2022-2023學(xué)年浙江省東陽市數(shù)學(xué)九上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，中，點、分別在、上，，，則與四邊形的面積的比為（）A． B． C． D．2．如圖，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角,則tan∠AOB（）A． B． C．1 D．3．拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是（）A．（4，0） B．（-4，0） C．（0，-4） D．（0，4）4．“割圓術(shù)”是我國古代的一位偉大的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的，該割圓術(shù)，就是通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來求出圓周率的一種方法，某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，畫了一個如圖所示的圓的內(nèi)接正十二邊形，若該圓的半徑為1，則這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為（）．A．1 B．3 C．3.1 D．3.145．如圖，函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點B（2，0），與函數(shù)y=2x的圖象交于點A，則不等式0＜kx+b＜2x的解集為（）A． B． C． D．6．如圖，在平行四邊形中，點在邊上，,連接交于點，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．7．已知在中，，，那么下列說法中正確的是（）A． B． C． D．8．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．40°9．如圖，過反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設(shè)△AOC和△BOD的面積分別是S1、S2，比較它們的大小，可得（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小關(guān)系不能確定10．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某新能源汽車4s店的汽車銷量自2018年起逐月增加．據(jù)統(tǒng)計，該店第一季度的汽車銷量就達(dá)244輛，其中1月份銷售汽車64輛．若該店1月份到3月份新能源汽車銷售量的月平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．64（1+x）2＝244B．64（1+2x）＝244C．64+64（1+x）+64（1+x）2＝244D．64+64（1+x）+64（1+2x）＝24411．計算＝()A． B． C． D．12．順次連結(jié)任意四邊形各邊中點所得到的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形二、填空題（每題4分，共24分）13．線段，的比例中項是______.14．如圖，在中，，，點是邊的中點，點是邊上一個動點，當(dāng)__________時，相似．15．如圖，是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象寫出時，x的取值范圍__________．16．投擲一枚材質(zhì)均勻的正方體骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是2的倍數(shù)的概率等于_________．17．如圖，點、在上，點在軸的正半軸上，點是上第一象限內(nèi)的一點，若，則圓心的坐標(biāo)為__．18．在一個不透明的袋子中有5個除顏色外完全相同的小球，其中綠球個，紅球個，摸出一個球不放回，混合均勻后再摸出一個球，兩次都摸到紅球的概率是________.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，已知△ABC，∠B=90゜，AB=3，BC=6，動點P、Q同時從點B出發(fā)，動點P沿BA以1個單位長度/秒的速度向點A移動，動點Q沿BC以2個單位長度/秒的速度向點C移動，運(yùn)動時間為t秒．連接PQ，將△QBP繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△，設(shè)△與△ABC重合部分面積是S．（1）求證：PQ∥AC；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．20．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象交于點P(n，2)，與x軸交于點A(－4，0)，與y軸交于點C，PB⊥x軸于點B，點A與點B關(guān)于y軸對稱．（1）求一次函數(shù)，反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求證：點C為線段AP的中點；（3）反比例函數(shù)圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形．如果存在，說明理由并求出點D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．21．（8分）如圖，拋物線過點，，直線交拋物線于點，點的橫坐標(biāo)為，點是線段上的動點．（1）求直線及拋物線的解析式；（2）過點的直線垂直于軸，交拋物線于點，求線段的長度與的關(guān)系式，為何值時，最長？（3）是否存在點使為等腰三角形，若存在請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．22．（10分）如圖1，是一種自卸貨車．如圖2是貨箱的示意圖，貨箱是一個底邊AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端檔板高DE=0.5米，底邊AB離地面的距離為1.3米．卸貨時，貨箱底邊AB的仰角α=37°(如圖3)，求此時檔板最高點E離地面的高度．(精確到0.1米，參考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)23．（10分）如圖,是半圓的直徑,是半圓上的一點,切半圓于點，于為點，與半圓交于點．(1)求證:平分；(2)若,求圓的直徑．24．（10分）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）（拓展探究）如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進(jìn)行說明．（3（解決問題）如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O為AC的中點．若點D在直線BC上運(yùn)動，連接OE，則在點D的運(yùn)動過程中，線段OE長的最小值為（直接寫出結(jié)果）．25．（12分）（1）計算：計算：6cos45°+（）﹣1+（﹣1.73）0+|5﹣3|+42017×（﹣0.25）2017；（2）先化簡，再求值：÷，其中滿足.26．如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，且B點的坐標(biāo)為(3，0)，經(jīng)過A點的直線交拋物線于點D(2，3).（1）求拋物線的解析式和直線AD的解析式；（2）過x軸上的點E(a，0)作直線EF∥AD，交拋物線于點F，是否存在實數(shù)a，使得以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】因為DE∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可．【詳解】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵AD：DB=1：2，

∴AD：AB=1：3，

∴，

∴△ADE的面積與四邊形DBCE的面積之比=1：8，

故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2、C【分析】連接AB，分別利用勾股定理求出△AOB的各邊邊長，再利用勾股定理逆定理求得△ABO是直角三角形，再求tan∠AOB的值即可．【詳解】解：連接AB如圖，利用勾股定理得，，∵，,∴∴利用勾股定理逆定理得，△AOB是直角三角形∴tan∠AOB==故選C【點睛】本題考查了在正方形網(wǎng)格中，勾股定理及勾股定理逆定理的應(yīng)用.3、D【解析】試題分析：求圖象與y軸的交點坐標(biāo)，令x=0，求y即可．當(dāng)x=0時，y=4，所以y軸的交點坐標(biāo)是（0，4）．故選D．考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．4、B【分析】先求出，進(jìn)而得出，根據(jù)這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為進(jìn)行求解．【詳解】∵是圓的內(nèi)接正十二邊形，∴，∵，∴，∴這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為，故選B．【點睛】本題考查正十二邊形的面積計算，先求出是解題的關(guān)鍵．5、A【分析】先利用正比例函數(shù)解析式確定A點坐標(biāo)，然后觀察函數(shù)圖象得到，當(dāng)x＞1時，直線y=1x都在直線y=kx+b的上方，當(dāng)x＜1時，直線y=kx+b在x軸上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜1x的解集．【詳解】設(shè)A點坐標(biāo)為（x，1），把A（x，1）代入y=1x，得1x=1，解得x=1，則A點坐標(biāo)為（1，1），所以當(dāng)x＞1時，1x＞kx+b，∵函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點B（1，0），∴x＜1時，kx+b＞0，∴不等式0＜kx+b＜1x的解集為1＜x＜1．故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．6、C【分析】先求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB=CD，從而證出△BAF∽△DEF，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∴∴∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，AB=CD∴△BAF∽△DEF，∴故選C．【點睛】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)、利用平行證相似和相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決此題的關(guān)鍵．7、A【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解答．【詳解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，則cosA=

A、cosB=sinA=，故本選項符合題意．

B、cotA=．故本選項不符合題意．

C、tanA=．故本選項不符合題意．

D、cotB=tanA=．故本選項不符合題意．

故選：A．【點睛】此題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵在于掌握（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比.8、C【詳解】解：連接AD,∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故選C．【點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．9、B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，直接求出S1、S1的值即可進(jìn)行比較．【詳解】由于A、B均在反比例函數(shù)的圖象上，且AC⊥x軸，BD⊥x軸，則S1＝；S1＝．故S1＝S1．故選：B．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，找到相關(guān)三角形，求出k的絕對值的一半即為三角形的面積．10、C【分析】設(shè)該店1月份到3月份新能源汽車銷售量的月平均增長率為x，等量關(guān)系為：1月份的銷售量+1月份的銷售量×（1+增長率）+1月份的銷售量×（1+增長率）2=第一季度的銷售量，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可．【詳解】設(shè)該店1月份到3月份新能源汽車銷售量的月平均增長率為x，根據(jù)題意列方程：64+64（1+x）+64（1+x）2＝1．故選：C．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．11、C【解析】分析：分子根據(jù)合并同類項計算，分母根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計算.詳解：原式=.故選C.點睛：本題考查了合并同類項和同底數(shù)冪的乘法計算，合并同類項的方法是系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，把指數(shù)相加.12、A【分析】順次連結(jié)任意四邊形各邊中點所得到的四邊形，一組對邊平行并且等于原來四邊形某一條對角線的一半，說明新四邊形的對邊平行且相等，所以是平行四邊形．【詳解】解：如圖，連接AC，∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點，∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；∴EF＝HG且EF∥HG；∴四邊形EFGH是平行四邊形．故選：A．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線性質(zhì)證得EF＝HG且EF∥HG．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據(jù)比例中項的定義，若b是a，c的比例中項，即b2＝ac．即可求解．【詳解】解：設(shè)線段c是線段a、b的比例中項，∴c2＝ab，∵a＝2，b＝3，∴c＝故答案為：【點睛】本題主要考查了線段的比例中項的定義，注意線段不能為負(fù)．14、【分析】直接利用，找到對應(yīng)邊的關(guān)系，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)時，

則，

∵，點是邊的中點，

∴∵，∴則綜上所述：當(dāng)BQ=時，．

故答案為：．【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，得到對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．15、．【解析】試題分析：∵y1與y2的兩交點橫坐標(biāo)為-2，1，當(dāng)y2≥y1時，y2的圖象應(yīng)在y1的圖象上面，即兩圖象交點之間的部分，∴此時x的取值范圍是-2≤x≤1．考點：1、二次函數(shù)的圖象；2、一次函數(shù)的圖象．16、【解析】分析：利用概率公式：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能得結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=，即要求解.詳解：∵骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，點數(shù)為2的倍數(shù)的有3個，分別為2、4、6；∴擲得朝上一面的點數(shù)為2的倍數(shù)的概率為：．故答案為：．點睛：本題考查了概率公式的知識，解題的關(guān)鍵是利用概率＝所求情況數(shù)與總數(shù)之比進(jìn)行求解.17、【分析】分別過點B，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，先通過圓周角定理可得出∠BAC=90°，再證明△BEA≌△AFC，得出AE=CF=4，再根據(jù)AO=AE-OE可得出結(jié)果．【詳解】解：分別過點B，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，∵∠D=45°，∴∠BAC=90°．∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠CAF=90°，∴∠ABE=∠CAF，又AB=AC，∠AEB=∠AFC=90°，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴AE=CF，又∵B，C的坐標(biāo)為、，∴OE=1，CF=4，∴OA=AE-OE=CF-OE=1．∴點A的坐標(biāo)為（1，0）．故答案為：（1，0）．【點睛】本題主要考查圓周角定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知條件作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．18、【分析】列舉出所有情況，看兩次都摸到紅球的情況占總情況的多少即可．【詳解】畫樹狀圖圖如下：∴一共有20種情況，有6種情況兩次都摸到紅球，∴兩次都摸到紅球的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）【分析】（1）由題意可得出，繼而可證明△BPQ∽△BAC，從而證明結(jié)論；（2）由題意得出QP`⊥AC，分三種情況利用相似三角形的判定及性質(zhì)討論計算．【詳解】解：（1）∵BP=t，BQ=2t，AB=3，BC=6∴∵∠B=∠B∴△BPQ∽△BAC∴∠BPQ=∠A∴PQ∥AC（2）∵BP=tBQ=2t∴P`Q=∵AB=3BC=6∴AC=3∵PQ∥AC∴QP`⊥AC當(dāng)0<t≤時，S=t2當(dāng)<t≤1時：設(shè)QP`交AC于點MP`B`交AC于點N∴∠QMC=∠B=90°∴△QMC∽△ABC∴∴∴QM=∵P`Q=t∴P`M=又∵∠P`=∠BPQ=∠A∴△P`NM∽△ACB∴∴MN=2P`M∴S△P`MN=P`M·MN=P`M2=∴當(dāng)1<t≤3時設(shè)QB`交AC于點H∵∠HQM=∠PQB∴△HMQ∽△PBQ∴∴MH=MQ∴綜合上所述：【點睛】本題是一道關(guān)于相似的綜合題目，難度較大，涉及的知識點有相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，需要有數(shù)形結(jié)合的能力以及較強(qiáng)的計算能力．20、（1）y＝x＋1；y＝（2）證明見解析；（3）存在，D（8，1）．【分析】（1）由點A與點B關(guān)于y軸對稱，可得AO＝BO，再由A的坐標(biāo)求得B點的坐標(biāo)，從而求得點P的坐標(biāo)，將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式，將A與P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式；(2)由AO＝BO，PB∥CO，即可證得結(jié)論；（3）假設(shè)存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，過點C作CD平行于x軸，交PB于點E，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點D，分別連結(jié)PD、BD，如圖所示，即可得點D（8，1），BP⊥CD，易證PB與CD互相垂直平分，即可得四邊形BCPD為菱形，從而得點D的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵點A與點B關(guān)于y軸對稱，∴AO＝BO，∵A(－4，0)，∴B(4，0)，∴P(4，2),把P(4，2)代入y＝得m＝8，∴反比例函數(shù)的解析式：y＝把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b得：，解得：，所以一次函數(shù)的解析式：y＝x＋1；（2）∵點A與點B關(guān)于y軸對稱，∴OA=OB∵PB丄x軸于點B，∴∠PBA=90°，∵∠COA=90°，∴PB∥CO，∴點C為線段AP的中點.（3）存在點D，使四邊形BCPD為菱形∵點C為線段AP的中點，∴BC=，∴BC和PC是菱形的兩條邊由y＝x＋1，可得點C(0，1)，過點C作CD平行于x軸，交PB于點E，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點D，分別連結(jié)PD、BD，∴點D（8，1），BP⊥CD∴PE＝BE＝1，∴CE＝DE＝4，∴PB與CD互相垂直平分，∴四邊形BCPD為菱形．∴點D（8，1）即為所求．21、（1），；（2）當(dāng)時，線段的長度有最大值，最大值為；（3）存在，，，【分析】（1）由題意，利用待定系數(shù)法，先求出二次函數(shù)的解析式，然后再求出直線AD的解析式；（2）根據(jù)題意，先得到l與m的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的最值，可求m為何值時，PQ最長，PQ的最大值也能求出；（3）根據(jù)題意，由為等腰三角形，可分為三種情況進(jìn)行分析：BP=BD或BP=DP或BD=DP，分別求出點P的坐標(biāo)，然后求出點Q的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）將，代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為．當(dāng)時，，∴點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，代入點，，得，解得，∴直線的解析式為；（2）∵在線段上，∴，∴點的坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)為，∴，即，∴當(dāng)時，線段的長度有最大值，最大值為；（3）存在；理由如下：根據(jù)題意，則∵為等腰三角形，∴可分為三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)BP=BD時，此時點P恰好是線段AD與y軸的交點，如圖：∵，，又∵點P為（0，）∴BD=，BP=，∴BP=BD，∴點Q與點C重合，在，令x=0，則y=；∴點Q為（0，）；②當(dāng)BP=DP，作PE⊥BD于點E，∴點E為（，），∵直線BD的斜率為：，∴直線PE的斜率為：，∴直線PE的解析式為：；聯(lián)合直線PE與直線AD，則有，解得：，∴點P的坐標(biāo)為（，），∴點Q的坐標(biāo)為：；③當(dāng)BD=DP，則設(shè)點P為（m，m1），∵，∴，解得：或（舍去），∴點P為（，），∴點Q的坐標(biāo)為：；綜合上述，有，，．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，應(yīng)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．22、點E離地面的高度為8.1米【分析】延長DA交水平虛線于F，過E作EH⊥BF于H，根據(jù)題意，在Rt△ABF中，求出AF，從而得到EF，結(jié)合Rt△EFH，求出EH即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖3所示，延長DA交水平虛線于F，過E作EH⊥BF于H，∵∠BAF=90°，∠ABF=37°，∴Rt△ABF中，AF=tan37°×AB≈0.75×8=6(米)，∴EF=AF+AD+DE=8.5，∵∠EHF=90°=∠BAF，∠BFA=∠EFH，∴∠E=37°，∴Rt△EFH中，EH=cos37°×EF≈0.80×8.5=6.8(米)，又∵底邊AB離地面的距離為1.3米，∴點E離地面的高度為6.8+1.3=8.1(米)，故答案為：8.1米．【點睛】本題考查了直角三角形中銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，同角的余角相等，仰角的定義，掌握銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．23、(1)見解析；(2)．【分析】（1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CD，則OC∥BD，所以∠1=∠3，加上∠1=∠2，從而得到∠2=∠3；

（2）連結(jié)AE交OC于G，如圖，利用圓周角定理得到∠AEB=90°，再證明四邊形CDEG為矩形得到GE=CD=8，然后利用勾股定理計算AB的長即可．【詳解】解：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∵BD⊥DF，

∴OC∥BD，

∴∠1=∠3，

∵OB=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BC平分∠ABD；

（2）解：連結(jié)AE交OC于G，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∵OC∥BD，

∴OC⊥CD，

∴AG=EG，

易得四邊形CDEG為矩形，

∴GE=CD=8，

∴AE=2EG=16，

在Rt△ABE中，AB==，即圓的直徑為.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理．24、（1）①CF＝DG；②45°；（2）成立，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接AF．易證A，F(xiàn)，C三點共線．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．（2）【拓展探究】連接AC，AF，延長CF交DG的延長線于點K，AG交FK于點O．證明△CAF∽△DAG即可解決問題．（3）【解決問題】證明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出點E的運(yùn)動軌跡是在射線OCE上，當(dāng)OE⊥CE時，OE的長最短．【詳解】解：（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①中，①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為CF＝DG；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為45°．理由：如圖①中，連接AF．易證A，F(xiàn)，C三點共線．∵AF＝AG．AC＝AD，∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．故答案為CF＝DG，45°．（2）【拓展探究】結(jié)論不變．理由：連接AC，AF，延長CF交DG的延長線于點K，AG交FK于點O．∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，∵AC＝AD，AF＝AG，∴，∴△CAF∽△DAG，∴，∠AFC＝∠AGD，∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，∵∠AOF＝∠GOK，∴∠K＝∠FAO＝45°．（3）【解決問題】如圖3中，連接EC．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴點E的運(yùn)動軌跡是在射線CE上，當(dāng)