晶向、晶面及晶帶

參考教材：TheScienceandEngineeringofMaterials第2章晶體學基礎目前一頁\總數(shù)四十六頁\編于九點目錄2晶體及其基本性質(zhì)晶向、晶面及晶帶晶體的間隙晶體的缺陷晶體的投影

倒易點陣目前二頁\總數(shù)四十六頁\編于九點2.2晶向、晶面及晶帶1、晶向與晶向指數(shù)2、晶面與晶面指數(shù)3、面間距、晶面夾角和晶帶理論4、間隙2023/5/2010:213目前三頁\總數(shù)四十六頁\編于九點一、晶向及晶向指數(shù)41.晶向：

通過晶格中任意兩個格點連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù)millerindices)。過一格點可以有無數(shù)晶列。目前四頁\總數(shù)四十六頁\編于九點5晶列的特點：(1)平行晶列組成晶列族，晶列族包含所有的格點；(2)晶列上格點分布是周期性的；(3)晶列族中的每一晶列上，格點分布都是相同的；(4)在同一平面內(nèi)，相鄰晶列間的距離相等。目前五頁\總數(shù)四十六頁\編于九點62.晶向指數(shù)[uvw]確定步驟：建立一個右手空間直角坐標系，在待測晶向上確定兩個點的坐標。用終點的坐標減去起點的坐標，得到沿各坐標軸方向上的數(shù)值。將其按比例化為最小的整數(shù)。將此整數(shù)放在一個方括號[uvw]中。若有負號，將負號標在該數(shù)字的上方。如[121]表示

Coordinatesofselectedpointsintheunitcell.Thenumberreferstothedistancefromtheoriginintermsoflatticeparameters.目前六頁\總數(shù)四十六頁\編于九點例題：確定圖1-18中A，B和C方向的晶向指數(shù)目前七頁\總數(shù)四十六頁\編于九點晶向

A1.兩點坐標分別為（1,0,0）and（0,0,0）2.（1,0,0）-（0,0,0）=（

1,0,0）3.已為最小的整數(shù)，記作

[100]晶向B1.兩點坐標分別為（1,1,1）

and（0,0,0）2.（1,1,1）-（0,0,0）

=（1,1,1）3.已為最小的整數(shù)，記作

[111]晶向C1.兩點坐標分別為（0,0,1）

and（1/2,1,0）2.（0,0,1）-（1/2,1,0）

=（-1/2,-1,1）3.2(-1/2,-1,1)=-1,-2,2，記作目前八頁\總數(shù)四十六頁\編于九點練習1：確定圖中AB，BC和AD的晶向指數(shù)ABCDXYZA(100)B(001)C(110)D(011/2)OAB:[101]BC:[111]AD:[221]___2023/5/2010:219目前九頁\總數(shù)四十六頁\編于九點XYZ[0l2]O0,1/2,1[0l2]2023/5/2010:2110給出晶向指數(shù)，如何畫出該晶向？例：在立方晶格中畫出[012]和[123]晶向？目前十頁\總數(shù)四十六頁\編于九點[123]

－

1/3,2/3,-1XYZOO1P2023/5/2010:2111目前十一頁\總數(shù)四十六頁\編于九點

注意：晶向是一個矢量，有方向的區(qū)別；一個晶向跟它的倍數(shù)是相同的；對于高對稱性的晶體來說，晶體學上等價的晶向具有相似的晶向指數(shù)。這些等價的晶向構成的集合，稱為晶向族。也就是互相不平行而原子排列規(guī)律相同的晶向的集合；在立方體中有，沿立方邊的晶列一共有6個不同的晶向，由于晶格的對稱性，這6個晶向并沒有什么區(qū)別，晶體在這些方向上的性質(zhì)是完全相同的，統(tǒng)稱這些方向為等效晶向，寫成<100>；同一晶向族中的指數(shù)相同，只是排列順序或符號不同；立方晶系中的一些重要的晶向族有6種軸向<100>、12種面對角線方向<110>、8種體對角線方向<111>和頂點到面心的方向<112>。目前十二頁\總數(shù)四十六頁\編于九點2023/5/2010:2113[100][001][010][100][010][001]目前十三頁\總數(shù)四十六頁\編于九點143.

陣點間距、線密度和堆垛密度陣點間距（repeatdistance）：沿晶向方向陣點之間的距離。線密度(linerdensity):沿一個方向單位長度上相同陣點的數(shù)目。線堆垛密度（線致密度）:某個晶向上的原子所占的長度的比例。Determiningtherepeatdistance,lineardensity,andpackingfractionfor[110]directioninFCCcopper.目前十四頁\總數(shù)四十六頁\編于九點15例：已知Cu是FCC晶胞結構，晶格常數(shù)a=0.36451nm，計算晶胞中[110]晶向的陣點距離、線密度和線致密度？對于FCC晶胞中[110]晶向，起點設在0,0,0位置，下一個陣點在面心，即1/2,1/2,0的位置。因此，陣點間的距離是面對角線的一半，等于。銅的晶格常數(shù)為0.36151nm，可以算出陣點間距為0.2556nm。銅的面心立方晶胞[110]晶向有2個重復距離，為線密度＝＝3.91陣點/nm因此，線密度也可以看成是陣點間距的倒數(shù)。線致密度＝線密度×2r。線致密度＝線密度×2r＝3.91×2×0.12781＝1說明原子沿[110]晶向相互接觸(面心立方晶胞的最密排方向)。目前十五頁\總數(shù)四十六頁\編于九點二、晶面及晶面指數(shù)161.晶面在晶格中，通過任意三個不在同一直線上的格點作一平面，稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)。(1)平行的晶面組成晶面族，晶面族包含所有格點；(2)晶面上格點分布具有周期性；(3)同一晶面族中的每一晶面上，格點分布(情況)相同；(4)同一晶面族中相鄰晶面間距相等。目前十六頁\總數(shù)四十六頁\編于九點172.晶面指數(shù)（hkl）確定步驟：以晶胞的某一陣點為原點，以過原點的晶軸為坐標軸，以點陣常數(shù)a，b，c為三個坐標軸的長度單位，建立一個空間直角坐標系。但原點應位于待定晶面之外，以避免出現(xiàn)零截距。找出待定晶面在三軸的截距，如果該晶面與某軸平行，則截距為無窮大。求出晶面在三個坐標軸上的截距x，y，z，對所求截距取倒數(shù)得1/x，1/y，1/z；將它們按比例化成三個最小的整數(shù)h，k，l；再將它們放在一個圓括號中即得該晶面的晶面指數(shù)（hkl）。如果有存在負號，將負號標在該數(shù)字的上方。目前十七頁\總數(shù)四十六頁\編于九點確定圖中A，B和C晶面的晶面指數(shù)FigureCrystallographicplanesandintercepts目前十八頁\總數(shù)四十六頁\編于九點PlaneA1.x=1,y=1,z=12.1/x=1,1/y=1,1/z=13.已為最小的整數(shù)，記為

(111)PlaneB1.晶面和z軸平行，所以x=1,y=2,andz=∞2.1/x=1,1/y=1/2,1/z=03.化為最小的整數(shù)：1/x

=2,1/y=1,1/z=0，記作

(210)PlaneC1.因為晶面經(jīng)過了原點，所以要把原點沿y軸方向移動一個晶格常數(shù)的距離，所以，

x=∞

,y=-1,andz=

∞2.1/x=0,1/y=1,1/z=03.已為最小的整數(shù)，記作目前十九頁\總數(shù)四十六頁\編于九點練習XYZABCDEFGEFB晶面

(111)BFGD晶面（110）___ACD晶面(112)_EFB晶面BFGD晶面ACD晶面2023/5/2010:2120目前二十頁\總數(shù)四十六頁\編于九點XYZO21例：在下圖中畫出（012）和（123）晶面XYZ（123）－O目前二十一頁\總數(shù)四十六頁\編于九點22一個晶面和其負晶面是相同的（這和晶向不同）晶面指數(shù)和該指數(shù)的倍數(shù)是平行的，但不是等同的（這也和前面講的晶向不同）。晶面指數(shù)代表的不僅是某一晶面，而是代表一組互相平行的晶面；在晶體內(nèi)部凡晶面間距和晶面上原子的分布完全相同，只是空間位相不同的晶面歸為同一晶面族，用{hkl}表示，它代表由對稱性相聯(lián)系的若干組等效晶面的總和；在一個晶胞中同屬于某一晶面族的等效晶面數(shù)目，稱為多重性因子；立方晶系中，具有相同指數(shù)的晶向和與晶面必定是互相垂直的，即晶向的方向為該相同指數(shù)晶面的法線方向。[111]⊥(111)目前二十二頁\總數(shù)四十六頁\編于九點23對于高對稱性的晶體來說，結晶學上等價的面具有相同的指數(shù)，這些結晶學上的等價面就構成一個晶面族（planesofaform）

，也就是互相不平行而原子排列規(guī)律相同的晶面的集合。立方晶系中：12個對角面

(110)，

(101)，

(011)，

(110)，(101)，

(011)，(110)，(101)，(011)，(110)，(101)，(011)構成{110}晶面族；6個表面

(100)，(010)，(001)，(100)，(010)，(001)構成{100}晶面族；同一晶面族的各晶面指數(shù)數(shù)字相同，只是排列順序和符號不同目前二十三頁\總數(shù)四十六頁\編于九點立方晶格的幾種主要晶面標記

目前二十四頁\總數(shù)四十六頁\編于九點25寫出立方晶系的{123}晶面族和<112>晶向族中的全部等價晶面和晶向的具體指數(shù)。目前二十五頁\總數(shù)四十六頁\編于九點26面密度（plannardensity）單位面積上的原子數(shù)；面致密度為晶面上原子實際覆蓋的面積分數(shù)。計算簡單立方釙Po（010）和

（020）晶面的面密度和面致密度，釙的晶格常數(shù)為0.334nm。目前二十六頁\總數(shù)四十六頁\編于九點27兩個晶面見圖1-21，在（010）晶面，原子中心位于立方面的角上，實際上，每個原子的只有1/4在晶胞的這個面上。因此，每個面上總的原子數(shù)是1個。（020）晶面上沒有任何原子，因此它的面密度和面致密度均為0?？梢钥闯觯?10）和（020）晶面不是等同的。目前二十七頁\總數(shù)四十六頁\編于九點28例：在立方晶胞中畫出（a）晶向和(b)

晶面。晶胞中畫出（a）晶向和(b)晶面目前二十八頁\總數(shù)四十六頁\編于九點29要把晶向畫在晶胞內(nèi)，需要把原點移動到0,+1,0，起點設在原點上，則終點的坐標為：要畫出晶面，首先需要確定它的截距:由于x軸上的截距為負值，要把晶面畫在晶胞內(nèi)，需要把原點移動到1,0,0。目前二十九頁\總數(shù)四十六頁\編于九點六方晶系指數(shù)：六方晶系的晶向和晶面通常采用密勒-布拉菲(Miller-Bravais)指數(shù)表示。晶面指數(shù)的標定方法與三軸坐標系相同，但需用(hkil)四個數(shù)來表示。位于同一平面上的三個坐標數(shù)中必定有一個是不獨立的，可以證明它們之間存在下列關系：i=-(h+k)在四軸坐標系中晶向指數(shù)的確定方法也和三軸坐標系相同、但需要用[uvtw]四個數(shù)來表示。并且u、v、t中也只能有兩個是獨立的，它們之間存在下列關系：t=-(u+v)30六方晶系密勒-布拉菲指數(shù)（a）四坐標法確定晶面指數(shù)(b)三坐標法和四坐標法確定晶面指數(shù).目前三十頁\總數(shù)四十六頁\編于九點31晶向指數(shù)的標定步驟如下：從原點出發(fā)，沿著平行于四個晶軸的方向依次移動，使之最后達到待定晶向上的某一結點；移動時必須選擇適當?shù)穆肪€，使沿a3

軸移動的距離等于沿a1、a2兩軸移動的距離之和的負值；將各方向移動距離化為最小整數(shù)值，加上方括號，即為此晶向的晶向指數(shù)。先用三軸坐標系標出待定晶向的晶向指數(shù)，然后再按下式換算成四軸坐標系的晶向指數(shù)[uvtw]。u=（2U-V）/3,v=(2V-U)/3,t=-(U+V)/3,w=W目前三十一頁\總數(shù)四十六頁\編于九點32確定圖中A，B晶面的晶面指數(shù)和C,D晶向的晶向指數(shù)晶面

A1.a1=a2=a3

=∞

,c=12.1/a1=1/a2=1/a3=0,1/c=13.已為最小的整數(shù)，記為

(0001)晶面

B1.a1=1,a2=1,a3=-1/2,c=12.1/a1=1,1/a2=1,1/a3=-2,1/c=13.已為最小的整數(shù)，記為晶向

C兩點坐標分別為(0,0,1)and(1,0,0).2.(0,0,1)–(1,0,0)=1,0,13.已為最小的整數(shù)，記為

晶向

D1.兩點坐標分別為(0,1,0)and(1,0,0).2.(0,1,0)-(1,0,0)=-1,1,03.已為最小的整數(shù)，記為目前三十二頁\總數(shù)四十六頁\編于九點33密排面、密排方向和堆垛方式在鋼球模型的基礎上，晶體可以看成是由某些晶面（或?qū)樱┰诳臻g按一定次序一個挨一個堆垛而成。該次序就稱為堆垛方式或堆垛次序(stackingaequence)。HCP晶體按密排面（0001）的堆垛次序是ABAB……。FCC晶體按照（111）面的堆垛次序是ABCABC……。FCC和HCP結構的堆垛方式雖不同，但都是最緊密的排列都具有相同的配位數(shù)12和致密度0.74。目前三十三頁\總數(shù)四十六頁\編于九點2023/5/2010:2134HCP結構中ABABAB

堆垛次序目前三十四頁\總數(shù)四十六頁\編于九點2023/5/2010:2135FCC結構中的ABCABCABC堆垛次序目前三十五頁\總數(shù)四十六頁\編于九點三、面間距、晶面夾角和晶帶理論361.晶面間距：晶面指數(shù)為(hkl)的一組平面點陣中相鄰的兩平面點陣面間的垂直距離，記作d(hkl)目前三十六頁\總數(shù)四十六頁\編于九點晶面間距的意義：每一種晶體物質(zhì)都有一套特征d(hkl)，是晶體物相分析的重要依據(jù)。晶面指數(shù)確定，晶面的位向和晶面間距確定。晶面的位向用晶面法線的位相表示?？臻g任一直線的位向可用它的余弦表示。對于立方晶系而言，晶面位向可從以下關系求得：h:k:l=cosα:cosβ

:cosγcos2

α+cos2β+cos2γ=1h、k、l的數(shù)值越小，晶面間距離越大，實際晶體外形中這個晶面出現(xiàn)的機會也越大。（晶體的x射線衍射中容易出現(xiàn)，衍射峰強）晶面間距越大，該晶面上原子排布越密集；2023/5/2010:2137目前三十七頁\總數(shù)四十六頁\編于九點前述每一種晶體物質(zhì)，都具有無數(shù)多組面網(wǎng)間距不同的面網(wǎng)，但在實際測試中，我們只能測得有限的一部分，即介于最大和最小面網(wǎng)間距之間的面網(wǎng)間距。

a）最大面網(wǎng)間距：不能超出晶胞的大小和尺寸；

b)最小面網(wǎng)間距：等于我們所使用的光源的單色光波長的一半，具體原因后面章節(jié)要講述。例如鉆石（diamond）等軸晶系，a＝3.5667nm。用CuKα射線測量時，我們能測得的面網(wǎng)間距只有：

d100=2.060?;d220=1.261?;d311=1.0754?;d400=0.8916?;d331=0.8182?2023/5/2010:2138目前三十八頁\總數(shù)四十六頁\編于九點不同晶系的獨立面網(wǎng)間距數(shù)量不同對稱越高的晶體，所具有的獨立面網(wǎng)間距數(shù)量越少；對稱越低的晶體，則獨立面網(wǎng)間距數(shù)量越多。原因如下：如等軸晶系：d010=d001=d100=a;

而斜方晶系：d010=b;d001=c;d100=a2023/5/2010:2139目前三十九頁\總數(shù)四十六頁\編于九點面網(wǎng)間距與晶胞參數(shù)之間有一定的對應關系。當α＝β＝＝90°時，d010＝b；d020＝b/2；d030＝b/3。下面根據(jù)晶系的不同分別列出其面網(wǎng)間距的計算公式。對于立方晶系：正交晶系：三方和六方晶系：2023/5/2010:2140目前四十頁\總數(shù)四十六頁\編于九點41對于立方晶系中的BCC和FCC結構BCC：h+k+l等于偶數(shù)時，n=1;h+k+l等于奇數(shù)時，n=1/2FCC：h,k,l全為奇數(shù)或偶數(shù)時，n=1，h,k,l奇偶均有時，n=1/2（0視為偶數(shù)）。例如，對BCC結構:面間距越大，晶面上原子的排列就越密集，晶面間距最大的晶面通常是原子最密排的晶面。通常是低指數(shù)的晶面間距較大。對BCC和FCC結構，總的趨勢相同，但是受

值的影響而不很規(guī)律。目前四十一頁\總數(shù)四十六頁\編于九點2.晶面夾角：立方晶系中，晶面（h

k

l）法線和晶