2022高中數(shù)學第2章歸納總結同步導學案北師大版必修5

第二章概括總結知識構造知識梳理深入對正、余弦定理的理解正弦定理與余弦定理是三角形邊角關系的重要定理，要理解兩個定理及其變形1正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即：在△ABC中，a＝b＝sinAsinBcsinC正弦定理有以下三種變形形式：a=2RinA,b=2RinB,c=2RinC;Aa，b，c②in=sinBsinC2R2R2R其中R是△ABC外接圓的半徑a：b：c=inA：inB：inC余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍即：a2=b2c2-2bccoA,b2=a2c2-2accoB,c2=a2b2-2abcoC余弦定理的推論：coA=b2c2a2,2bccoB=a2c2b2,2accoC=a2b2c22ab解析斜三角形的種類與解法正弦定理、余弦定理的每一個等式中都包含三角形的四個元素（三角形有三個角和三條邊，三角形的邊與角稱為三角形的元素），如果其中三個元素是已知的（起碼要有一個元素是邊），那么這個三角形一定可解對于斜三角形的解法，根據(jù)已知條件及合用的定理，能夠概括為以下四種種類（設三角形為△ABC,A,B,C所對的邊分別為a,b,c）:已知條件應用定理一般解法一邊和兩角（如a,∠B,∠C）正弦定理由∠A∠B∠C=180°,求角A；由正弦定理求出b與c，在有解時只有一解兩邊和夾角（如a,b,∠C）余弦定理由余弦定理求第三邊c;由正弦定理求出一正弦定理邊所對的角；再由∠A∠B∠C=180°求出另一角，在有解時只有一解三邊（a,b,c）余弦定理由余弦定理求出角；再利用∠∠∠A、BABC=180°,求出角C，在有解時只有一解兩邊和其中一邊的對角（如正弦定理由正弦定理求出角B；由∠A＋∠B∠a,b,∠A）余弦定理C=180°,求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c,可有兩解、一解或無解解三角形常用的邊角關系及公式總結（1）三角形內角和等于180°兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊三角形中大邊對大角，小邊對小角三角函數(shù)的恒等變形：inAB=inC,coAB=-coC,inABC，ABC2222三角恒等變換公式，如和、差角公式，倍角公式的正用與逆用等解讀判斷三角形形狀的兩種方法判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，此類題目一般采用以下兩種方法求解：（1）利用正弦定理化邊為角，經(jīng)過三角運算判斷三角形的形狀利用余弦定理化角為邊，經(jīng)過代數(shù)運算判斷三角形的形狀注意：根據(jù)余弦定理判斷三角形的形狀時，當222,22>2,c2a2>2中有一個關系式建即刻，并不能得abcbcab出該三角形為銳角三角形的結論常用三角形面積公式總結（1）S△ABC=1a·ha=1b·hb=1c·hcha,hb,hc分別為a,b,c邊上的高222（2）S△ABC=1abinC=1bcinA=1acinB＝abcR為△ABC的外接圓半徑2224R3S△=ABC

ppapbpc11AC73ACBAC7B71ABC，ABCk12222222222223coscos2sin222222b2c2a21OBOBOBABAB2bc3sinOQBsinOABsinOABsin60192sin6019331923433ACsinACD2193319sin120sinCAD1919219sinCDA3223sinC1cosC1acac2Ca2b2c2a2c2b2a2c2b2a2b2c222222ab2ac2ac2aba2b2c2a2c2b224a4abc22C2Ccos的海面/h的速度向西偏4a24a2sinAsinBsinC210北45°的方向移動臺風侵襲的范圍為圓形地區(qū)，目前半徑為60m，并以10m/h的速度不斷增大問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲［解析］此題需要解決兩個問題：一是th后臺風侵襲的半徑大?。欢莟h后城市到臺風中心Q的距離，若t時該城市受到侵襲，則此時OQ的大小應不大于臺風侵襲的半徑［解析］設th臺風中心為Q，此時臺風侵襲的圓形地區(qū)半徑為（10t60）m,若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則OQ≤10t60由余弦定理，知222OQ=PQPO-2·PQ·PO·co∠OPQ，由于PO=300，PQ=20t，co∠OPQ=coθ-45°=coθco45°inθin45°22224=2＋12=1010252222∴OQ=20t-9600t300，因此202t2-9600t3002≤10t602,即t2-36t288≤0,解得12≤t≤24答：12h后該城市開始受到臺風的侵襲［說明］該題是典型的臺風損壞性問題的數(shù)學模型，擁有較強的實際應用性，此題波及三角函數(shù)、余弦定理、不等式等知識，是一道綜合的解三角形實際應用問題變式應用4如圖，測量河對岸的塔高AB時，能夠選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D現(xiàn)測得∠BCD=α,∠=β,=,并在點C測得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB