，將零位移的號(hào)碼變?yōu)榱?。①②③?/p>

對(duì)圖示三鉸剛架，當(dāng)僅用一種單元（梁柱自由是單元）時(shí)結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)如圖所示。2)單元定位向量

按單元局部結(jié)點(diǎn)碼順序，將結(jié)點(diǎn)位移碼排成的向量，稱作單元的定位向量。第30頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①②③④

對(duì)圖示剛架各單元的定位向量為①

(0,0,1,3,4,5)②(0,0,2,10,11,12)③

(3,4,5,6,7,8)④

(6,7,9,10,11,12)

如果如圖所示采用各種不同的單元（一端有鉸），則定位向量為①②③④①②③④①

(0,0,1,2,3)②

(0,0,,6,7,8)③

(1,2,3,4,5)④

(4,5,6,7,8)如何獲得帶鉸的單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ш奢d矩陣第31頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一端帶鉸的單元如下圖所示

其單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載矩陣可有兩種方法獲得：直接用形、載常數(shù)疊加來(lái)的到；由自由式單元?jiǎng)偠确匠?，以鉸結(jié)端彎矩為零為約束條件，從這個(gè)方程解出鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角位移（用其它位移表示），代回其它剛度方程，整理后即可得到。這類單元的單元?jiǎng)偠染仃嚳稍?Ⅱ)P.40找到第32頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定位向量①②③④①②③④1)剛度集裝(以④單元為例)定位向量單元局部位移碼4-7)按單元定位向量集裝剛度矩陣和綜合荷載

前面說(shuō)明的是分塊子矩陣集裝,下面說(shuō)明如何按定位向量來(lái)集裝.

根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系用定位向量位移碼送元素。第33頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月位移碼位移碼總荷111213141522232425333444354555對(duì)稱“總荷”第④單元集裝后的“總剛”小結(jié)第34頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①②③④①②③④2)荷載集裝

以②單元為例來(lái)說(shuō)明定位向量局部位移碼此結(jié)論同樣適用于剛度集裝根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系用定位向量位移碼送元素，定位向量元素為零時(shí)不送。第35頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月整體分析小結(jié)1)對(duì)局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)不一致的單元，要對(duì)剛度、荷載進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。2)需對(duì)“結(jié)構(gòu)”進(jìn)行結(jié)點(diǎn)、位移的局部和整體編號(hào)。4)整體剛度矩陣是對(duì)稱、帶狀稀疏矩陣，支撐條件能限制剛體位移時(shí)，矩陣非奇異。3)根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系用定位向量位移碼送元素，定位向量元素為零時(shí)不送。據(jù)此可集裝、累加得到整體剛度矩陣。第36頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5)綜合荷載由兩部分組成，因此首先要將直接作用結(jié)點(diǎn)的荷載按結(jié)點(diǎn)位移碼送入，如果還有單元等效荷載，再按定位向量集裝、累加?！?)如果有某位移碼方向彈性支撐，需進(jìn)行將彈簧剛度送入位移碼對(duì)應(yīng)的對(duì)角線元素位置累加?！?)如果有某位移碼方向已知支撐位移，需進(jìn)行將“邊界條件處理”。具體做法以后介紹。7)整體剛度方程實(shí)質(zhì)是全部結(jié)點(diǎn)的平衡條件。6)剛度矩陣帶狀稀疏，其帶寬取決于結(jié)點(diǎn)、位移編碼。最大半帶寬=定位向量中最大元素差+1。整體分析小結(jié)第37頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4-8）邊界條件的處理1)乘大數(shù)法2)置換法(劃零置1)

設(shè)第i個(gè)位移為已知值a。設(shè)第i個(gè)位移為已知值a，N=108或更大的數(shù)。乘大數(shù)法是將剛度矩陣Kii改為NKii，將Pi改為Na。

當(dāng)按子矩陣(后處理法)集裝形成整體剛度方程時(shí)，整體剛度矩陣是奇異的。此外，當(dāng)需分析的結(jié)構(gòu)有已知支座位移時(shí)，上述兩情況均需進(jìn)行邊界條件處理。請(qǐng)考慮為什麼這樣做能使邊界條件得到滿足？第38頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月剛度方程為：上述置換工作量大一些，顯然可看出邊界條件得到精確滿足。第39頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月★3)關(guān)于斜邊界的處理

如圖示意的斜支座情況，有多種處理方案。3-1)通過(guò)單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換來(lái)處理xyr3-2)通過(guò)增加一個(gè)單元來(lái)處理3-3)對(duì)整體剛度矩陣進(jìn)行處理(參見(jiàn)有關(guān)教材)

圖示有斜支座單元，r結(jié)點(diǎn)處以傾角-

來(lái)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，也即在r結(jié)點(diǎn)處整體坐標(biāo)為圖示xy。圖示有斜支座單元，r結(jié)點(diǎn)處沿y方向增加一個(gè)剛結(jié)的單元，此單元有“無(wú)窮大”的抗拉剛度、但沒(méi)有抗彎剛度。單元長(zhǎng)度可任意。第40頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.剛度與荷載元素的速算方法目的：為調(diào)試程序準(zhǔn)備測(cè)試數(shù)據(jù)。元素Kij的物理意義：僅j位移碼處單位位移，i位移碼處所需施加的力。舉例試求圖示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣元素K11。根據(jù)元素物理意義，求K11的計(jì)算簡(jiǎn)圖如有所示。因?yàn)閮Hj位移碼處單位位移，故可改為5-1）“總剛”元素第41頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)形常數(shù)，取隔離體如圖，由此可得K11根據(jù)元素物理意義，由圖示計(jì)算簡(jiǎn)圖還可求得K41K31結(jié)論：根據(jù)整體剛度矩陣元素的物理意義，在熟記形常數(shù)的前提下，取相關(guān)部分為對(duì)象，即可方便地求得剛度元素。第42頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求K22、K23、K25、K26應(yīng)取什么樣的隔離體做計(jì)算簡(jiǎn)圖？求K33、K35、K36應(yīng)取什么樣的隔離體做計(jì)算簡(jiǎn)圖？第43頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5-2）“總荷”元素

綜合結(jié)點(diǎn)荷載包含兩部分：直接結(jié)點(diǎn)荷載和單元荷載等效的結(jié)點(diǎn)荷載。

因?yàn)樵诠潭肆φ蚝蜅U端力正向規(guī)定相同時(shí)，有

所以如圖所示，將實(shí)際的固端力反向等效作用于結(jié)點(diǎn)，由集裝規(guī)則可得第44頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

試求圖示結(jié)構(gòu)在所示編碼下的綜合結(jié)點(diǎn)荷載矩陣第45頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5-3）任一截面的內(nèi)力計(jì)算

在求解整體剛度方程，獲得結(jié)構(gòu)位移矩陣后，根據(jù)定位向量，可得到各單元的桿端位移矩陣，由單元?jiǎng)偠确匠炭傻玫絾卧獥U端力。

需注意：如圖所示，單元桿端力和前幾章單元桿端內(nèi)力的正向規(guī)定是不同的。

求得單元桿端力后，如圖取隔離體，由平衡條件可得第46頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第47頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第48頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月程序編制題試參考隨書(shū)光盤(pán)所給的平面與空間桁架計(jì)算程序（F90）自行編制平面剛架靜力計(jì)算程序返首第49頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月看課程教材第50頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元桿端位移示意圖示量均是正的第51頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單元桿端力示意圖示量均是正的第52頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單一位移時(shí)的單元桿端力第53頁(yè)，課件共64頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單一位移時(shí)的單元