第十講 指數(shù)函數(shù)（教師版）

第十講指數(shù)函數(shù)重難點(diǎn)一、指數(shù)圖像綜合【例1】已知，，若對(duì)，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【分析】:根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為，時(shí)，；求出對(duì)應(yīng)的最小值，再解不等式即可．【解答】：，，，等價(jià)于，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以m的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．【變式1】如圖，面積為8的平行四邊形，對(duì)角線，與交于點(diǎn)，某指數(shù)函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C．2 D．3【分析】:首先設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)B坐標(biāo)為，又因?yàn)?，所以；然后根?jù)平行四邊形的面積是8，求出t的值，代入，求出a的值即可．【解答】：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)B坐標(biāo)為，又因?yàn)?，所以；因?yàn)槠叫兴倪呅嗡裕?，所以．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．重難點(diǎn)二、指數(shù)復(fù)合綜合【例2】函數(shù)的遞增區(qū)間是________．【答案】：【解析】：令在上單調(diào)遞增．又因?yàn)閷?duì)恒成立，所以是增函數(shù)．故的遞增區(qū)間是．【變式1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A． B．C． D．【答案】：B解析：函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u為R上的減函數(shù)，欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，而函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【變式2】已知函數(shù)滿足，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________．【答案】：解析：∵，∴，∴．令，則．∵是減函數(shù)，的減區(qū)間是，∴的增區(qū)間是．【例3】已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【解析】：由已知得，∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∵2x＞0，∴，∴，∴0＜a＋1＜1，∴．即a的取值范圍是．【變式1】設(shè)函數(shù)QUOTE則滿足的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】：C【解析】：當(dāng)時(shí)，，所以，，即符合題意．當(dāng)時(shí)，，若，則，即，所以，綜上所述，的取值范圍是，故選C【例4】已知，求函數(shù)的值域．【解析】：由，解得．又在x上是減函數(shù)，∴，故的值域?yàn)椋咀兪?】若函數(shù)，則該函數(shù)在上()A．單調(diào)遞減且無最小值B．單調(diào)遞減且有最小值C．單調(diào)遞增且無最大值D．單調(diào)遞增且有最大值【解析】：函數(shù)為減函數(shù)，，故，無最值．【答案】：A重難點(diǎn)三、指數(shù)參數(shù)綜合【例5】若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】：D【解析】：因?yàn)?，所以由得，在坐?biāo)系中，作出函數(shù)，的圖象，當(dāng)時(shí)，，所以如果存在，使，則有，即，所以選D．【變式1】已知函數(shù)，若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】：當(dāng)時(shí)，即，【例6】已知．（1）求的值域；（2）設(shè)，時(shí)，對(duì)任意總有成立，求的取值范圍．【解析】：（1）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增的值域?yàn)椹īīīī?分綜上，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)的值域?yàn)椋哗īīīī?分（2）由題對(duì)任意總有在滿足┄┄┄┄┄9分設(shè)，則，當(dāng)即時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增（舍去）當(dāng)時(shí)，不合題意┄┄┄┄┄11分當(dāng)時(shí)，若即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增若即時(shí)在遞減，在遞增┄┄┄┄┄14分若即時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞減（舍去）┄┄┄15分綜上所述：┄┄┄┄┄16分【變式1】定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】：（Ⅰ）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即又由（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)則因?yàn)楹瘮?shù)在R上是增函數(shù)且∴又∴即∴在上為減函數(shù)。因是奇函數(shù)，從而不等式：等價(jià)于，因?yàn)闇p函數(shù)，由上式推得：．即對(duì)一切有：，從而判別式【例7】設(shè)函數(shù)是定義在的奇函數(shù)（1）求的值（2）若，試求不等式的解集（3）若且在上的最小值為，求的值【解析】：（1）（2）由在上單調(diào)遞增（3）由令對(duì)稱軸當(dāng)時(shí)即當(dāng)時(shí)，【變式1】已知函數(shù)證明：（1）函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）用反證法證明方程沒有負(fù)數(shù)根。【答案】：（1）證明：任取，且，。在上為增函數(shù)。（2）假設(shè)方程有負(fù)數(shù)根，則當(dāng)時(shí)，，，，矛盾；當(dāng)時(shí)，，而矛盾。無論或，都不可能使成立。故方程無負(fù)數(shù)根。

作業(yè)1．已知，求函數(shù)的值域．【解析】：．令，則．∵，∴．∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．即的最大值為，最小值為．∴函數(shù)的值域?yàn)椋?．函數(shù)的值域?yàn)開_________________．【解析】:由題知函數(shù)的定義域?yàn)椋?又為減函數(shù),∴．故函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮浚?．設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為____________【解析】：令是奇函數(shù)，要使為偶函數(shù)所以為奇函數(shù)，又定義域?yàn)镽，所以解得4．設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)，定義函數(shù)，取函數(shù)。當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】：C5．對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．（Ⅰ）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；（Ⅱ）若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】：（Ⅰ）是；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，方程即有解．所以為“局部