數(shù)學(xué)《課堂講義》湘教版一講義：專題2 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 2.4.2 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.4。2計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)的二分法[學(xué)習(xí)目標(biāo)］1。能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一種常用方法，體會(huì)“逐步逼近”的思想．[知識(shí)鏈接]現(xiàn)有一款三星手機(jī),目前知道它的價(jià)格在500～1000元之間,你能在最短的時(shí)間內(nèi)猜出與它最近的價(jià)格嗎?（誤差不超過20元），猜價(jià)格方案:（1)隨機(jī)；(2)每次增加20元；(3)每次取價(jià)格范圍內(nèi)的中間價(jià)，采取哪一種方案好呢？[預(yù)習(xí)導(dǎo)引］用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟已知函數(shù)y＝f（x)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它與零點(diǎn)的誤差不超過正數(shù)ε,即使得|x－x0｜≤ε.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟如下：（1)在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間[a0，b0］?D，使f(a0)與f（b0)異號(hào)，即f（a0）·f(b0)＜0,零點(diǎn)位于區(qū)間［a0，b0］中．（2)取區(qū)間[a0，b0]的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為x0＝eq\f(a0＋b0，2).計(jì)算f(x0)和f(a0）．并判斷：①如果f(x0）＝0，則x0就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果f(a0)·f（x0)＜0,則零點(diǎn)位于區(qū)間[a0，x0］中，令a1＝a0,b1＝x0；③如果f（a0)·f(x0）＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.(3)對(duì)區(qū)間[a1，b1］，按(2）中的方法，可以得到區(qū)間［a2，b2］，且它的長度是區(qū)間［a1，b1］長度的一半．如此反復(fù)地二分下去，可以得到一系列有限區(qū)間[a0，b0］，［a1，b1],[a2，b2],[a3，b3］，…，其中每個(gè)區(qū)間的長度都是它前一個(gè)區(qū)間長度的一半．繼續(xù)實(shí)施上述步驟，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間［an，bn]上，當(dāng)｜an－bn|＜2ε時(shí),區(qū)間［an,bn］的中點(diǎn)xn＝eq\f(1,2)（an＋bn)就是函數(shù)y＝f(x)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)y＝f(x)的近似零點(diǎn)與真正零點(diǎn)的誤差不超過ε。要點(diǎn)一二分法概念的理解例1下列圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（）答案A解析按定義，f（x)在[a，b］上是連續(xù)的，且f(a）·f（b)＜0，才能不斷地把函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，進(jìn)而利用二分法求出函數(shù)的零點(diǎn)．故結(jié)合各圖象可得選項(xiàng)B、C、D滿足條件，而選項(xiàng)A不滿足,在A中,圖象經(jīng)過零點(diǎn)x0時(shí)，函數(shù)值不變號(hào)，因此不能用二分法求解．故選A.規(guī)律方法1.準(zhǔn)確理解“二分法”的含義．二分就是平均分成兩部分．二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步逼近零點(diǎn)的方法，找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．2．“二分法”與判定函數(shù)零點(diǎn)的定義密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)才能應(yīng)用“二分法"求函數(shù)零點(diǎn)．跟蹤演練1(1)下列函數(shù)中，能用二分法求零點(diǎn)的為(）(2）用二分法求函數(shù)f（x)在區(qū)間［a,b］內(nèi)的零點(diǎn)時(shí)，需要的條件是（)①f（x)在區(qū)間［a,b]內(nèi)連續(xù)不斷；②f(a)·f(b)＜0;③f（a)·f(b）＞0；④f(a)·f（b)≥0。A．①② B．①③C．①④ D．①②③答案（1）B(2)A解析（1）函數(shù)圖象連續(xù)不斷，函數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值異號(hào)，這樣的函數(shù)零點(diǎn)才能使用二分法求解，觀察四個(gè)函數(shù)圖象,只有B選項(xiàng)符合．（2)由二分法的意義，知選A。要點(diǎn)二用二分法求方程的近似解例2用二分法求方程x2－10＝0在區(qū)間[3。1,3.2]上的近似解(誤差不超過0.001，即ε＝0.001）．解設(shè)f(x）＝x2－10，則f（3.1)＝－0。39，f（3。2)＝0。24。取a0＝3。1，b0＝3。2，有f(a0)·f(b0）＜0。列表計(jì)算:nanbnbn－anf(an）f(bn）xn＝eq\f（an＋bn，2)03。10003.20000。1000－0。39000.24003.150013.15003。20000。0500－0.07750.24003。175023。15003.17500。0250－0.07750。08063.162533。15003.16250.0125－0.07750.00143.156343.15633。16250.0062－0.03780.00143。159453。15943。16250.0031－0.01820。00143.161063.16103。16250。0015－0。00810。00143。1618由于b6－a6＝0.0015＜0.002＝2ε,計(jì)算停止，取eq\x\to（x）＝x6＝eq\f（3.1610＋3。1625,2)＝3。16175≈3。162為方程的近似解．規(guī)律方法給定ε，用二分法求f（x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：(1）確定區(qū)間［a,b]，驗(yàn)證f（a)·f（b）＜0；（2)求區(qū)間（a,b)的中點(diǎn)c；(3)計(jì)算f(c)；①若f(c）＝0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f（a)·f(c）＜0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c）)；③若f(a)·f(c)＞0，則令a＝c（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（c，b））．(4）重復(fù)第（3）步，可得到一系列有限區(qū)間，其中每個(gè)區(qū)間的長度都是它前一個(gè)區(qū)間長度的一半,當(dāng)所在區(qū)間值小于2ε時(shí)，區(qū)間中點(diǎn)就是函數(shù)f(x）的近似零點(diǎn)．跟蹤演練2若函數(shù)f(x）的圖象是連續(xù)不間斷的,根據(jù)下面的表格，可以斷定f（x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為______．(只填序號(hào))①（－∞，1]②［1,2］③[2，3］④［3,4]⑤[4，5］⑥［5,6]⑦［6，＋∞）x123456f(x）136。12315.542－3。93010.678－50.667－305.678答案③④⑤1．用二分法求函數(shù)f(x）＝x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（)A．[－2，1] B．[－1，0]C．[0,1] D．［1,2］答案A解析∵f（－2)＝－3＜0,f(1）＝6＞0，f(－2)·f（1)＜0，故可取[－2，1］作為初始區(qū)間,用二分法逐次計(jì)算．2．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，已知函數(shù)f(x）在區(qū)間（a，b）上有一個(gè)零點(diǎn)x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0時(shí)，當(dāng)feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a＋b，2）））＝0時(shí)，則函數(shù)f(x）的零點(diǎn)是()A．（a，b)外的點(diǎn)B．x＝eq\f（a＋b,2)C．區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a，\f(a＋b，2）)）或eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a＋b，2)，b)）內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)D．x＝a或x＝b答案B解析由二分法的思想，采用二分法得到的零點(diǎn)可能是準(zhǔn)確值，也可能是近似值．由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a＋b,2）））＝0，知選B.3．函數(shù)f（x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1）＜0，f（1.5)＞0,f（1.25）＜0,則方程的解所在區(qū)間為（)A．（1.25,1。5) B．（1，1。25)C．(1。5,2) D．不能確定答案A解析由于f(1.25）f(1。5)＜0，則方程的解所在區(qū)間為(1.25，1.5）．4．函數(shù)f(x）＝log2x＋2x－1的零點(diǎn)必落在區(qū)間（)A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,8）,\f（1，4）)） B.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，4）,\f(1，2））)C。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）,1)) D．(1，2)答案C解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,8))）＝－eq\f(15,4）＜0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,4）)）＝－eq\f(5，2)＜0，feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2））)＝－1＜0,f(1）＝1＞0，f（2）＝4＞0，∴函數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）,1))上．5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間(2,3)內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)為x0＝2.5，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是________．答案（2，2.5)解析f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f（2。5）＝2。53－2×2。5－5＝5。625＞0，∴下一個(gè)有根的區(qū)間是(2,2。5）．1。二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，直至找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的誤差，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．2．并非所有函數(shù)都可以用二分法求其零點(diǎn)，只有滿足:(1）在區(qū)間［a，b]上連續(xù)不斷；(2)f（a)·f(b）＜0.上述兩條的函數(shù)方可采用二分法求得零點(diǎn)的近似值．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知函數(shù)f（x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為(）A．4，4B．3,4C．5,4D．4，3答案D解析由圖象知函數(shù)f（x)與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，從左往右數(shù)第4個(gè)交點(diǎn)兩側(cè)不滿足f（a)·f（b)＜0，因此不能用二分法求零點(diǎn),而其余3個(gè)均可使用二分法求零點(diǎn)．2．為了求函數(shù)f（x）＝2x－x2的一個(gè)零點(diǎn)，某同學(xué)利用計(jì)算器，得到自變量x和函數(shù)值f（x)的部分對(duì)應(yīng)值[f(x）的值精確到0。01］如下表如示：x0。61.01。41。82。22。63.0f(x）1。161.000.680.24－0。25－0。70－1。00則函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．（0。6,1。0） B．(1。4,1。8)C．（1。8,2.2) D．（2。6，3。0）答案C解析∵f(1。8)·f(2.2）＝0。24×（－0。25）＜0，∴零點(diǎn)在區(qū)間（1.8,2。2)上．故選C。3．用二分法研究函數(shù)f（x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí),第一次經(jīng)計(jì)算f(0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________，以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為（)A．（0，0.5）,f(0。25） B．(0,1)，f（0.25)C．（0。5,1），f(0.75) D．(0，0.5）,f（0.125)答案A解析二分法要不斷地取區(qū)間的中點(diǎn)值進(jìn)行計(jì)算．由f（0）＜0，f（0.5）＞0知x0∈（0,0。5)．再計(jì)算0與0。5的中點(diǎn)0.25的函數(shù)值，以判斷x0的更準(zhǔn)確位置．4．設(shè)方程2x＋2x＝10的根為β，則β∈(）A．(0，1） B．（1，2)C．（2,3) D．(3,4）答案C解析設(shè)f(x)＝2x＋2x－10,則f(x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，故只有一個(gè)零點(diǎn)．f(0）＝－9，f(1）＝－6，f（2）＝－2,f（3）＝4，∴f（2）·f(3）＜0。∴β∈(2，3）．5．函數(shù)y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）))x與函數(shù)y＝lgx的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)約是(）A．1。5 B．1.6C．1.7 D．1.8答案D解析設(shè)f（x)＝lgx－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）x，經(jīng)計(jì)算f(1）＝－eq\f(1,2）＜0，f(2）＝lg2－eq\f(1，4）＞0，所以方程lgx－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））x＝0在(1,2)內(nèi)有解．應(yīng)用二分法逐步縮小方程實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，可知選項(xiàng)D符合要求．6．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在區(qū)間[1,2]上零點(diǎn)的近似值，先取區(qū)間中點(diǎn)c＝eq\f(3，2），則下一個(gè)含根的區(qū)間是________．答案eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1，\f(3，2）)）解析令f（x)＝lnx－2＋x,∵f（1）＝－1＜0,f（2)＝ln2＞0，feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2）))＝lneq\f（3，2）－eq\f（1，2）＞0，∴下一個(gè)含根的區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1,\f(3，2))）.7．用二分法求函數(shù)f（x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：f（1。6000）＝0.200f（1.5875）＝0.133f(1。5750）＝0。067f(1。5625)＝0.003f（1。5562）＝－0.029f(1.5500)＝－0。060據(jù)此數(shù)據(jù)，求f(x）＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（誤差為0.01）．解由表中f（1。5625）＝0.003，f（1。5562）＝－0。029.∴f（1.5625）·f(1.5562)＜0。又｜1。5625－1。5562｜＝0.0063＜0。01，∴一個(gè)零點(diǎn)近似值為1。5625（不唯一)．二、能力提升8．在用“二分法”求函數(shù)f（x）零點(diǎn)近似值時(shí),第一次所取的區(qū)間是［－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是（）A．[1,4］ B．[－2，1］C。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－2，\f(5，2）)） D。eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)，1））答案D解析由于第一次所取的區(qū)間為［－2，4］,∴第二次所取區(qū)間為［－2，1]或[1，4]，第三次所取區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,－\f（1,2）））,eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2），1)），eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（1，\f(5,2）))或eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(5,2）,4）).9．下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是(）A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B．用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C．二分法無規(guī)律可循D．只有在求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法答案B解析只有函數(shù)的圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)，才可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，故A錯(cuò)；二分法有規(guī)律可循，可以通過計(jì)算機(jī)來進(jìn)行,故C錯(cuò)；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯(cuò)．10．已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間(0，0。1)上有唯一零點(diǎn)，如果用二分法求這個(gè)零點(diǎn)(誤差為0.01)的近似值，則應(yīng)將區(qū)間（0,0。1)等分的次數(shù)至少為________．答案4解析設(shè)等分的最少次數(shù)為n,則由eq\f(0。1,2n)＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值為4。11．畫出函數(shù)f(x)＝x2－x－1的圖象，并利用二分法說明方程x2－x－1＝0在［0,2］內(nèi)的根的情況．解圖象如圖所示，因?yàn)閒(0）＝－1＜0，f(2）＝1＞0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2）內(nèi)有根x0；?。?,2)的中點(diǎn)1，因?yàn)閒（1)＝－1＜0，所以f(1）·f（2）＜0，根x0在區(qū)間（1，2）內(nèi)；再?。?,2）的中點(diǎn)1。5，f（1。5)＝－0.25＜0,所以f(1.5）·f（2）＜0，根x0在區(qū)間（1。5,2）內(nèi);?。?.5,2）的中點(diǎn)1.75，f(1。75)＝0。3125＞0，所以f（1。5)·f(1.75)＜0，根x0在區(qū)間（1。5,1.75