經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)之第1章 函數(shù)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函第一元函的概函一學(xué)目通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的表示法，會計算函數(shù)值．二內(nèi)講同學(xué)們從入小學(xué)到高中畢業(yè)一直要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在這一階段所面對的數(shù)學(xué)對象的特點是：所討論的量在研究問題的過程中保持不變．只是從未知到已知．例如解方程或方程組，求得的解都是固定不變的．又如討論三角形，它的邊長也是固定不變的量．這些量叫做常量．常量——只取固定值的量這門課程中討論的量在研究問題的過程中不是保持不變的．如圓的面積與半徑的關(guān)系：S=r考慮半徑r以變化的過程．面積和半徑叫做變量．變量——可取不同值的量

變域——變量的取值范圍我們考慮問題的過程中，不僅是一個變量，可能有幾個變量．比如兩個變量，要研究的是兩個變量之間有什么關(guān)系，什么性質(zhì)．函數(shù)就是變量之間確定的對應(yīng)關(guān)系．比如股市中的股指曲線，就是時間與股票指數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系．又如銀行中的利率表存期

六個月

一年

二年

三年

五年年利率(%)5.40

7.47

7.92

8.28

9.00它反映的是存款存期與存款利率之間的對應(yīng)關(guān)系．這幾個例子反映的都是兩個變量之間的確定的對應(yīng)關(guān)系．函數(shù)的定義是：定——數(shù)設(shè)x,y是兩個變量，x變域為，如果存在一個對應(yīng)規(guī)則，使得對D內(nèi)的每一個值x都有唯一的y與x對應(yīng)，則這個對應(yīng)規(guī)則稱為定義在集合D的一個函數(shù)，并將由對應(yīng)——1——

xmmxmm經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函規(guī)則f所確定的xy之間的對應(yīng)關(guān)系，記為：

y()

稱x為自變量，y因變量或函數(shù)值，D定義域．集合

{yf(),}

稱為函數(shù)的值域．我們要研究的是如何發(fā)現(xiàn)和確定變量之間的對應(yīng)關(guān)系．三例講例求函數(shù)

y

1x

的定義域．解：

y

1ln(x

，求函數(shù)的定義域就是使表達(dá)式有意義的。由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，由分式的性質(zhì)得到D(1,2)(2,函數(shù)的定義域為．

ln(x0

，即

綜合起來得出所求例設(shè)國際航空信件的郵F與重量的關(guān)系是的關(guān)系是F(

4104m,10200

,求

F(3),F

。解：

F(

4104m,10200m

用3替代，由第一個關(guān)系式表示，得到

F(3)

，同樣可以得到

F(8)

。用20替代，由第二個關(guān)系式表示，得到四課練

F

。練習(xí)下列函數(shù)的定義域：1（1）f()＝)＋x2（2）f()＝

＜00≤x＜練習(xí)已知函數(shù)(x)＝＋－5，求f(0)，(1)，f－)，()＋1，f(x＋1)，f(x)。五課作——2——

ln(xln(x經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)1．求下列函數(shù)的定義域：

第一章函（1）

y

x

x

1y；（2）；（3）

x

.2．f()＝x＋，求f(0),

f(1),

f(－2),

f(x＋1),f()＋1，f()3分段函數(shù)(x)＝

5x

x＜＜2

f()的定義域求f(－(1)2)。答案1.（）

(((

，（2）

(0)

，（）

(1,2)

；．

2,

2

2

3,

1x2

2

；．

,

。函數(shù)一學(xué)目通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解函數(shù)的基本屬性．二內(nèi)講下面把在中學(xué)里大家已經(jīng)知道的函數(shù)的基本屬性復(fù)習(xí)一下，也就是：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性．定1.2——函的調(diào)當(dāng)一個變量增加時另一個變量也跟著增加，這樣的函數(shù)就叫做調(diào)增的函數(shù)．從圖形上看這條曲線，曲線上的點在增加的時候，它所對應(yīng)的縱坐標(biāo)也增加，這樣的函數(shù)是單調(diào)增加的．單調(diào)減少是相反，隨著的增加對應(yīng)的在減少，這樣的函數(shù)單調(diào)減的，正如圖形中演示的這樣．如果函數(shù)當(dāng)在增加的時候，它所對應(yīng)的y不是增加，也不是減少，這樣的函數(shù)就不具有單調(diào)性．定1.3——函的偶一個函數(shù)的圖形如果關(guān)于軸對稱這樣的函數(shù)就稱為偶函數(shù)從圖形上來分析曲線上任一點關(guān)于y的對稱點也在曲線上面，這條曲線所描繪的函數(shù)就是偶函數(shù)．從解析式上看，如果有f(－x＝f(xf(x就叫做偶函數(shù)——3——

2112x2112xxxx2121212x223經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函一個函數(shù)的圖形如果關(guān)于原點對稱，這樣的函數(shù)就稱為奇函數(shù)．曲線上任一點關(guān)于原點的對稱點也在曲線上面，這條曲線所描繪的函數(shù)就是奇函數(shù)．從解析式上看，如果有f(－)＝－f(x，f(x就叫做函數(shù)．定1.4——函的界如果自變量在定義域中變化時，函數(shù)值始終在一個有限的區(qū)間內(nèi)變化，如圖形中演示的，無論怎樣變化，都有－M≤f()≤，這條曲線所反映的函數(shù)就是有界數(shù)定1.5——函的期如果存在一個正數(shù)T意的自變量f(x+T)＝f(x樣的函數(shù)就叫做周期函數(shù)圖形上反映，這個函數(shù)在相隔為的任意兩點上函數(shù)值都是一樣的．也可以這樣來看，從任意一點出發(fā)，以長度T為間隔劃分區(qū)間，在每個區(qū)間上的函數(shù)圖形都是可以完全重合的．思考問題1：有界函數(shù)的界是否唯一？不唯一例如正數(shù)是函數(shù)f(x的一個界顯有∣(x)MM按定義+1顯也是函數(shù)f(x)的一個界．依此類推，可知任意大于M正數(shù)都是函數(shù)f(x的界．思考問題2：周期函數(shù)的周期是否唯一？不唯一．例如正數(shù)T是函數(shù)fx)的一個周期，顯然有fx+2)＝(x+T＝fT)＝(x)按照定義2顯也是函數(shù)f()的一個周期．依此類推，知的任意正整數(shù)倍都是函數(shù)f的周期．三例講例1判斷函數(shù)f()＝當(dāng)x的單調(diào)性．分析：可以利用單調(diào)性的定義，證明對任意x，有f(x))．解：當(dāng)x>0時，對任意的>>0有1

2x21（當(dāng)x>>0時，在不等式x兩端同乘以x或x，顯然有12，22，由不等式的傳遞性就得到1．）由定義可知f(x＝x

當(dāng)x時是單調(diào)增加的．例2判斷下列函數(shù)的奇偶性：（）y＝x－分析：利用關(guān)于奇偶函數(shù)的幾個結(jié)論．

（2）y＝x——4——

3325x23325x2x3)2x經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函解（1?。剑璮(1)＝0f(－1)＝－2顯然f(1)≠－(－1),由此可知y＝－1不是奇函數(shù)．又顯然f(1)≠(－1)由此可知＝x－1是偶函數(shù)．（2）因＝是奇函數(shù)，y＝cosx是偶函數(shù)，而奇函數(shù)和偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù)．所以＝x是奇函數(shù).四課練練習(xí)判斷函數(shù)f(x＝＋6＋9單調(diào)性．練習(xí)判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）y＝＋

，2）y＝sin，（3）y＝x＋五課作1．判斷下列函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性：（1）；（2）.2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：ax（1）x；（2）xx；（3）.1．（）在

(

單調(diào)減少．（2）在

(0,

單調(diào)減少，在

單調(diào)增加.2．（）奇函數(shù)（）函（3）偶函數(shù)第二元

基本等函及其算幾類一學(xué)目通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解基本初等函數(shù)的圖形和基本屬性．二內(nèi)講定1.6——基初函在中學(xué)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)認(rèn)識了一些函數(shù)，這些函數(shù)是非常基本的，有這樣幾類：——5——

α23xxxa25x2522α23xxxa25x252222x經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函1.常數(shù)函數(shù)：yc．這個函數(shù)在它的定義域中的取值始終是一個常數(shù)，它在直角坐標(biāo)系中的圖形就是一條水平線．2.冪函數(shù)：yx，(∈)．以x為底，指數(shù)是一個常數(shù)．當(dāng)a=1就是=，它的圖形是過原點且平分一、三象限的直線；當(dāng)α=2時就是y=

，它的圖形是過原點且開口向上的拋物線當(dāng)α=3就是=x它的圖形是過原點的立方曲線．3.指數(shù)函數(shù)ya(a>0a底數(shù)是常數(shù)指數(shù)是變量例如=ey=()所有指數(shù)函數(shù)的圖形都過(0,1)點，當(dāng)a時，函數(shù)單調(diào)增加，當(dāng)<1時，函單調(diào)減少．4.對數(shù)函數(shù)loga>0為底的x的對數(shù)yx=

log12

有對數(shù)函數(shù)的圖形都過(1,0)點，當(dāng)a時，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)<1時，函單調(diào)減少．5.三角函數(shù)：正弦函數(shù)：ysinx．

余弦函數(shù)：y=cosx．思考問題：常數(shù)函數(shù)可否視為冪函數(shù)的一個特例？答案常數(shù)函數(shù)不能視為冪函數(shù)的例，因為除了常數(shù)函數(shù)y=1外，其它的常數(shù)函數(shù)都不是冪函數(shù)．三例講例1

.斷下列函數(shù)中，哪些不是基本初等函數(shù)：1（1）y＝；（2）y()2

；（3）＝lg(－)；（4）y＝；（）＝x；（）＝e．分析：依據(jù)基本初等函數(shù)的表達(dá)式來判斷．解：直接觀察可知⑵與⑷中的函數(shù)是基本初等函數(shù)，而由

y

5

1x2

2x5

，y＝＝)，可知1與6）中的函數(shù)是基本初等函數(shù)．3與5）中的函數(shù)不是基本初等函數(shù)．四課練1．作出下列函數(shù)的圖形：——6——

33經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)（1）－；（2=2；（）=(－x).

第一章函2．在同一標(biāo)系中作出=2，yx，y

2

x

的圖形，從圖形上觀察這三個函數(shù)滿足什么關(guān)系．函數(shù)一學(xué)目通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解函數(shù)之間的運算，主要是復(fù)合運算二內(nèi)講函數(shù)的運算當(dāng)然有加、減、乘、除運算，這些就不需要講了．在這里我們主要將函數(shù)的復(fù)合運算．所謂復(fù)合運算，就是指如果是u的函數(shù)，u是x的函數(shù)，通過作為中間媒介就成為x函數(shù)，這就是函數(shù)的復(fù)合運算．如下面這個例子表示的y

；

x

；

ysin

.這里yu函數(shù)，u是的函數(shù)y過作為中間媒介就成為x的函數(shù)，這就是函數(shù)的復(fù)合運算．下面把這個復(fù)合的步驟以及它們的變域聯(lián)系起來仔細(xì)地介紹一下：y=f(x))UX

φ

f

定1.7——復(fù)函y是的函數(shù)，這個函數(shù)用來表示u的函數(shù)這個函數(shù)φ來表示φ的值域正好落在函數(shù)f的定義域里經(jīng)過作為媒介y就成為x的函數(shù)這個復(fù)合函數(shù)的定義域是這樣一個（紅色）區(qū)域，它的值域就縮小成為這樣一個（綠色）區(qū)域了．這是為什么呢？因為在它的定義域內(nèi)變化時u僅在這樣一個（黃色）區(qū)域取到值，相應(yīng)的取值范圍就縮小成為這樣一個（綠色）區(qū)域．復(fù)合函數(shù)的記號就記為=f((x這種運算就叫做函數(shù)的復(fù)合運算．這樣我們把函數(shù)分一下類：定1.8——初函——7——

xxxxxysin(xxxxxysin(uyxx2經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次加、減、乘、除或復(fù)合而得到的函數(shù)稱為等函數(shù)．這樣的分類把函數(shù)分成了初等函數(shù)和非初等函數(shù)我們在前面所見到的分段函數(shù)就是非初等函數(shù)的例子．思考問題1：為什么要求u=φ(x)的值域包含在中？答案:如若不然，存在，)，則此時f(沒有意義．000三例講例1已知函數(shù)=(x的定義域為[1]求函數(shù)yf)的定義域．分析：要使函數(shù)u=e的取值范圍．

的值域包含于函數(shù)y=f(x)的定義域中，由這個約束條件重新確定解：設(shè)u，它的值域要包含于y=f(x的定義域中，即≤e≤1，由此得－∞＜x≤0.（已知函數(shù)ln他他是單調(diào)增加的顯然有復(fù)合函數(shù)yf)的定義域是－∞0]

limlntext0

由此得－∞＜≤0由此可知例2將下列初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的四則運算或復(fù)合運算（1）；（2）

2ln分析由定義知初等函數(shù)是基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運算和復(fù)合運算得到的．具體解決的步驟是：先看函數(shù)表達(dá)式有無四則運算，如有，則對每一個運算項進(jìn)行分析，看其是否為復(fù)合函數(shù)，如是，則選擇適當(dāng)?shù)闹虚g變量將其化為基本初等函數(shù)．依此步驟反復(fù)進(jìn)行．解：(1)，

vw2，

(2)y2

,lnw

2

,p四課練將下列初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的四則運算或復(fù)合運算：（1）（2）五課作

sin2()1．已知函=(x的定義域為[1]求函數(shù)y=)的定義域．2．將下列初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的四則運算或復(fù)合運算：——8——

yy5xxx3經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函（1）；（2）

cos(x

x)

.1．.2．（）；（）

yxcosu,第三元

經(jīng)濟(jì)析中見函一學(xué)目通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解經(jīng)濟(jì)分析中的需求函數(shù)與供給函數(shù)．二內(nèi)講這一節(jié)課的內(nèi)容是要把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和將來搞經(jīng)濟(jì)工作聯(lián)系起來，我們把經(jīng)濟(jì)分析中最最常見的5種函數(shù)介紹給大家（這節(jié)課只介紹前兩個）．同時我們希望通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)能夠使大家感受到數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用．定1.9——需函和給數(shù)大家可以想象到一個商品在市場上的需求肯定是與它的價格有關(guān)系，價格貴，需求量就少，價格便宜，買的人就多．需求和價格之間是有關(guān)系的，它們是不是函數(shù)關(guān)系呢？我們可以把它簡化為一種函數(shù)關(guān)系．我們先不考慮其它因素，簡單地認(rèn)為價格定了需求量就隨之確定，這樣需求量是價格的函．供給，就是廠方能夠為市場提供多少產(chǎn)品，當(dāng)然它也是和價格有關(guān)系的，產(chǎn)品價格高，廠方就增加生產(chǎn)，反之供給量就減少．我們也可以把它簡化為一種函數(shù)關(guān)系．需求量與價格之間的函數(shù)就稱為需求函數(shù)，供給量與價格之間的函數(shù)就稱為供給數(shù)．現(xiàn)在我們討論一種最簡單的情況，認(rèn)為需求函數(shù)和供給函數(shù)都是線性函數(shù)（一次函數(shù)），在這種關(guān)系下通過討論看可以得到什么性質(zhì)．a(chǎn)p(,d——9——

,，ppp,，ppp經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函q

表示需求量，表示價格，表示常數(shù)．a(chǎn)p1

(1

表示供給量，

表示價格，

a,11

表示常數(shù)．我們?nèi)菀桌斫庑枨罅繎?yīng)隨價格的增加而減少，所a當(dāng)然b而供給量應(yīng)隨著價格的增加而增加，所以

ab01

，因為當(dāng)價格為零時，不會有供給量．qO

O從圖形上看，需求函數(shù)是一條單調(diào)下降的直線，供給函數(shù)是一條單調(diào)上升的直線．qO

p我們把這兩條曲線放在同一個坐標(biāo)系中，就會發(fā)現(xiàn)有這樣的關(guān)系，兩條直線交于一點，這一點的含義是，在價格為0時，產(chǎn)品的需求量與供給量是相同的，即供需達(dá)到了平衡．這一點稱為供需平點價格超過0

時供過于求價格低于0

時供不應(yīng)求在經(jīng)濟(jì)分析中，供需平衡點所對應(yīng)的價格，稱為市場均衡價格它所對應(yīng)的需求量或供給量稱為場均衡量思考問題：在需求函數(shù)的表達(dá)式中，為什么要有？答案因為表達(dá)式中的取值，而在合理的價格范圍內(nèi)，需求量應(yīng)為正值，所以有b>0．三例講——10——

，5，50經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為均衡價格和市場均衡數(shù)量．

qpsd

，求該商品的市場解：由市場均衡條件

qqd

得到

解出

p

，

q0四課練1.已知某產(chǎn)品的供給函數(shù)為q3p5需求函數(shù)為q＝15－2p求該產(chǎn)品的市場均衡價s格和市場均衡數(shù)量．由市場均衡條件q＝可15－＝－5整理得：．

p

0

4

，

q

0

7五課作1.市場中某種商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為

qd

，

40p試求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量.成本一學(xué)目通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解經(jīng)濟(jì)分析中的成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)．知道它們之間的關(guān)系．二內(nèi)講我們再介紹經(jīng)濟(jì)分析中常見的三種函數(shù)：第一種叫做成本函數(shù)，第二種叫做收入函數(shù)，第三種叫做利潤函數(shù)．定1.10—本數(shù)一種產(chǎn)品的成本可以分為兩部分：——11——

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函固定成本C，比如，生產(chǎn)過程中的設(shè)備投資，或使用的工具，不管生產(chǎn)產(chǎn)品與否，這些0費用都是要有的，它是不隨產(chǎn)量而變化的，這種成本稱為定成本．變動成本C，比如每一件產(chǎn)品的原材料，這些費用依賴于產(chǎn)品的數(shù)量，這種成本稱變１動成本．總成本就是固定成本加上變動成本：=+0

１成本應(yīng)與產(chǎn)品的產(chǎn)量有關(guān)，這種函數(shù)表示為：(q+Cq)0１這就是成本函數(shù)．其中總成(q)是產(chǎn)量的函數(shù)與產(chǎn)量無關(guān)，變動成(q)也是0１產(chǎn)量q函數(shù)．我們在引入平均成本的概念：

C()q總成本除以產(chǎn)量q，就是產(chǎn)量為q時的平均成本，C來表示．定1.11—入數(shù)一種產(chǎn)品銷售之后就會有銷售收入，銷售收入應(yīng)該是價格乘以產(chǎn)量．但價格與產(chǎn)量之間也有一定的關(guān)系，這樣就得到q()其中p()是價格與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系．相應(yīng)地有平均收入函數(shù)

(q)q現(xiàn)在我們來研究一種最簡單的情況收入看作產(chǎn)量的線性函價格不隨產(chǎn)量而變化也就是R=

，它的圖形就是下面這樣O圖形說明銷售數(shù)量越多收入越多，這是一條單調(diào)增加的直線．定1.12—潤數(shù)利潤函數(shù)大家也容易理解，因為在收入中減去成本得到的就是利潤．既然成本是產(chǎn)量的函數(shù)，收入也是q函數(shù)，那么利潤也是的函數(shù)．即L(q)=(q(q——12——

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)L相應(yīng)地有平均利潤函數(shù)的概念：

L(q)q

第一章函（1）(利2）L(q)<0損3）L虧平衡滿足L(q稱為盈虧平衡點又稱本點0在假設(shè)成本函數(shù)和收入函數(shù)都是線性函數(shù)的情況下來做一些分析：C=c+c0１R=它們的圖形是Oq兩條直線的交點表示收入與成本相等，q就是盈虧平衡點．0如果兩條直線出現(xiàn)了下面這種情況Oq此時兩條直線沒有交點，也就是沒有盈虧平衡點．為了找到盈虧平衡點，我們可以采取兩種手段，一種是提高價格；另一種是降低變動成本c這兩種手段都可以重新找到盈虧平1衡點.O

Oq從幾何上看，增加直線R的斜率或減小直線C斜率都可以使兩條直線重新相交．從以上分析可以看出數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)分析中的作用．三例講——13——

，，，，即2，，，，即2經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)

第一章函例1

生產(chǎn)某商品的總成本是

C(q)

求生產(chǎn)50件商品時的總成本和平均成本．解：成本

q)