內(nèi)含報酬率計算方法

/內(nèi)含報酬率計算方法計算內(nèi)含報酬率是長期投資決策分析中重要方法之一，它優(yōu)于其他投資分析的主要原因在一于:計算中考慮到貨幣的時間價值.其理論介紹多見于《管理會計》、《投資決策》等教科書,其計算方法多囿于插值法（內(nèi)插值法、外插值法)、幾何法(平面幾何相似三角形線段比）。近期，關(guān)于內(nèi)含報酬率的解法問題,又在一些會計刑物展開紛紛揚揚、連篇累牘的討論。以下筆者將多年研究的成果——內(nèi)含報酬率新的解法理論介紹于后.(１)內(nèi)含報酬率計算公式的數(shù)學描述內(nèi)含報酬率是指項目壽命期內(nèi)，資金流入量的現(xiàn)值總額與資金流出量現(xiàn)值總額相等面凈現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率?，F(xiàn)金凈流量則是項目投資所引起的未來的現(xiàn)金流入量減流出量后的凈額。為便于公式的推導，將下文中所涉及的因素用以下符號表示：Ｎ-凈現(xiàn)值；ＮCFｔ-第t期的現(xiàn)金凈流量；ｉ—利息率，折現(xiàn)率;ＮＣF０—初始投資額;I—內(nèi)含報酬率;ｎ—項目有效期；a、b、c分別為常數(shù).根據(jù)現(xiàn)金凈流量及凈現(xiàn)值定義，凈現(xiàn)值的通項公式可用以下關(guān)系式表示：N=NCF1(１+i）—1+ＮCＦ２(1+i）-2＋……+NＣFｔ（1+i)-t–NCＦ0=（1)下面我們來看i變動對N的影響，也即討論值現(xiàn)值與折現(xiàn)率、折現(xiàn)率與內(nèi)含報酬率的關(guān)系:①當i=0時:N0==(1＋i)—t-NCF0＝-NCF0(2）即當折現(xiàn)率趨于零時，凈現(xiàn)值恰是未折現(xiàn)的現(xiàn)金流入量與流出量之間的差.②當i=I時NI=(1＋i）—t—ＮCＦ0=0（３）即內(nèi)含報酬率正是凈現(xiàn)值為零時的折現(xiàn)率，它表明了折現(xiàn)率與內(nèi)含報酬率的關(guān)系。③當i→∞時：N∞＝(1+i)—ｔ－NＣF０=-ＮCF0(４)表明凈現(xiàn)值趨于原始投入的相反值，現(xiàn)金流入量趨于零，N的值汽車于N＝—NCF０直線。圖示一：以上ｉ變動與凈現(xiàn)值的關(guān)系,以及折現(xiàn)率與內(nèi)含報酬率的關(guān)系，可用解析圖一表示：由以上數(shù)學分析和圖示解析可見:i由0→∞時，N由Ｎ0→ＮCF0，N隨i增大而減少，隨i減小而增大,這說明凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著反比例曲線關(guān)系。PP（I,0）內(nèi)含報酬率點凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率的關(guān)系線iN-NCF0(0，N-NCF0)(0，0)(0，N0(2)關(guān)于內(nèi)含報酬率的近似值的問題現(xiàn)行的內(nèi)含報酬率的解多采用插值法(也有用平面幾何相似三角形線段比求得），其實質(zhì)是以直代曲,故通常我們求出的“內(nèi)含報酬率"是其近似值，即凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間雖是反比例曲線關(guān)系，但我們假設(shè)小區(qū)間內(nèi)或瞬間表現(xiàn)為直線，這樣就可以求出I的近似值.以下，我們通過圖示和計算實例來討論選擇不同測試點對內(nèi)含報酬率的影響。[例]某企業(yè)擬投資34０萬元建一產(chǎn)業(yè)項目，投資建設(shè)期為0年。項目有效經(jīng)營期為10年，期末無殘值，每年的現(xiàn)金凈流量為60萬元。即已知：N0=３４0,N１~１０=６0，n=10.則該投資項目在不同折現(xiàn)率條件下的凈現(xiàn)值如下表所示:折現(xiàn)率（i)10%11％12％13%14％年金值系數(shù)3。１４5５．88９5。６505.426５。21６凈觀值(I）2８．713。3４-１—14.４4-２７。０4①當測試值選擇在P兩側(cè)臨近點:11％、12％時，則內(nèi)插法計算（見解折圖示二)圖示二：C(iC(i，0)A(11%，13.34)B（12%，-1）P（I，0）(0，0)Nｉｉ折現(xiàn)率：凈現(xiàn)值：∴x=1３。34/14.3４=0．９3０２65i=11%+０.9３036５%=11.9302６5%這里“以直代曲”計算出的i=11。9302６5>I，它只是內(nèi)含報酬率的近似值.②當選擇測試值在P點一側(cè)(同向)１0%、11％時，適用外插法計算（見解析圖三）圖示三:NＡ（１０％，NＡ（１０％，28。7)B(１1％，B(１1％，13.３4）（0,０）（0,０）CC（ｉ,0）折現(xiàn)率：凈現(xiàn)值:x/（1+x）=１3。34/2８。7x=13。3４／１５。３6=０。86849∴i=1１％+０.86849%=11.８６8４９％可見,求得的內(nèi)含報酬率的近似值i<I;同理選擇測試值在P點的另一側(cè)時，i仍小于I。③選擇測試值P點兩側(cè)較遠點1０％、14％時,仍用插值法計算（見解析圖示四）圖示四：A(10%A(10%，28.7)P（I，0）B（14%，-27.04）C（i,0）N(0,0)ii折現(xiàn)率：凈現(xiàn)值：x/4=28．7/55。7４x=２。0５９56∴i＝10%+2．０595６％=１2。05９56％計算出的內(nèi)含報酬率的近似值i〉11.930２65％>Ｉ。通過以上選擇不同測試點計算結(jié)果比較得知:（1）“以直代曲”計算出的ｉ值，只是Ｉ的近似值；（2）當測試點選擇在P點兩側(cè)時，計算出的內(nèi)含報酬率的近似值大于I；(3)當測試點選擇在P點同側(cè)時，計算出的內(nèi)含報酬率的近似值ｉ小于I;(4)測試點越臨近Ｐ點，其近似于Ｉ的值精確度越高。（3）3.內(nèi)含報酬率新角-—解析公式法１（直線性方程式）①理論依據(jù).設(shè)凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著直線性關(guān)系，有ai+bN＝C成立，那么只要測算出兩點A、(ｉ,N1）、B（i2，N2)，就能得出凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率的特定式；再根據(jù)N=0時，求出i即內(nèi)含報酬率I的近似值,其解析圖形見圖示五。由Ａ、B兩點知：A（ｉ1，N１A（ｉ1，N１)AB：ａi＋bN=c內(nèi)含報酬率點Ｐ(i，0）內(nèi)含報酬率點Ｐ(i，0）P（i,０）B（i２B（i２,Ｎ2）（5）－(６)得：a（i1－i2）＋ｂ(Ｎ１—N2)=0ｂ／a=—(i1－ｉ2)／(Ｎ１-N２)(7）又∵c／a=i1＋N1ｂ/a＝i1-N1（i１-ｉ2)/（N1—N2）(8）將一般式變?yōu)椋篿=c/ａ—Nｂ/a（９)將（7）、(8）代入(9)得：ｉ=ｉ1－N１(i１－i2)／（Ｎ1—N2)+(i1－i2)N/（Ｎ1－N2）=i1＋(N1—Ｎ2)（i1－i2）/(N１－N２)當Ｎ=0時i＝ｉ１＋N1(i1-ｉ2)/（N1-Ｎ2)（10）②實例計算。為便于與“插值法"計算結(jié)果對比,仍用以上例題，并選相應(yīng)的測蔗點代入計算.(１）取折現(xiàn)率分別為1１%、12％的測試值代入(10）式:i=11%＋１3.3４×（12%—11％）/［13．34-(-1）］=11％＋1３.34／１４34=11。93026５％(2)取折現(xiàn)率分別為10％、11%的測試值代入（10）式：i＝10％＋28。７×（１1%－10%)/(28。7-１3.３4)=1０％2８。7／1５36=11。8６849％（3）取折現(xiàn)率分別為１0%、14%的測試值代入(100式：i=10％+２8.7×(14%—1０%）/［２8.7—（-27．04)］＝10％+０.０２０5956＝１２。05956%（4)內(nèi)含報酬率新解一解析公式法2(反比例曲線性方程式）①理論依據(jù)。根據(jù)凈現(xiàn)值通項公式（1），假設(shè)折現(xiàn)率與凈現(xiàn)值的關(guān)系可用以下反比例曲線方程式描述：Ｎ=a/（1+ｉ）+b同樣，我們只要測試兩次，就可計算出內(nèi)含報酬率的近似值，其解析圖見圖示六其公式推導如下：已知：A（i１，Ｎ1)、B（i2、Ｎ2)兩點圖示六:N=a/(1+i)+bN=a/(1+i)+bA(i1，N1)內(nèi)含報酬率點P(i，0)·B(i2，N2)N(0，0)有由(1１)-（１2）得:N1—N2＝a[（1＋i1)—1—（1+i2）—1]a＝(N1-N2）（１＋i1）（1＋i２）（ｉ2—i1)—1(１3）將（１３）代入（11）得：ｂ=N１-(Ｎ1－Ｎ2）（1+ｉ１）(1＋ｉ2）（i２—ｉ１）—1(14)當N=0時，I=－(ａ+b)/ｂ（１５）將(１3）、(14）代入（15）得：i==［ｉ2N1（i１+１)—i1N2（i2+１）］/［N１（ｉ1+1)—N2（i２+１）］(１6）②實例計算選折現(xiàn)率分別為11%、1２%的測試值代入(16）式（仍用插值法中舉例)i＝===11.92968％選折現(xiàn)率分別為１０%、11％的測試值代入(16)式：i=＝==１1。88336％選擇折現(xiàn)率分別為10%、14％的測試值代入(１6）式：i===75４。３4/6280。6=12.0１064%（5)三種方法計算結(jié)果比較以上三種方法取相同測試點的計算結(jié)果見下表:采用方法與取點兩側(cè)近點測試值同向測試值兩側(cè)遠點測試值插值法（或幾何法）（以直代曲）11．93０26５%１1。868４9％１2．05956%解析公式法1（以直代曲）１1.93０265％11.868４9％12.０５95６%解析公式法2（以曲代曲）11。9２96８％11。８8３3６%12。0１０64%公式法２與以上方法計算結(jié)果比較—5.８5×1０—51．487×１０-4－4.892×10—４計算結(jié)果表明：1?！安逯捣ā?、“幾何法”、“解析公式法１”,實質(zhì)都是以直代曲的比例法,計算結(jié)果一致；1。在以直代曲的計算中,測試值臨近P點(內(nèi)含報酬率點）兩側(cè)時,救出的I>I，而采用以曲代曲解析公式法2計算出的ｉ小于用以上各法計算出的內(nèi)含報酬率近似值，這說明公式法2計算出的結(jié)果精確度高;3.當測試值?。悬c同向一側(cè)時，以直代曲計算出的i＜Ｉ,而以曲代曲計算出的內(nèi)含報酬率的近似值大于前幾法求出的i值，這也同樣