第12講運(yùn)動路徑長度問題2020年中考數(shù)學(xué)二輪沖刺核心重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)15全國通用解析版

《隱圓模型《共頂點(diǎn)模型》-也可稱“手拉手?！吨鲝穆?lián)動模型》-也可稱“瓜豆原理模型線段垂直平分線——到線段兩端點(diǎn)距離相等的動點(diǎn)一定在這條線段的垂直平分線角平分線——到角兩邊距離相等的動點(diǎn)一定在這個角的角平分線三角形中位線——動點(diǎn)到某條線的距離恒等于某平行線段的一平行線分線比例——動點(diǎn)到某條線的距離與某平行線比兩平行線的性質(zhì)——平行線間的距離，處處相Ps強(qiáng)烈建議：如果您之前沒有對上述模型進(jìn)行過學(xué)習(xí)，建議您先到 一、路徑為圓二、路徑為直三、路徑為往【例題1】如圖，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O與AB相切，分別交OA、OB于N、MPBRt△BPQPMNMNQ運(yùn)動的路徑長為 A．B． 設(shè)⊙OABCOC ∵△ABO和△QBP又∵PMNM2】已知⊙O，AB是直徑，AB＝4CD⊥ABOB的中點(diǎn)，PBC上一動點(diǎn)，DFAP于F，則P從C運(yùn)動到B的過程中，F(xiàn)運(yùn)動的路徑長度 “【解析】DQ⊥ACQPC點(diǎn)時，F(xiàn)QPB點(diǎn)時，F(xiàn)E∴FAD∴點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為∵CD⊥ABOB ∴△ACD∴MQME∴F運(yùn)動的路徑長度＝＝．3】如圖，⊙O1AB＝1PAB上一動點(diǎn)，AC⊥APPBC△ABC的最大面積 “∴△OAB∵AB＝1，要使△ABCCAB∵∠ACB＝60C在⊙D2，當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為，∴△ABC的最大面積為．4Rt△ABCAB2，OAB的中點(diǎn)，PACOQ⊥OPBCQ，MPQPACM所經(jīng)過的路線長為（A.B.C. D.“OCPE⊥AB于E，MH⊥ABH，QF⊥ABF∴AC=BC= ∵O為AB∴OC⊥AB，OC，222

222

222

2 2 2 22

∵M(jìn)PQ∴MHPEFQ∴MH=2

（PE+QF）=2

MAB12P從點(diǎn)AC時，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長2

故答案為：C[OM，CMMOC中垂線（0，6點(diǎn)D是線段OA上的一點(diǎn)，以BD為邊向等邊△BDE．3EyE1DyAOE也會在一條直線上滑E運(yùn)動路徑的長度．“∵△BDE在△DOE和△BOE中 ∴△DOE≌△BOE（SSS∴E（0，﹣2在△ABD和△CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS∴當(dāng)D在OA上滑動時，點(diǎn)E與x軸夾角為30°的直線CE上滑動，E6．6如圖，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABCxA與原點(diǎn)重合，結(jié)束．在這個運(yùn)動過程中，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長是8﹣12．“【解析】①AOA2C′A⊥y軸，CCC′的長，∴AC′＝OC＝8， ②ABO此時點(diǎn)C運(yùn)動的路徑是從C′到C，長是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，綜上所述，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；【例題7】如圖1，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O，它的對稱軸是直線x＝2，動點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)BOA，AB．當(dāng)△AOBt1≤t≤5M“（2）B（a，a2﹣4a∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴點(diǎn)A（2，﹣4則OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、①OB2＝OA2+AB2a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，x＝2時，y＝﹣3P（2，﹣3②AB2＝OA2+OB2，則（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，則直線OB解析式為y＝x，P（2，1③OA2＝AB2+OB220＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，（a﹣3（a2﹣5a+6）＝0，a＝3a＝2（舍，∴B（3，﹣3∴OBx＝2時，y＝﹣2P（2，﹣2綜上，當(dāng)△AOB為直角三角形時，t12（3）∵⊙M為△AOB∴點(diǎn)M段OA的中垂線上∴當(dāng)1≤t≤5時，點(diǎn)M的運(yùn)動路徑是段OA中垂線上的一條線段，t＝11，由（2）知∴Rt△OABMOBt＝52，由（2）∴Rt△OABMABA（2，﹣4t＝23，由（2）∴Rt△OABMOA∵A（2，﹣4∴M（1，﹣2則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長度 B由點(diǎn)O向右移動時，點(diǎn)P移動的路徑長為 C．“OB＝tOA＝5﹣t，∴B（t，0，A（0，5﹣t，K（∴點(diǎn)P的運(yùn)動路徑的長為＝，過9】1Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8PAACC1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)QCCBB2P作PD∥BCAB于點(diǎn)DPQA、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止t秒（t≥0PQM所經(jīng)過【分析】解 “【解析】2CAC所在的直線為x（3，0（1，4M1M2y=kx+b，∴，解得Q（，2，（6-∴在運(yùn)動過程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)（把x=代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴點(diǎn)M3在直線M1M2上．M2M2N⊥xNM2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為2單位長度△BDEDACE2AB=2DRt△ABCACBDE為直角頂Rt△BDEDACE運(yùn)動的路徑長；3AB=2DRt△ABCACBDD為直角頂Rt△BDEDACE運(yùn)動的路徑長；4AB=2DRt△ABCACBDD為直頂點(diǎn)的等腰△BDE，且∠BDE=120DACE運(yùn)動的路徑長；【分析】解 “26【解析】 ；2；4；26【例題11】如圖，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的動點(diǎn)．以BC為邊作正方BCDE，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A移動至點(diǎn)B時，點(diǎn)D經(jīng)過的路徑長 “易得點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡的長為 如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長是． ∴當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑是以K為圓心，長為半徑的半圓∴點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長＝?2?π?＝，已知線段AB＝8，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC＝2，BD＝4，P是線段CD上一動點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M為線段EF的中點(diǎn)，若∠AEP＝∠BFP，則當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C移動到點(diǎn)D時，點(diǎn)M移動的路徑長度為4 ∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∴EFHP∵M(jìn)EF∴MPHP的運(yùn)動過程中，MPHMHCD的中QN． ﹣3，即M的移動路徑長為4 AB＝10，PABABAPE為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)A移動到點(diǎn)B時，G點(diǎn)移動的路徑長度為 ∴EFHP∵GEF∴GPHP的運(yùn)動過程中，GPHG的運(yùn)行軌跡為△HAB的中MN．∴MN＝AB＝5，即G的移動路徑長為5．如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝3，弧AC的度數(shù)是60°，P為弧BC上一動點(diǎn)，延長AP到點(diǎn)Q，使AP?AQ＝AB2．若點(diǎn)P由B運(yùn)動到C，則點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為3 ∵AB為⊙O 而∴BQ為⊙OQ∵ACPC即點(diǎn)P由B運(yùn)動到C，則點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為3．故答案為3．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E在邊AD上，且AE:ED＝1:2．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動到點(diǎn)B停止．過點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動的整個過程中，點(diǎn)M的運(yùn)動路徑長為 【答案】M ， 在△EGM和△FHMMBC的線段PA重合時,BF1=AE=2，PB重合時 ∴即∵M(jìn)1M2是△EF1F2∴M1M2=等邊三角形ABC的邊長為2，在AC，BC邊上各有一個動點(diǎn)E，F(xiàn)，滿足AE＝CF，連接AF，BE相P．∠APBEACP在△ABE和△CAF，∴△ABE≌△CAF（SAS又∴PEACPAB△ABP為等腰三角形，且∴OA＝2，點(diǎn)P的路徑是 ∴P∴EAC的中點(diǎn)時，CP長度的最小，P為△ABC的中心，BBE′⊥AC∴PC＝2．∴CP1可知，CPCOOA，OAPC如圖，AB為半圓O的直徑，AB=2，C，D為半圓上兩個動點(diǎn)（D在C右側(cè)且滿足∠COD=60°，連結(jié)AD，BC相交于點(diǎn)P若點(diǎn)C從A出發(fā)按順時針方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)D與B重合時運(yùn)動停止，則點(diǎn)P所經(jīng)過 C從點(diǎn)ADB從何時，ADBCP運(yùn)動的軌跡是一條弧，C,D兩點(diǎn)運(yùn)動到恰好是半圓的三等分點(diǎn)時，ADBCP是弧的最高點(diǎn)，作AP,BP的中垂線，兩線交于點(diǎn)EEAPB的圓心；據(jù)圓的對稱性得出A、O、E三點(diǎn)在同一直線上，易證△ADE是一個等邊三角形，∠AED=60°,弧APB的長度== ，（﹣3，0，B（，3，C（1，4，C，M∠C＝90°，∠CPM＝30°PABMM點(diǎn)運(yùn)PAMH⊥ABHCM1⊥MHM1BC，CH，BM1．取AMKKC、KH．[或者用相似解答]∴A、H、C、M 在Rt△ACB中，AC＝＝2，在Rt△ACM中 當(dāng)點(diǎn)P與B重合時，點(diǎn)M與M1重合，HM1＝BC＝∴MM1＝HM﹣HM1＝∴當(dāng)P點(diǎn)從A運(yùn)動到B點(diǎn)時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑是線段MM1，M點(diǎn)運(yùn)動路徑長度為如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段ADQD2D﹣O﹣CP、Q同時PD點(diǎn)時，P、Qt秒．t＝1P、QP、Q4t若線段PQ的中點(diǎn)為M，在整個運(yùn)動過程中；直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動路徑的長度為（1）1QK⊥AD∵ABCD 解得t＝2或（舍棄）②23＜t≤6QH⊥ADH，OK⊥ADK，OF⊥OH∴PHPQ＝4綜上所述，t＝24s（3）3OK⊥ADK．QH⊥AD∵ABCD∴點(diǎn) 段OK上，當(dāng)點(diǎn)Q從D到O時，點(diǎn)M的運(yùn)動距離＝OK＝如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q段OC上時，取CD的中點(diǎn)M′，OK的中點(diǎn)M，連接MM′，則點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡MM′． ＝∴在整個運(yùn)動過程中；直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動路徑的長度為 10（2019PQ＝ADMPQPM＝QM，∠M＝120°PAB時，M運(yùn)動的路徑長為3﹣．(看成固定三角板滑動處理/或反其道而行之)1ME⊥ABE，MF⊥BCF∵△ABC∵M(jìn)PM，∴MEP△FQAAS∴M＝，∴BM平分∠ABC，∴MBM 當(dāng)P1Q1落在BC上時，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝ 設(shè)BM交AC于G，點(diǎn)M的運(yùn)動路徑是G→M→M1∴點(diǎn)M的運(yùn)動路徑的長＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．故答案為3﹣．∴△ACQ由（1）∴△CEFEABCD則點(diǎn)E是以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓周上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡為 點(diǎn)E運(yùn)動路徑的長度是．1OOE⊥OBABEEEF⊥OAFFO的長是，∠FEO＝60 2PABPPM⊥OAM，PN⊥OBNM，N分別OA，OBMN，則Rt△EFO①PABMO重合時，∠PMB＝30°，NO重合時，∠PNA＝30°，②∵Rt△PMORt△PNOHPO∴P，M，O，N四點(diǎn)均在同一個圓，即⊙H上，HHK⊥MNK，∴H是△PMN的外接圓的圓心，HD重合，∴點(diǎn)D是以點(diǎn)O為圓心OP＝4為半徑如圖，AB為⊙OAB＝4C在半圓上，OC⊥ABO，P為半圓上任意一點(diǎn)，PPE⊥OCE，設(shè)△OPEMOM、PM．求∠OMPPBAM【解析 ∵△OPE∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE所以點(diǎn)M在以O(shè)C為弦，并且所對的圓周角為135°的兩段劣弧上（和MBOC內(nèi)時，C、M、O三點(diǎn)作⊙O′COD ∴弧OMC的長 π（cm同理：點(diǎn)M在扇形AOC內(nèi)時，同①的方法得，弧ONC的長為πcm，所以內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長為2× 14（2019?于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P從B運(yùn)動到C時，線段AQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長（ ACACOBPxcm，CQABCD ，即 ∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4x＝2時，yM2OM＝1，15（2019?向半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H．設(shè)△OPH的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為（ ∵△OPH（∠HOP+∠OPHPH⊥OA，即∠PHO＝90°，又∵OP＝OA，OI公共，IOA135°的一段劣弧上；A、I、O三點(diǎn)作⊙OO′A，O′O，AOP ∴弧OA的長 π（cm所以內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為πcm．16（2017?∠MON＝120°，△ABC的內(nèi)心為E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在上從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時，點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長 A．B．C．∵∠BAC＝90°，E∴點(diǎn)E在以P為圓心的PC為半徑的圓上運(yùn)動（軌跡是，在⊙P上取一點(diǎn)M′，連接BM′、∴△BCP∴點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長是＝π，17（2020運(yùn)動到C停止．連接AP，以AP為直角邊向右側(cè)作等腰直角三角形，另一個頂點(diǎn)為Q．則點(diǎn)P從B運(yùn)動到C的過程中，點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長為（ B．C．ADMDM＝ADCMQCM．QN⊥BCN，在△ABP和△PNQ，∴點(diǎn)Q 段CM上，點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡是線段CM， 18（2012?則（2m﹣n+3）2的值等于16 P（﹣1，﹣3P（0，﹣1ykx+bk≠0，∴2m﹣1＝n2m﹣n＝1，∴原式＝（1+3）2＝16．19（2018C作CE⊥BD于點(diǎn)E，連接AE，若AB＝4，則AE的最小值為﹣OC、BC，PBCPH⊥ABHCABE在⊙PAP交⊙PEAEAE的最小值，Rt△APH中，AH＝3，PH＝1，∴AE′＝﹣，∴AE的最小值為﹣．故答案為﹣20（2016?桂林CFPOABCOAOFO90P 【解析】如圖點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是以G為圓心的弧，在⊙G上取一點(diǎn)H，連接EH、AOCB∵EF是⊙O∵EFPG為圓心，GE 21（2017A（8，0P（0，mP逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PB，連接AB，OB，則BO+BA的最小值為 BH⊥OH∴B（m，8+m P（m，mM（0，﹣8M′（﹣8，0故答案為8．如圖，P2ABCDBCDPP90，MPBEDA的延長線上，AE＝AD＝2PCEB重合，BE的中點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡為線段 M1M2＝EC＝ ＝ EH⊥CBCBHM2K⊥CHK．∴M2K＝EH＝PC＝∵tan∠M2M1K＝，tan∠DE′C＝tan∠E′CH＝MM1M2．等邊△ABC18AC，BCD，EAE，BDPAE＝BD，當(dāng)D從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長為4π或9．①AD＝CEPDACPAB∴點(diǎn)P的路徑長l