專題01 實(shí)數(shù)-全國(guó)初三數(shù)學(xué)自主招生專題大揭秘（含答案詳解）

專題01實(shí)數(shù)一．選擇題（共11小題）1．（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）已知mn＜0且1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．（2020?北碚區(qū)自主招生）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．b＜1 C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＞﹣23．（2020?浙江自主招生）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，則a+b等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（2019?渝北區(qū)自主招生）在﹣0.5，，0，1這四個(gè)數(shù)中，正數(shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．45．（2019?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）已知a，b滿足（a+1）2﹣（b﹣2）+|c﹣3|＝0，則a+b+c的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2019?南岸區(qū)自主招生）估計(jì)（2﹣）÷的值應(yīng)在（）A．在4.5和5.0之間 B．在5.0和5.5之間 C．在5.5和6.0之間 D．在6.0和6.5之間7．（2018?鏡湖區(qū)校級(jí)自主招生）若＝x﹣1成立，則x滿足（）A．x≥0 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜18．（2018?市南區(qū)校級(jí)自主招生）定義：[x]是不大于數(shù)x的最大整數(shù)，如：[2.8]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，[2]＝2：規(guī)定x﹣[x]是x的小數(shù)部分．設(shè)x＝，a是x的小數(shù)部分，b是﹣x的小數(shù)部分；c＝[﹣x]．則a+b+c＝（）A．﹣1 B． C．0 D．19．（2018?江岸區(qū)校級(jí)自主招生）已知，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b10．（2017?李滄區(qū)校級(jí)自主招生）用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（如，[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2），把x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分．已知t＝，a是t的小數(shù)部分，b是﹣t﹣1的小數(shù)部分，則﹣＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．211．（2017?下陸區(qū)校級(jí)自主招生）設(shè)a＞b＞c＞d＞0，且x＝，y＝，z＝，則x，y，z的大小關(guān)系是（）A．y＜z＜x B．x＜z＜y C．z＜y＜x D．x＜y＜z二．填空題（共8小題）12．（2020?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）若7+和5﹣的小數(shù)部分分別為m，n，則+＝．13．（2020?邵陽(yáng)）在如圖方格中，若要使橫、豎、斜對(duì)角的3個(gè)實(shí)數(shù)相乘都得到同樣的結(jié)果，則2個(gè)空格的實(shí)數(shù)之積為．3216314．（2018?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）若四個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（a2018﹣c2018）（a2018﹣d2018）＝2018，（b2018﹣c2018）（b2018﹣d2018）＝2018，則（ab）2018﹣（cd）2018的值為．15．（2018?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）若i2＝﹣1，則1+i+i2+i3…+i7＝．16．（2018?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[]＝1，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地：（1）對(duì)81只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?；（2）只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．17．（2017?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）已知x、y為實(shí)數(shù)，且滿足＝（y﹣1），那么x2017﹣y2017＝．18．（2016?李滄區(qū)校級(jí)自主招生）先閱讀下面的文字：“求的值時(shí)，采用了如下的方法，令＝x，則有x＝，兩邊同時(shí)平方，則可得1+x＝x2，解得x＝（負(fù)值已經(jīng)舍去），試用類比的方法，求得1+的值是．19．（2017?西城區(qū)校級(jí)自主招生）已知x＝，則x3+12x的算術(shù)平方根是．三．解答題（共3小題）20．（2019?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a，b，c，d，如果存在實(shí)數(shù)λ，滿足：對(duì)線段AB和CD上的任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N仍然在線段AB或CD上，則稱（a，b，c，d，λ）為“完美數(shù)組”．例如：（1，2，3，6，6）就是一組“完美數(shù)組”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此時(shí)所有的“完美數(shù)組”，寫出你的結(jié)論和推算過(guò)程．21．（2016?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）由2016個(gè)不同的實(shí)數(shù)組成一個(gè)數(shù)集A，對(duì)于A中任意兩個(gè)不同的數(shù)m與n，數(shù)m2+n都是有理數(shù)．證明：對(duì)于數(shù)集A中的任何一個(gè)數(shù)a，a是有理數(shù)．22．（2016?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）證明：不是有理數(shù)．專題01實(shí)數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）1．（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）已知mn＜0且1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，那么n，m，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【解答】解：∵mn＜0，∴m，n異號(hào)，由1﹣m＞1﹣n＞0＞n+m+1，可知m＜n，m+n＜﹣1，m＜0，0＜n＜1，|m|＞|n|，|m|＞2，假設(shè)符合條件的m＝﹣4，n＝0.2則＝5，n+＝0.2﹣＝﹣則﹣4＜﹣＜0.2＜5故m＜n+＜n＜．故選：D．2．（2020?北碚區(qū)自主招生）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．b＜1 C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＞﹣2【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜﹣2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；b＞1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；a＜b，故選項(xiàng)C正確；a＜﹣2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C．3．（2020?浙江自主招生）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，則a+b等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：由題設(shè)知a≥3，所以，題設(shè)的等式為，于是a＝3，b＝﹣2，從而a+b＝1．故選：C．4．（2019?渝北區(qū)自主招生）在﹣0.5，，0，1這四個(gè)數(shù)中，正數(shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在﹣0.5，，0，1這四個(gè)數(shù)中，正數(shù)有1，一共1個(gè)．故選：A．5．（2019?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）已知a，b滿足（a+1）2﹣（b﹣2）+|c﹣3|＝0，則a+b+c的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：根據(jù)題意，得，∴a+1＝0，2﹣b＝0，c﹣3＝0，解得a＝﹣1，b＝2，c＝3，所以a+b+c＝﹣1+2+3＝4．故選：C．6．（2019?南岸區(qū)自主招生）估計(jì)（2﹣）÷的值應(yīng)在（）A．在4.5和5.0之間 B．在5.0和5.5之間 C．在5.5和6.0之間 D．在6.0和6.5之間【解答】解：（2﹣）÷＝2﹣＝2﹣2，∵3＜＜4，∴4＜2﹣2＜6，∵3.7＜＜3.75，∴5.4＜2﹣2＜5.5，故選：B．7．（2018?鏡湖區(qū)校級(jí)自主招生）若＝x﹣1成立，則x滿足（）A．x≥0 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1【解答】解：∵＝x﹣1，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故選：B．8．（2018?市南區(qū)校級(jí)自主招生）定義：[x]是不大于數(shù)x的最大整數(shù)，如：[2.8]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，[2]＝2：規(guī)定x﹣[x]是x的小數(shù)部分．設(shè)x＝，a是x的小數(shù)部分，b是﹣x的小數(shù)部分；c＝[﹣x]．則a+b+c＝（）A．﹣1 B． C．0 D．1【解答】解：x＝＝＝＝1+，∴[x]＝1，[﹣x]＝﹣2．∵a是x的小數(shù)部分，b是﹣x的小數(shù)部分；c＝[﹣x]，∴a＝1+﹣1＝，b＝﹣（1+）﹣（﹣2）＝1﹣．c＝﹣2a+b+c＝+1﹣+（﹣2）＝﹣1．故選：A．9．（2018?江岸區(qū)校級(jí)自主招生）已知，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a﹣b＝﹣1﹣（2﹣）＝﹣（1+）≈2.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c＝﹣1﹣（﹣2）＝+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，∴a＜c；于是b＜a＜c，故選：B．10．（2017?李滄區(qū)校級(jí)自主招生）用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（如，[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2），把x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分．已知t＝，a是t的小數(shù)部分，b是﹣t﹣1的小數(shù)部分，則﹣＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：t＝＝＝+1，則[t]＝2，[﹣t﹣1]＝﹣4．∵a是t的小數(shù)部分，b是﹣t﹣1的小數(shù)部分，∴a＝+1﹣2＝﹣1，b＝﹣（+1）﹣1﹣（﹣4）＝2﹣，﹣＝﹣＝2+﹣（+1）＝1．故選：B．11．（2017?下陸區(qū)校級(jí)自主招生）設(shè)a＞b＞c＞d＞0，且x＝，y＝，z＝，則x，y，z的大小關(guān)系是（）A．y＜z＜x B．x＜z＜y C．z＜y＜x D．x＜y＜z【解答】解：∵x2＝ab+cd+2，y2＝ac+bd+2，z2＝ad+bc+2，∴x2﹣y2＝ab+cd﹣ac﹣bd＝a（b﹣c）+d（c﹣b），∵a＞b＞c＞d＞0，∴a（b﹣c）+d（c﹣b）＝（b﹣c）（a﹣d）＞0，∴x2＞y2，∴x＞y，同理可得：z＜y，∴z＜y＜x．故選：C．二．填空題（共8小題）12．（2020?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）若7+和5﹣的小數(shù)部分分別為m，n，則+＝．【解答】解：∵3＜＜4，∴7+的整數(shù)部分是7+3＝10，小數(shù)部分為m＝﹣3；5﹣的整數(shù)部分是5﹣4＝1，小數(shù)部分為n＝4﹣；則+＝+＝+＝．故答案為：．13．（2020?邵陽(yáng)）在如圖方格中，若要使橫、豎、斜對(duì)角的3個(gè)實(shí)數(shù)相乘都得到同樣的結(jié)果，則2個(gè)空格的實(shí)數(shù)之積為．32163【解答】解：設(shè)方格中兩個(gè)空格代表的實(shí)數(shù)分別為x，y．由題意可得：xy＝，xy＝．故答案為：．14．（2018?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）若四個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（a2018﹣c2018）（a2018﹣d2018）＝2018，（b2018﹣c2018）（b2018﹣d2018）＝2018，則（ab）2018﹣（cd）2018的值為﹣2018．【解答】解：設(shè)a2018與b2018看做方程（x﹣c2018）（x﹣d2018）＝2018的兩個(gè)解，方程整理得：x2﹣（c2018+d2018）x+（cd）2018﹣2018＝0，則（ab）2018﹣（cd）2018＝，又x1x2＝（cd）2018﹣2018，則（ab）2018﹣（cd）2018＝＝（cd）2018﹣2018﹣（cd）2018＝﹣2018．故答案為：﹣2018．15．（2018?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）若i2＝﹣1，則1+i+i2+i3…+i7＝0．【解答】解：∵i2＝﹣1，∴原式＝（1+i﹣1﹣i）+（1+i﹣1﹣i）＝0．故答案為：0．16．（2018?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[]＝1，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地：（1）對(duì)81只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?；（2）只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255．【解答】解：（1）∵[]＝9，[]＝3，[]＝1，∴對(duì)81只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，故答案為：3．（2）最大的正整數(shù)是255，理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，∴對(duì)255只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，∴對(duì)256只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?，∴只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255，故答案為：255．17．（2017?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）已知x、y為實(shí)數(shù)，且滿足＝（y﹣1），那么x2017﹣y2017＝﹣2．【解答】解：因?yàn)椋剑▂﹣1），所以﹣（y﹣1）＝0，所以+（1﹣y）＝0，所以1+x＝0，1﹣y＝0，所以x＝﹣1，y＝1，所以x2017﹣y2017＝（﹣1）2017﹣12017＝﹣1﹣1＝﹣2．故答案為：﹣2．18．（2016?李滄區(qū)校級(jí)自主招生）先閱讀下面的文字：“求的值時(shí)，采用了如下的方法，令＝x，則有x＝，兩邊同時(shí)平方，則可得1+x＝x2，解得x＝（負(fù)值已經(jīng)舍去），試用類比的方法，求得1+的值是．【解答】解：＝x，則1+，∴2x2﹣2x﹣1＝0∴x＝，∵x＞0，∴故答案為：．19．（2017?西城區(qū)校級(jí)自主招生）已知x＝，則x3+12x的算術(shù)平方根是2．【解答】解：設(shè)＝a，＝b．則，．又4＝＝a3b3，∴x＝a2b﹣ab2，x2＝a4b2﹣2a3b3+a2b4，故原式＝x（x2+12），＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），＝（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），＝ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），＝a3b3（a3﹣b3），＝，＝4×2＝8．則其算術(shù)平方根是2．故答案為：2．三．解答題（共3小題）20．（2019?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a，b，c，d，如果存在實(shí)數(shù)λ，滿足：對(duì)線段AB和CD上的任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N仍然在線段AB或CD上，則稱（a，b，c，d，λ）為“完美數(shù)組