2017年上海春考數學試卷

-PAGE4-2017年上海市普通高校春季招生統一文化考試數學試卷一填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.設集合,集合,則.2.不等式的解集為。3.若復數滿足（是虛數單位），則。4.若，則。5.若關于、的方程組無解，則實數。6.若等差數列的前項的和為，則=。7.若、是圓上的動點，則的最大值為。8.已知數列的通項公式，則。9.若的二項展開式的各項系數之和為729，則該展開式中常數項的值為。10.設橢圓的左、右焦點分別為、，點在該橢圓上，則使得是等腰三角形的點的個數是。11.設為的一個排列，則滿足的不同排列的個數為。12.設，，函數在區(qū)間上有兩個不同的零點，則的取值范圍為。二、選擇題13.函數的單調遞增區(qū)間是（）。(A)(B)(C)(D)14.設，“”是“”的（）。(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件15.過正方體中心（即到正方體的八個頂點距離相等的點）的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（）。(A)三角形(B)長方形(C)對角線不相等的菱形(D)六邊形16.如圖所示，正八邊形的邊長為.若為該正八邊形上的動點，則的取值范圍為（）(A)(B)(C)(D)三、解答題17.如圖，長方體中，,.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.18.設,函數.（1）求的值，使得為奇函數；（2）若對任意成立，求的取值范圍.【解】由得，所以，故.7.若、是圓上的動點，則的最大值為?！局R點】圓的一般方程，圓的性質【解】由得，所以半徑，故的最大值為2.8.已知數列的通項公式，則?！局R點】等比數列的前項和，數列極限【解】由得首項，公比，所以，故9.若的二項展開式的各項系數之和為729，則該展開式中常數項的值為。【知識點】二項式定理【解】令，則，解得；所以展開式的通項令，則,故所求的常數項為160.10.設橢圓的左、右焦點分別為、，點在該橢圓上，則使得是等腰三角形的點的個數是?！局R點】橢圓的標準方程及其性質，分類討論思想【解】由得，所以，故且.（1）若點位于橢圓的短軸的端點處，是等腰三角形，此時點有兩個；（2）若點在橢圓上，則；.，所以,故以為兩腰、為底邊構成等腰三角形，此時點有兩個；同理以為兩腰、為底邊構成等腰三角形，此時點有兩個；綜上（1）（2）滿足條件的點的個數為6個。11.設為的一個排列，則滿足的不同排列的個數為。【知識點】排列、組合【解】根據題意可知，若；，且，則即的最小值為1，當時，只有，所以在與中選出一個，在與中選出一個，在與中選出一個，然后將選出的三個元素全排列，故不同排列的總數為.12.設，，函數在區(qū)間上有兩個不同的零點，則的取值范圍為?！局R點】函數性質的綜合，不等式的基本性質【解】方法1令函數在區(qū)間上有兩個不同的零點分別為、,且，所以、，故、……（*）令，則，即（）……（**）故、是（**）的解，所以于是由（*）可知，即。方法2由于函數在區(qū)間上有兩個不同的零點，則必有。且，即，此時（當且僅當時，等號成立）令，即記，，則函數在區(qū)間上與函數的圖像有兩個不同的交點。由于，再令得（1）若，則，則可行域為，其端點分別為、、。所以當或時，；當時，。此時；（2）若，則，則，即，所以，此時；（3）若，則，則，可行域為其端點分別為、、當時，；當時，；當時，.此時，；綜上（1）（2）（3）可得，，即的取值范圍是.方法3令，則故“函數在區(qū)間上有兩個不同的零點”等價于“關于的方程在區(qū)間上有兩個不同的根?！庇?，對稱軸為，則其圖像在區(qū)間上與軸有兩個不同的交點，需滿足條件：可行域端點為、、，故當或時，；當時，，所以，即的取值范圍是.方法4要使得函數在區(qū)間上有兩個不同的零點，必有，，否則不成立。還需滿足如下條件：，以下解法同上。二、選擇題13.函數的單調遞增區(qū)間是（）。(A)(B)(C)(D)【知識點】函數的單調性【解】函數圖像的對稱軸為直線，且該拋物線的開口向上，所以該函數的單調遞增區(qū)間為，故正確選項為B.14.設，“”是“”的（）。(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件【知識點】分式不等式的解法，充要條件【解】,所以是成立的充要條件.故正確選項為C.15.過正方體中心（即到正方體的八個頂點距離相等的點）的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（）。(A)三角形(B)長方形(C)對角線不相等的菱形(D)六邊形【知識點】平面的性質、截面【解】不可能是三角形，故正確選項為A16.如圖所示，正八邊形的邊長為.若為該正八邊形上的動點，則的取值范圍為（）(A)(B)(C)(D)【知識點】平面向量的數量積【解】，當點在處，取最小值，此時；當點在處，取最大值，.所以的取值范圍是，故正確答案為B三、解答題17.如圖，長方體中，,.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.【知識點】椎體的體積，異面直線所成的角【解】（1）四棱錐的底面為正方形,其面積;由于底面,所以是四棱錐的高，故，于是.（2）由于,所以或其補角即為異面直線與所成角。在三角形中，,由余弦定理可得，,所以，即，故異面直線與所成角的大小為.18.設,函數.（1）求的值，使得為奇函數；（2）若對任意成立，求的取值范圍.【知識點】函數的奇偶性，指數函數的性質，分類討論思想【解】（1）函數的定義域為R，由于為奇函數，所以對于任意實數,均有成立即對于任意實數都成立,所以于是,即,所以.（2），由于，故①若，則，不等式恒成立；②若，則，因為，所以，解得；③若，則，此時不等式不是恒成立。綜上所述，實數的取值范圍是。19.某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道、（寬度忽略不計），如圖所示，已知，（單位：米），要求圓與、分別相切于點、，圓與、分別相切于點、.（1）若，求圓和圓的半徑（結果精確到0.1米）；（2）若觀景步道與的造價分別為每米千元與每米千元。如何設計圓、的大小，使總造價最低？最低總造價是多少？（結果精確到0.1千元）。【知識點】三角比，建立函數關系式，基本不等式【解】（1）已知，得圓的半徑為（米）。又,得圓的半徑為（米）。（2）設圓和圓的半徑分別為和，由于,得，故，，因此，觀景步道的總造價為（千元）當且僅當時等號成立，此時半徑答：當觀景步道和的半徑分別設計為米和米時，總造價最低，且最低總造價約為千元。20.已知雙曲線：（），直線：（），與交于、兩點，為關于軸的對稱點，直線與軸交于點.（1）若點是的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若，點的坐標為，且，求的值；（3）若，求關于的表達式?！局R點】雙曲線的標準方程及其基本性質，直線與雙曲線的位置關系【解】（1）根據已知條件，可得，所以,故的方程為，其漸近線方程為.（2）當時，的方程為，點設，由得，，解得又由點在上，解得，故直線的斜率.（3）當時，直線的方程為，設由得，由已知可得，且所以……（*），又，故直線的方程為由點在直線上，得（**）將（*）代入（**）得，，即.21.已知函數（1）解方程；（2）設，，證明：且;（3）設數列中，，，,求的取值范圍，使得對任意成立.【知識點】對數方程的解法，對數函數的性質，分類討論的思想【解】（1）由得，，所以，解得，經檢驗是原方程的解，所以原方